А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 42
Текст из файла (страница 42)
2 ! Ц )2)и.и))и)2и)]и)2и)~ ..2 .2- й) ЕЙ2 ждения теоремы Фубини также выполнены. Действительно, при сформулированном условии нз (50) следует (47), а значит, справедливы и все утверждения теоремы Фубини. Пример. Пусть (С, 2!) — пара случайных величин, распределение кото- рых имеет двумерную плотность ~е „(х, у), т. е. Р((С, 2!) ЕВ)= ~ ~бч(х, у)2(хг(у, ВЕй2(22~), в где ~еч(х, У) — неотРицательнаЯ мг(ггз)-измеРимаЯ фУнкциЯ, а интегРал понимается как интеграл Лебега по двумерной лебеговской мере. Покажем, что тогда одномерные распределения для С и 2) также имеют плотности ~е(х) и )ч(у), причем 7е(х) = ) )еч(х, у) ду и ~„(у) = ~ ~еч(х, у) 2(х. (55) В самом деле, если А е,кт(22), то по теореме Фубини 2)222)=2))22)22 "2)= ! ))л)*2)2*22=! )! Аз),2)И]2* лха л ~л что и доказывает как наличие плотности распределения вероятностей у с, так и первую формулу (55).
Аналогично доказывается вторая формула. Согласно теореме нз $5, для того чтобы случайные величины С и 2) были независимы, необходимо и достаточно, чтобы Гел(х, у) =Гг(х)Г„(у), (х, у) е)7 . $6. НнтеГРАл леБеГА, мАтемАтическОе Ожиддние 25( Покажем, что в случае наличия двумерной плотности ~1 „(х, у) величины 5 и и независимы тогда и только тогда, когда 16»(х, У) = ~Е(х) Гч(У) (56) (равенство понимается почти наверное относительно двумерной лебеговской меры).
В самом деле, если выполнено (56), то по теореме Фубини Геч(к, У) = 5 16ч(и, и) «(и(1о= ) ~~(и)~ч(и) Ыи(Ь = (-«ох(х(-оо у! (-«ох!х(-ооу! мо«( ! ~,(о«)=«х)х.(о (-оо,»1 'х(-« .И и, следовательно, 5 и и независимы. Обратно, если они независимы и имеют плотность ~6 „(х, у), то опять- таки по теореме Фубини ы . о«.«. -(' ! ы. «.) ( ! г (.и.)- (- ок!х(-,у! ((- 4 / ((- .И Ц и) )ч(о) ((и ((о. (-оох!х(-«оу! Отсюда следует, что для любого В е лу()12) ~ ~ач(к, У)((х«(У=~ Цх)~ч(У)((х((У, в в и из свойства 1 легко вывести, что выполнено (56). 11. В этом пункте будет рассмотрен вопрос о разных определениях интегралов Лебега и Римана и соотношениях между ними. Прежде всего отметим, что конструкция интеграпа Лебега не зависит от того, на каком измеримом пространстве (Й, уу) заданы подлежащие интегрированию функции.
В то же время интеграл Римана для абстрактных пространств не определяется вовсе, а для случая пространств Й = 1(" он определяется последовательным образом: сначала для 1((, а затем с соответствующими изменениями переносится на случай и > 1. Подчеркнем, что в основу построения интегралов Римана и Лебега положены разные идеи.
Первый шаг в конструкции Римана состоит в том, что точки к 6 (г( группируются по признаку их близости на оси х. В конструкции же Лебега (дая Й =)т() точки к е !г( группируются по другому признаку — по близости значений подлежащих интегрированию функций: Следствием этих разных подходов является то, что соответствующие интегральные суммы Римана будут иметь предел лишь для не «слишком» 252 ГЛ.
Н. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ разрывных функций, в то время как лебеговские интегральные суммы будут сходиться к предельным значениям для более широкого класса функций. Напомним определение интеграла Римана — Стилтьеса. Пусть 6(х)— некоторая обобщенная функция распределения на )(( (см.
