В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Т е о р е м а 3.1. Если конечен теоретический момента а „, то при п -1- оо вь»барочный момент а» асимптотиа»» — а»» чески нормален с параметрами (и», ) . Несколько сложнее доказывается асимптотнческая нормальность центральных выборочных моментов т,. Ограничимся лишь случаем» = 2. ВыБОРОчные моменты 3 31 Т е о р е м а 3.2. Если конечен теоретический момент р, то при п -» оо выборочная дисперсия т, асимптотичерг рз! ски норм льна с пар метрами (рз, ( . и Доказательство, Используя формулу (36), получим г»» = )~п (тз рз) = $» + г!» где » (уз — Муз), з)„= — уг)!Гп, (3.14) 1 $.= уг, й = 1,..., п,— независимые одинаково распределен- ные величины.
Так как Му' = рз!и и, следовательно, М ~ з1„~ = рз/у п, то, согласно лемме 5.1 гл. 6, для лю- бого с ) О р(~„~)е)(» з О м(ч„! еу'к при п -» оо. Отсюда н из теоремы 2.7 гл. 7 вытекает, что предельное распределение Ь„совпадает с предельным распределением з». В соответствии с теоремой 4.1 гл. 7 случайная величина $» аснмптотически нормальна с параметрами (О, р, — рг).
Теорема доказана. Иногда требуется определить точное или хотя бы приближенное распределение некоторой функции от выборочных моментов. В качестве примера, иллюстрирующего исследование предельного распределения в таких задачах, найдем предельное распределение функции от выборочного среднего х и выборочной дисперсии т,. Т е о р е м а 3.3. Пусть т!» = у (т, т,), функция у (зз, г ) определена в окрестности точки (сгг, рз) и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные второго порядка.
Если конечен момент рг и оз ) О, то величина т)„при п -~- оо асимптотически нормальна с параметрами (уь, Оз/и), еде до = у (а„рз), оз = унрз + агарь + + уы (рг рз) а уи= — — (г, 7 = 1, 2) в точке з де де дгз дг. (а„р,). Доказательство. Покажем, что нз условий теоремы 3.3 следуют условия теоремы 6.1 гл. 7 при г = 2, $„з = е, $„з = тз. Действительно, из формул (3.4), (3.7), Н4 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИ'!ЕСКОИ СТАТИСТИКИ !ГЛ. 9 (3.11) прв п -и со получаем аю —— М4и! -— - а!, Еи! —.- Мел,!=)! + О( — !, (3.15) Кроме того, воспользовавшись формулой (3.6), найдем п /! %! е соч ($„„$„,) = сот (Е, л4) = — М ~ у ( — ~ уе — уз — (А ) ~ = е=! и '~~! М-у! Муз Ви + О( ! ) Отсюда и из (3.15) еледует выполнение условий теоремы 6.1 гл.
7. Теорема доказана. Отметим, что нз условий доказанной теоремы еще не следует, что параметры предельного нормального распределения являются главными членами асимптотических формул для Мч„, С!)„(см. такие (10), $27.7, стр. 388). 3.3. Точные выборочные распределения. Допредельные распределения различных выборочных характеристик могут заметно отличаться от предельных. Отыскание точных распределений является обычной задачей нахождения распределения функции от случайных величин (см. т 6 гл. 5). Однако найти точные выборочные распределения в удобной для приложений форме в общем случае не удается. Как уже отмечалось в т 2, величины хю й = 1,..., п, часто оказываются нормально распределенными.
Здесь мы ограничимся рассмотрением выборок х„хю..., х„ с нормально распределенными хе (й = 1,..., п). Для нормально распределенных зе распределения многих выборочных характеристик выражаются через небольшое число распределений, для которых имеются таблицы. Дадим еще несколько определений часто встречающихся в статистических исследованиях распределений. Пусть $е, з„..., с„— независимые нормально распределенные случайные величины с параметрами (О, 1).
Распределение величины Х'-=З" +Е4+ "+Ы (3.16) называется распределением т' (хи-квадрат) е п етеленл- 9 з1 ВЫБОРОЧНЫЕ МОМЕНТЫ 175 ми свободы. Распределение величины т.=$»/~ — „Х' (3.17) (й=1,...,п), сот ($», л»ы) = чч %"7 — с»»сиМу»ут — — —, ~ с»»сн 0 (7» чь ') ».1 1 н»» называется распределением Стьюдента с и степенями свободы. Обозначим 2'„, и )1'„„независимые случайные величины, имеющие РаспРеделение )1» с и, и лт степенЯми свободы соответственно. Распределение величины (3.16) х,*„1" называется Р-распределением (или распределением Фишера) с и, и и» степенями свободы.
