В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Таким образом, Р () у' нВ„~ ) е) -+ 0 при и — оо. Следовательно,. предельное распределение (т)„— 7' (а„)) у' л согласно теореме 2.7 совпадает с предельным распределением ь*„. Так как величина ь~ ераспределена асимптотически норг мально и (ое)з= ~ файв~(п)-ьоз при п-ь оо, то пре- В, 1=1 дельным распределением ь*„является нормальное с параметрами (О, аз).
Нетрудно проверить, что предельное распределение у' и(т)а — 7 (а)) совпадает с предельным распределением у' и (т)„— ) (а„)). Теорема доказана. Можно сформулировать теорему об асимптотической нормальности т)„= ~„Я„„..., $„,),. где г = г (п) -> оо при п — э оо, без предположения об асимптотической нормальности аргументов. Однако потребуются не очень естественные ограничения на последовательность функций )а. Отметим, что условия теоремы 6Л не позволяют сделать вывод о том, что нормнрующие и центрирующие постоянные в формулировке атой теоремы являются главной частью в асимптотических формулах для Мт)„, 0т)„. Асимптотические формулы для Мт)„; 0т)„, совпадающие с соответствующими формулами для моментов линейного приближения, получаются при дополнительных предположениях (см, (10), 2 27.7, стр, 388), Задачи к главе 7 1.
Пусть $ — неотрицательная целочисленная величина с пронаводящей функцией в (а). Найти: а) ааааа+~; б) ~ аар (2 м а); з=о ОЭ ОФ в) ~Ч~~~ а Р (В ~ я); г) ~ а Р (й = 2а). «=з о-о 2. Найти производящие функции велвчив т, т„„определенных в задачах 14, 16 гл.
5. Найти Мт, От, аат,„, М~). 3. Найти провзводящую фуикцвю величины т, определенной в задаче 18 гл. 6. 4. Найти проиаводщцую функцию случайной величины, распределенной по закону Пуассона с параметром ь. Доказать, что сумма независимых пуассоновских величин имеет пуассоновское распределение. 5. СЛУЧайНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ т, Зт, $з,..., За НЕЗаВИСИМЫ ПРИ ЛЮ- бом п=1,2...лР(Ц=1)=1 — РЯа=О) р; тимеетраспределевве Пуассона с параметром ь. Найти производящую функцию величвны1) = $1+ ... + З (т)0), 8 = 0(н = 0). 151 ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 7 6.
Вычислить характеркствческве функции следующкх ваконов распределения: а) бвномналького; 6) Пуассона; в) понавательного; г) равномерного на отревке [ — 1, Ц (см. 4 3 гл. 5). 7. Найти ааконы распределенкя, соответствующве характерпстпческвм функциям: а) сое»; б) сов»»; в) У ~-2-~ сов»».
»ея 8. Величины ЧО $» неаавкснмы к одинаково распределены, нх характернсткческая функция равна 7 (»). Найти характерксткчесвую функцию величины $1 — $». 9. Велкчянм $ы $», $„незавнсвмы и нормально распределены с параметрамк (1, 1), (О, 4), ( — 1, 1). Найти: а) Р ($1+ 4 + Ч»< 0); б) Р(]23, — $,+ 4']<3).
10. Докааать теорему Пуассона прк помощи теоремы 2.6. 11. Складывается 10с чисел, каждое кв которых округлено с точностью до 10 т. Предполагая, по ошибки от округления неаавкскмы к в квтервале ( — 0,5 10 "', 0,5 10 '") распределены равномерно, найти пределы, в которых с вероятностью, не меныпей 0,99, будет лежать суммарная ошибка.
12. Получить теорему Муавра — Лапласа в качестве следствия теорем 4.1 к 4.2. 13. Пусть случайная велнчкна $» распределена по аакону Пуассона с параметром Х. Найти ПшР ( — <х) . 14. Пусть случайные велвчкны »1,..., ьи неэавнсвмы; Р(4»=1) = 1 — РД» = 0)=р»(п), »=1, 2,... Найтй 1(ш Р(Ь,+...+$и=т), еслв р»(п)+...+р„(и) Х к и и шах р» (п) 0 прв и ~ сю. г«»«и 15. Плотность распределения р (х) случайной велвчнны $ непрерывна к огракнчена на отрезке [а, Ь] к равна 0 вне [а, Ь]. Положкм»)и = (пД, где (х) — дробная часть числа х.
Найти Пш Р (»)„< *), О « 1. 16. Иа урны, содержащей М белых шаров в)т — М черных, по схеме случайного выбора бее воэвращенкя вынвмается п шаров. Обоаначкм $и чксло белых шаров в выборке кв п шаров. Найти: а) 11ш Р(5и=т), если — — р, и = соваИ М Ф оа У б) 1пв Р (4 = т), если -~ Х. и Ф м- 17. Пусть последовательность случайных велкчкк $и удовлетворяет условию: Р (] 4и — 1 ] < в) 1 прк п сс в любом е ) 0; функции распределения Р (з)и < х) слабо сходятся к Р (х) прн п сс. Докааать, что Р (»)„Ди < х) слабо сходятся к р (х). У к а в а н к е. Докааательство проводится аналогнчво докавательству теоремы 2.7.
