В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Положим »29 производящик Фъ'нкции Д о к а з а т е л ь с т в о е). Вероятность события (ь» т) представим в виде Р ($~ — — т) = ~ Р(«=й, ~„=т), »=о Так как (ч = й, ~» = т) = (ч = й, ь» = т) н события (ч = й) (ь» = т) независимы, то Р (ч = й, ь« = т) = Р (ч = й =Р( =й,з +...+9»=т)= = Р ( = й) Р (В, +... + В„т)„ Тогда Р (~ = л») = Х Р ( = й) Р (сг + Ь+... + 1, = т). »=о Умножив обе части этого равенства на х™ и просуммиро- вав по т = О, 1, 2,..., получим Ряд в круглых скобках является производящей функцией распределения суммы $г +...
+ $». Так как слагаемые $„[ = 1,..., й, независимы и одинаково распределены, то О ~ х Р(йг+... + $»=т)=ори+. +2„(х) = [~р~, (х)]", м=о И (х)=Мх«=М(М(х ]ч)). М (х ] ч) = М (хп... х " ] ч) = [ ео («) ]", то о» е ( )=М[(9 ( )) ]=ф [е (х)]. Так как В намеченном докааательстве основная трудность заключается в »го-.+2« проверке равенства М(х "]ч) =(Мхи)ч влв аквввалевтвого ему равенства М(х ]ч=й)=Мх ", которое ввтувтявзо+ -+оч зм- »4» во не выаывает сомнений.
о) Если воспользоваться условными математвческвмв ожвданкяма к формулой полного математического ожвданвя (6.6.8), то можно дать более короткое докааательство теоремы 1.е. Действятельяо, по формуле (6.6.3) пвидкльнын тноввмы [гл. т Следовательно, Для того чтобы при любом фиксированном й П ш р„(п) = рк Ю ,~~ р« — 1„ «=о (1Л4) необходимо и достаточно, чтобы при любом х Е= (О, 1) Иш «г„(х) = <р (х), (1.15) ь в вде ( ~р„(х)= ~ р„(п)х»««г(х)= ~ р»х», ~р(1)=1. Доказательство.
Пусть выполнены (1ЛЗ) и (1Л4). Представим разность «р„(х) — «р (х) в виде ю„(х) — «г (х) = М СО = Д (р„(п) — р»)х" + ~ р»(п)х — ~ р„х, к=о «= я+1 »=н+« где Ф вЂ” некоторое целое число. Пусть х ~= (О, 1) фиксирован. Докажем (1Л5). Так как О ~ р» (и) ~( 1, О ( р» ~( ч. 1, то для любого фиксированного з ) О можно подобрать )«' так, чтобы при любом п Р О рк(п)х ~~ у, х с З « ~~~ р»х ( з ° к=я+« »к М+« »=у+« Теорема доказана. При доказательстве предельных теорем часто исполь-~ ауется свойство непрерывности соответствия множества производящих функций множеству распределений. Т е о р е м а 1.5.
Пусть при любом фиксированном и, и = 1, 2,..., последовательность (р„(п)) является распределением вероятностей, т. е. р»(п))~О, ~ р„(п)=1. (1.12) «-« Зй ш оизводящии Фтнкции Тогда при данном )к' к ) ф„(х) — ф (х) ( ~( ~~к ~ ~ рк (п) — рк ( х" + -~- е. Сумма в правой части этого неравенства может быть сделана меньше АЗ при достаточно больших п, так как содержит конечное число стремящихся к нулю слагаемых. Равенство ф (1) = 1 следует из (1.14). Пусть теперь выполнено (1.15). Докажем (1.13) от противного. Предположим, что (1ЛЗ) не выполнено. Тогда можно показать, что найдутся две последовательности и' и и" для которых 1кш рк (пкк) = Рк 11ш рк (ппв) = рк! (1'16) кк»о к„, причем (рк) и (рк) не совпадают.
Тогда по доказанной части теоремы из (1Л6) следует, что 1пв ф (х)=ф(х) = ~ ркх, ктк к=к к„,-ю 1пп ф - (х)=ф(х) = ~ ркх "кк к.=к Пуд и ф (х) дкк ф (х). Это невозможно, так как предел (1Л5) существует. Теорема доказана. П р и м е р 4. Пусть и„— число успехов в я испытаниях Бернулли и р„— вероятность успеха в одном испытании.