п. 2 $3), р— соответствующая ей мера Лебега — Стилтьеса, и пусть д = д(х) — ограниченная функция, обращающаяся в нуль вне отрезка [а, Ь]. Рассмотрим разбиение Я = (хо, ", хл), а = хо < х( «... х„= Ь, отрезка [а, Ь] и составим верхние и нижние суммы л = ~ й([0(х;+() — 0(х()], Х~ = ~ ХИ[0(х;+() — 0(х;)], (=( Р где й( = зцр а(у), и( = (п( д(у). к, ~<уча а-!<у<а Определим простые функции дв (х) и а»в(х), полагая на х; ( < х < х; дьь(х) = й(, дв (х) = й( и определяя а»в(а) = ив (а) = д(а).
Ясно, что тогда в соответствии с конструкцией интеграла Дебега — Стилтьеса (см. замечание 3 в п,2) ь =((.— $) ) д в(х) 0(((х) д' а ь К=(1.— 8) 1 дв (х) 6(а(х). а Пусть теперь (Я») — последовательность разбиений таких, что Я» С С 9»»+(, причем гу » = (хо , ..., х„, ) таковы, что вах [х,.+, — х,. ]- О, (») (»( (») (») оч(ку + й со. Тогда йв, >а»в,»... а »...дьу,>дьу„и если [д(х)[<С, то по теореме о мажорируемой сходимости ь йгп ~~( =((.— 8) ~ д(х) 6(((х), (57) йгп Ч~ ' = ((.— 5) $ п(х) 6(((х), » аО ,Уэ где й(х) = !пп дьу,(х), и(х) = (пп й',Р,(х).
$6. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ Если пределы !пп ~ и )пп ~", конечны, совпадают и их общее ь в» ь значение не зависит от выбора последовательности разбиений (»»»ь), то говорят, что функция у=д(х) интегрируема по Риману— Стилтьесу, а соответствующее общее значение пределов обозначается (й — 5) ) д(х) 0(дх) или (й — $) ) д(х) д0(х). (58) ь Пусть теперь (1.— 5) ~ д(х) 0(йх) — соответствующий интеграл Лебеа га — Стилтьеса (см.
замечание 3 в п. 2). Теорема 9. Если функция д= д(х) непрерывна на ]а, Ь], то она интегрируема по Риману — Стилтьесу и (Й вЂ” 5) ~ у(х) 0(дх) = (1.— 5) ) у(х) 0(дх). (59) Доказательство. Так как функция у(х) непрерывна, то д(х) = у(х) = =у(х). Поэтому в силу (57) )пп 2= 1пп 2,'. Таким образом, непреь»»» у ь оо » .У> рывная функция у=д(х) интегрируема по Риману — Стилтьесу и, более того, ее интеграл совпадает (опять-таки в силу (57)) с интегралом Лебега — Стилтьеса. С) Рассмотрим несколько подробнее вопрос о соотношении между интегралами Римана и Лебега в случае лебеговской меры на прямой 11. Теорема 10. Пусть д= д(х) — ограниченная функция на ]а, Ь].
а) Функция д= а(х) интегрируема по Риману на ]а, Ь] тогда и только тогда, когда она непрерывна почти всюду (относительно меры Лебега Л на Я(]а, Ь])). Ь) Если д= д(х) интегрируема по Рамону, то она интегрируема по Лебегу и (К) $ д(х)дх=(1.) ) д(х) Л(йх). (60) В том случае, когда 0(х) = х, этот интеграл называется интегралом Римана и обозначается ь (Й) ~ д(х) дх. а 254 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Доказательство.
а) Пусть функция д = а(х) интегрируема по Риману. Тогда, согласно (57), (Е) $ д(х) Л(дх) = (1) ~ д(х) Л(дх). Но д(х) < д(х) < х(х), поэтому в силу свойства Н д(х) = д(х) = д(х) (Л-п. н.), (61) откуда нетрудно вывести, что функция е(х) непрерывна почти всюду (относительно меры Л). Обратно, пусть функция у=д(х) непрерывна почти всюду (относительно меры Л).