152 пРедельиые теОРезгы (ГЛ. 7 18. Испольвуя решение задачи 25 гл. 5 и таблицы случайных чисел, получать 10 независимых реализаций случайной величвпм $ с функцией распределения г"1 (в) = 1 — я " (л ~ 1), если: а) я = 2; б) и = 1. В обоих случаях найти среднее аряфметическое полученных реализаций и в случае а) сравнить среднее арифметическое с М$. 19.
Пусть те — число испытаний в схеме Бернулли, прошедшее от начала испытаний до появления второго успеха. Получить десять независимых РеаливаЦий величины ты если веРоатность Успеха Р в отдельном нспытанин: а) р = 0,5; б) р = 0,75. Найти средние арифметические и сравнить с Мт . 20. По 100 реализациям равномерно распределенной случайной величины (см. $5) вычислить методом 5(опте-Карло интеграл а = 1 = ) е"вс. Полученное значение ве сравнить с точным значением а. о Теоретически найти Ь такое, чтобы Р () а — ае )ч, Ь) — 0,99. У к а з а н и е. Испольэовать точное значение Вас п центральную предельную теорему, ГЛАВА 8 Цепи Маркова й 1. Определение В главе 4 было дано определение цепи Маркова как частного случая общей схемы испытаний.
Дадим теперь определение цепи Маркова в терминах случайных величин. Последовательность случайных величин $п г = О, 1„ 2, ..., называется цепью Маркова с состояниями д" =* = (1, 2,..., Ут'), если ~ Р(~,=Уе)=1, 8 0,1,2...,г гви и при любых 0<у,<уг«... у„<в<у (п=1е 2,...), любых У, У Е 'г" и любых подмножествах Вы... ..., В„множества 4" выполняется равенство Р (Ь = у1 $А Е Вд, ..., $1„Е= В„, $, = 1) = =Р($,=1~$,=1), (1.1) В приложениях значения случайных величин $с интерпретируются как номера состояний изучаемой системы, которая в дискретные моменты времени у (г = 0„ 1, 2,...) меняет свое состояние. Свойство (1.1) означает, что при фиксированном положении системы в данный момент времени г будущееповедение системы (г) г) не зависит от поведения системы в прошлом (Ц ~ Вы ...
$~ с= В„), или более кратко: при фиксированном настоящем будущее не зависит от прошлого. Свойство (1.1) называют свойством марковоети. Будем называть цепь Маркова ~ однородной„если при любых у, у Е= 4" вероятности Р Дсы = у ~ фс = 1) = рсн У = О, 1, 2, ° ° „(1.2) ие зависат от й МатРицУ Р = '1 Р;у '1, элементами котоРой являются вероятности (1.2), называют матрицей вероятностей перехода, а вектор Ч = (й . ц ° Чн) ЦЕПИ МАРКОВА (гл. в где аа = Р (Во = а)а ( = 1, 2,... Ф> — вектором начальных веРолтностей.
Очевидно, что числа Ры и >(а Удовлетворяют условиям к к РО о О, д, ~ О, Д де = Х РО=1. (1.4) >=а 7>=с Любые матрицы Р = (( р~~)(, элементы которых удовлетворяют (1.4), навывают стохастическими. Покажем, что матрица вероятностей перехода и вектор начальных вероятностей одноэначно определяют совместные распределения величин В, В„., „В, при любом в. По формуле (3.2.2) получаем Р (Во = ао> Ва = (а> Ва = аа ° ° В>-д = аг-ю Ва = (>) =' = Р (Во = ао) Р (Ва = (а ( Во = ао) Х х Р (Ва = (а ( Во = (о Ва = аа) ° ° ° ° ° Р (В> = (> ! Во = ао ° ° ° Ва = аа ° ° > Вг-а = (>-а) (1 5) Воспольэуемся теперь следующим частным случаем равенства (1 1): Р (Во (> ~ Во (о> Ва (а ' ' '> Вз-а (>-1) =Р(В,=(,(В,,=(,,),в=1,2,...; (16) (а ~ (" ((с = О, 1, 2,...), Согласно (1.2) для однородных цепей Маркова правая часть (1.6) равна рб, а,.
Заменив этими величинами и величинами (1.3) соответствующие сомножители в правой части (1.5), получим совместное распределение величин Во. Ва > Вг: Р (Во = (о Ва = (ы Ва = аа ° ° > Й = (>) = = Чьрь, ьРь, ь ° ° РЧ, >и (1 7) Мы определили цепь Маркова, сформулировав свойства, которыыв должна обладать последовательность случайных величин В,. Прв таком подходе остается открытым вопрос о существовании токой последовательности случайных величии. Покажем теперь, что к при любом т, любом векторе ч = (д>,..., вк) (в ~ О, ~ са = а) а а в аюбой стохастической матрице Р = 1РП1 можно онределать вероятностяое пространство и случайиыо величины Ви а = О, 1, 2,..., Т, являющиеся цепью Маркова с вектором начальных вероятностей д в матрицей вероятностей перехода Р. Пусть Я = (оф 9 1) 188 где ю = (1е, Ум..., 1т), 1э, 11,..., 1т аэ е'.
положим тира 'р' ь ' ' ' р'г-г'т' (1.8) Равенство (1.8) одвоаначно определяет вероятность ва всех подмножествах в множества И. Построенное вероятностное пространство в гл. 4 мы наавали цепью Маркова. Осталось только связать это определение с определением, данным в этой главе в терминах случайных величии. Положим $~ (м) = Ц~ (1э1э... 1т) = ао О ~ с ~ г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