Будем предполагать, что существует Пш ир„Х, П М О< ),( оо. Воспользуемся теоремой 1.5 для вычисления 11ш Р ((к„= ки). Положим Х„= ир„. По формуле (1.3) фа (х) = ( — х + 1 — — ) = ( 1 + — (х — 1)) Следовательно, т 11ш фа (х) = еык-и = ~ —, е-"х"'. т % о 132 пгедельные теогемы игл. 7 Отсюда по теореме 1.5,' л 11ш Р ( а „= як) = —, е-к. к а Таким образом, получили новое доказательство теоремы Пуассона. б 2. Характеристические функции Производящие функции определены для целочисленных случайных величин. Для исследования распределений произвольных случайных величин вводятся характеристические функции.
Комплекснозначной случайной величиной будем называть функцию $к (ек) + Цк (ек), где ек ~ ье, ($п $к) — случайный вектор. По определению полол<им М ($, + Ц ) = М$, + кМ$к. (2.1) Для математического ожидания от комплекснозначной случайной величины легко проверяются свойства 1' — 4', приведенные в 2 2 гл. 6. В дальнейшем мы ими будем пользоваться без дополнительных оговорок. Понятие независимости для комплексноаначных случайных величин не будет введено, и свойство 5' использоваться не будет.
Характеристической функцией действительной случайной величины $ называется (2.2) ~К (1) = Меиь, где к — действительное число, †( 1 ( со. Если случайная величина $ дискретна, то по теореме 1.1 гл. 6 М(со.еб)= Х .(гзк)Ра=кк)„ к=к М(з1п ЕР = Х з1п(так) Р (5=кк). к=а Отсюда и из (2.1) получим (2.3) Используя теорему 1.2 гл. 6, для характеристическ()(1 $2) хАРАктеРистические Функции функции абсолютно непрерывной величины $ будем иметь ° о 72 (1) = ~ еперь (х) дх, (2.4) Если случайная величина $ определена на дискретном илн абсолютно непрерывном вероятностном пространстве,, 72(1) = ~ синае''рь, Р ((ььь)) = рь (2.5) К=2 Уь(1)=~...
)еиК"""'"ь~п(и(,..., и„)ди)...ььи„. (26) Доказательство этой формулы приводится в более пол- йых курсах теории вероятностей (см., например, [2]). Т е о р е м а 2.1. Пусть )2 (1) — характеристическая функция случайной величины з. Тогда: 1'. ~2 (1) определена при любом 1 ~= ( — сю, оо). 2'. 1, (О) = 1, ~ ), (1) ~ ( 1. 3'. Если Ч = а$ + Ь, где а и Ь вЂ” постоянные, то Д„(2) = еиь~ (аг) 4'. Соответствие, устанавливаемое формулой (2.2) между множеством характеристических функций 12 (2) и множеством функций распределения, является взаимно однозначным. Докажем 1' — 3'. Так как при любом действительном 1 ~ еи ~ ~ 1; — оо ( х ( оо, то доказательство первых двух утверждений легко следует из формул (2.3) — (2.6).
Третье утверждение получки из следующих равенств: 1ч (1) = Меи< 2+ь> е™Меиз — еиь7' (аг) Для дискретных и абсолютно непрерывных величин по функции распределения определяются соответственно вероятности значений и плотность распределения. Тогда по формулам (2.3) и (2.4) однозначно определяется 72 (1). Обратное утверждение следует из формулы обращения 1 . " е'ь — е "' рь(хг) — рь (хь) = — 11ш ~ „' 12(8) с(г. (2.7) -н пгндельнын ткогвиы ~гл.
т Найдем характеристические функции некоторых распределений. П р и м е р 1. Пусть $ — целочисленная случайная величина с проивводящей функцией ~р~ (х). Очевидно (см. (1.2) и (2.3)); что 1а (г) = <рв (е"). Пример 2. Если РД =а) = 1, то по формуле (2.3) находим: ~1 (1) = е"".
П р и м е р 3. Пусть 5 нормально распределена с параметрами (О, 1). Тогда «Э «' г 1ь-— р«(х)= — е «, 1~(е)= — ) е е Ых. 1/2л 1(йл Так как при любом 8 в силу почетности подынтегральной функции 6 «а е е в1пгхдх=О, то ~1 (1) имеет действительные вначения и «В $ е ~г(е)= = ~ е ' совгхдх, 1~й 3 При формальном дифференцировании этого равенства по г справа получается интеграл, сходящийся равномерно по 1 Е ( — оо, ао).