В этом случае выполнено (61) и, следовательно, д(х) отличается от измеримой (по Борелю) функции е(х) лишь на множестве +' с Л( +') = О. Но тогда (х: д(х) <с)=(х: д(х) <с)П Ф'+(х: д(х) <с)Г! Ф'= =(х: а(х) <с)П.Ф'+(х: д(х) <с)й Ф'. Ясно, что (х: д(х) <с)Г!.Ф'ЕМ([а, Ь]), а множество (х: д(х) <с)й Ф' является подмножеством множества .Л', имеющего лебеговскую меру Л, равную нулю, и, следовательно, также принадлежащего М([а, Ь]).
Тем самым д(х) М([а, Ь])-измерима и как ограниченная функция интегрируема по Лебегу. Поэтому по свойству С (Е) ~ д(х) Л(с(х) = (1.) $ д(х) Л(дх) =(1.) ) д(х) Л(с(х), что и завершает доказательство утверждения а). Ь) Если функция д = д(х) интегрируема по Риману, то, согласно а), она непрерывна (Л-п. н.). Выше было показано, что тогда д(х) интегрируема по Лебегу и ее интегралы Римана и Лебега совпадают. П Замечание 1. Пусть 44 некоторая мера Лебега — Стилтьеса на М([а, Ь]). Обозначим М„([а, Ь]) систему подмножеств ЛС[а, Ь], для которых найдутся множества А и В из М([а, Ь]) такие, что А С Л С В и,и(В ! А) = О. пусть 44 — продолжение мера,и на ме([а, ь]) (р(л) = р(А) для л таких, что А СЛСВ и р(В~А) =0).
Тогда утверждение теоремы останется в силе, если вместо лебеговской меры Л рассмотреть меру р, а вместо интегралов Римана и Лебега рассмотреть соответствующие интегралы Римана — Стилтьеса и Лебега — Стилтьеса по мере р. Замечание 2. Определение интеграла Лебега (см. определения 1 и 2 и формулы (3) и (6) в п. 1) и концептуально, и «чисто внешне» отличает- йв. интеГРАл леБеГА. мАтемАтическОе Ожиддние 255 ся от определений интегралов Римана и Римана — Стилтьеса, требующих обращения к верхним и нижним суммам (см. (57)).
Остановимся более подробно на сопоставлении этих определений. Пусть (Й,.уг, р) — некоторое измеримое пространство с мерой р. Для всякой Я-измеримой неотрицательной функции 1 = Г(!г) определим два интеграла (нижний и верхний) ь.г и ь'!' (обозначаемые также Тар и ~ 1!(р), полагая по определению 1.,! =знр ~ ( !п1 )(ы))р(А!), ! У.'7=!п( ~ (эцр 1(ы))р(А!), мел; где зцр и !п1 берутся по всем конечным разбиениям (А !, А2, ..., А„) прост/ и ранства () на Я-измеримые множества А!, А2, ..., А„~~ А; =(), и> !. !=! Можно показать, что !', Г < Т." 1 и если функция 1 ограничена, а мера р конечна, то (..) = 1.*1 (задача 20). Один из подходов (Дарбу — Юнг) к определению интеграла 1.1 от функции 1 по мере р состоит в том, чтобы говорить, что функция 1 является р-интегрируемой, если ! 1 = ь 1, и в этом случае полагать 'ь) =т-,) (= е')).
Если теперь обратиться к определению интеграла Лебега ЕТ, данному в п. 1 (определение !), то можно убедиться (задача 2!), что Е1=1..1. Тем самым, можно сказать, что для ограниченных неотрицательных функций /= 1(ы) подходы Лебега и Дарбу — Юнга приводят к одному и тому же результату (Е!' =1! = 1.' ! = й,!'). Отличия же в этих подходах к интегрированию проявляются тогда, когда рассматриваются неограниченные функции или когда мера р может быть бесконечной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