Плотности распределения этих величин могут быть найдены в явном виде (см. (10! и (16))„формулы плотностей распределений приведены перед таблицами 4, 5, 6. Найдем теперь совместное распределение выборочного среднего х н выборочной дисперсии т». Следующая теорема о совместном распределении х и т, была доказана Р. Фишером. Т е о р е м а 3.4. Если элементы выборки х», й = = 1,..., и, независимы и распределены нормально с параметрами (а, О»), то и и т» нееависил»ы, причем х распределено нормально с параметрами (а, ОЧп), а пт»lа» имеет распределение т» с и — 1 степенями свободы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обратимся к соотношению (3.6). В предположениях доказываемой теоремы у„у,... ..., у„независимы и каждая величина у» распределена нормально с параметрами (О, 1). Введем новые случайные 1 величины $ ($» 1 $з) Су~ Где у (у»р у») 1 с,» ==, й = 1, 2,..., и, а остальные строки са„й = и = 1,..., и, 1 а 2, выбраны так, что матрица С ортогональна. Прв таком выборе С о Р,,== у у„= — у, М~„=о, (Уй„=1 ч-» у/'о —.ут у В-1 17В ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОН СТАТИСТИКИ !ГЛ. 9 Отсюда следует, что $„..., $„независимы и каждая величина распределена нормально с параметрами (О, 1). Выразим теперь т, через новые случайные величины.
Поскольку сумма квадратов инвариантна относительно ортогональных преобразований, то и э — = — ~~ ук — ( э ) = (1 $к — $к = $кк +... + с"„. (3.19) к=к к=! Отсюда и из неаависимостя с„ ..., $„ следует независикмк 1 ыость †, и х = =осы + а. Нормальная распределенск ность х следует иа нормальной распределенности $,. Из (3.16) и (3.19) вытекает, что птк/о' имеет распределение )(9 с и — 1 степенями свободы. Теорема доказана. При помощи теоремы ЗА можно найти распределение еще одной часто используемой величины. Величина $, = =(Х вЂ” а)/(о/у и) имеет нормальное распределение.
Кроме того, $, и пт,/о' независимы. Следовательно, по определению (3.17) величина (Х вЂ” а)/(е/)/л ) х — в,е— т кк ) ( 99 )/ктк/вк (в — 1) 1/ык к — 1 имеет распределение Стьюдента с и — 1 степенями свободы. Таким образом, доказано следующее утверждение. Т е о р е м а 3.5. Если элементы выборки х„..., х„ независимы и каждая из этих величин распределена нормаль- Х вЂ” в г— но с параметрами (а оэ) то величина = )/и — 1 имеет 1/ * распределение Стьюдента с и — 1 степенями свободы. Распределение Фишера будет использоваться в $ 8.
Там же нам понадобится следующая теорема, касающаяся распределения величины, пропорциональной отношению двух выборочных дисперсий, вычисленных по двум независимым выборкам. Теорема 36. Пусть х„...,х„, и х;,...,х„',— две независимые выборки и любая из этих и, + и, независимых величин имеет нормальное распределение с параметык л9 кк — 1 рами (а, и').
Тогда величина —.. — . —, где тк — выы' ' кк ' к,— 1 9 барочная дисперсия выборки х„..., х, а т; — выбо- точвчныи оцннки рвчнвл дисперсия выборки х(,..., х,',„имеет г'-распределение е и — 1 и не — 1 етепенлми свободы. Утверждение этой теоремы непосредственно следует из теоремы 3.4 и определения величины (3.18). й 4. Точечные оценки 4.1. Определения и примеры. Предположим, что функция распределения, соответствующая выборке хы хи... *, х„, зависит от неизвестного параметра О! Р (хе ( х) = Ра (х; О). Оценкой Ов параметра 0 называется произвольная функция 8*„= О„"(х„х„..., х„). Таким образом, О„" является случайной величиной.
Естественно потребовать, чтобы значения оценки в большинстве опытов были близки к значению оцениваемого параметра. Будем называть оценку О„*несмещенной оценкой параметра О, если при любом л МО*„= О. (4.1) Оценка О„"называется состоятельной, если для любого е)0 при п — «оо Р (~ Ой — 0 ) ( е) -«1. (4.2) Условиям (4.1) и (4.2) может удовлетворять несколько разных оценок одного и того же параметра. Тогда из них естественно выбрать ту, у которой дисперсия наименьшая.
Для широкого класса распределений можно указать точную нижнюю грань дисперсий оценок одного и того же параметра (см. и. 4.3). Рассмотрим два примера. Пример 1. Пусть О=а, =Мхю Положим 9„'= = 0*„(х„..., х„) = х, О„= х„где и определено формулой (3.2). Из определения несмещенности и из формулы (3.4) следует, что обе оценки 6„" и Ов являются несмещенными. Оценка 0*„, очевидно, не является состоятельной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