Следовательно, О «' г ~г(О= — — ~ хе ' в(пгхдх. 1/г Отсюда интегрированием по частям получим 7ь(г) = — т в(п гхое ' = — г~т(г), 1/йл .1 Таким обраэом, функция ~1 (Г) удовлетворяет уравнению е/ (с) — = — гав (О и начальному условию 1а (О) = 1. Отсюда ~1(1)=е ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1ЗЗ 9 21 П р и и е р 4. Пусть случайная величина $ распределена нормально с параметрами (а, о'). Найдем (2 (2). й — а Положим ц= —. Случайная величина т~ имеет норв мальное распределение с параметрами (О, 1), и, следовавв 'тельно, 1„(2) =в ', Тогда по утверждению 3' теоремы 2.1 получим аввв иа- — в 6(2) =-1 я+а (2) = си'1ч (о2) = в Таким образом, и-— 12(2) =в (2.8) Зная характеристическую функцию, можно легко найти моменты случайной величины.
Т е о р е м а 2.2. Если существует й-й мамонт М ~ $ ~~ < оо, и ~ 12 то существует нвпрврывдая й-л производная ~2 (2) и ~~~(0) 22МВ". Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем теорему, например, для абсолютно непрерывных величин. Если существует й-й момент, то существуют все моменты меньшего порядка. Так как вв в ~ ~ 2хвиарз (х) ах ~ ~ ~ ( х ~ рз (х) их = М ~ $ ) ( сов то интеграл в левой части неравенства сходится равномерно по 2.
Следовательнов можно дифференцировать под знаком интеграла: (2 (2) = 1 ~ хвиарв (х) дхв ~2 (О) = 1М$, вв Пусть теперь существует производная порядка 3в 1 . й, и 12~~(в) 3~ ) х~ва"рз(х)йх, в Отсюда П'вы(2) =1и' ~ х'+'виар (х) ~гл. т ~зе пРедельные теоРемы так как интеграл в правой части последнего равенства сходится равномерно по г. Таким образом, ! ф'н(О) = ° Мр.. Теорема доказана. П р и м е р 5. Пусть З имеет нормальное распределение с параметрами (е, о').
Тогда характеристическая функция величины ц = $ — а равна а-о Так как )ч' "' (0) = 0 и ф~м(0) = („) пз"( — 1)" =( — 1)" (2й — 1)(2й — 3)... 3 1о'", 2"ю то по теореме 2.2 получаем центральные моменты $: М Я вЂ” а)м+' = О, М (е — а)'" = (2й — 1) (2й — 3)... 3 1 от~. В следующей главе нам потребуются разложения характеристической функции по степеням г в окрестности точки г = О. Если существует М$, то 1, (Г) = 1 + ОМ1 + 1е(1), (2.9) где е (~) -~ 0 при г-~ О. Для доказательства (2.9) пред'ставим )1 (Г) в виде Я (1) = и (8) + Ь (Г).
Из существования М$ следует существование ~З (0), а также и' (0) и и' (0). По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и (1) = и (0) + ги' (0) + ге1 (Г)„ и (1) = Р (0) + йр (0) + 1е, (г)„ где е, (1), е, (1) - 0 прк 1- О. Складывая два последних равенства, получим (2.9), так как (~ (0) = юМ$. Аналогично проверяется следующее утверждение. Если Мзз существует, то )з (г) = 1 + ИМЯ вЂ” — ' М$' + гзз (г) „(2. 10) где е (г) — 0 при 1-~- О.
В предположении существования Мез дадим другую оценку остаточного члена в (2 10), хАРАктевистнческке Фтккции «37 в 21 Ив равенства сел — 1 = ~ 1сд" Ыи 0 д»т сд)едует, что )с'* — 1~~( ~ си=~ х~» так как ~ 1сд" ~ ~ 1, О Используя найденную оценку и равенства х с»»» 1 — дх ~ (с»»» 1) ди о сд* — 1 — дх+ — =д ~(с~" — 1 — дУ)аУ...,в о получим ~с — 1 — 1х~~~ ~ » ~с — 1 — дх+ ~ 14.:, в в ° ° ° »дх 1*Р ! ол лд < 1с!' Отсюда, в частности, следует„что си" = 1 + ддх — — + Вд (д, х), ) Яд (1, х) ~ ч, — ~ 1х ~в, Заменим здесь х на $ н вычислим математическое ожидание, Получим следующее разложение: ~, (~) =1-)- ИМ$ --~- М$д.)- В (г), ~в(ц)< — м)В~. (2Л1) Дальше нужно сделать следующее: 1) перемножить выражения, стоящие в скобках, и перейти к сумме мате- Для характеристических функций имеет место теорема, аналогичная теореме 1.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
