А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330)
Текст из файла
А. Н. Ширяев ВЕРОЯТНОСТЬ вЂ” 1 Элементарная теория вероятностей. Математические основания. Предельные теоремы Издание третье, переработанное н дополненное Долуи4ено Министерством образования России в качестве учебника для студентов высшая учебных заведений ло физико-математическим налравлениям и слециальностям Москва Издательство МЦНМО, 2004 УЛК 519.2! (075.8) ББК 22.!7! Ш64 Ширяев А. Н. Ш64 Вероятность. В 2-х кн. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: МЦНМО, 2004. 13В1«! 5-94057-036-4 Кн. 1. †5 с. — 15В1»! 5-94057-105-0 Настоящее издание (в двух книгах «Вероятность — !» и «Вероятность — 2»! представляет собой расширенный курс лекций по теории вероятностей.
Первая книга «Вероятность — !» содержит материал, относящийся к элементарной теории вероятностей,и может служить пособием лля первичного ознакомления с предметом. Большой материал отводится математическим основаниям теории вероятностей, базирующимся на аксиоматике Колмогорова, рассматриваются основные вопросы предельных теорем теории вероятностей. Вторая книга «Вероятность — 2» посвящена случайным процессам с дискретным временем.
Книги рассчитаны на студентов физико-математических специальностей университетов. Мо~уг служить учебным пособием аля аспирантов и справочным пособием для спениалистов. Табл. 9. Ил. 42. Библиогр. !36 назв. ББК 22.! 71 ХВВИ 6"94 067-106-0 785940 57105 © Ширяев А. Н., 2004 ! © МЦНМО, 2004 !$ВВ! 5-94057-036-4 !БВН 5-94057-105-0 (ки.
1) 1 К столетию со дня рождения Андрея Николаевича Колмогорова (1903 — 1987) ОГЛАВЛЕНИЕ КНИГА ПЕРВАЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ вЂ” 1 7 9 11 14 Предисловие к третьему изданию . Предисловие ко второму изданию. Предисловие к первому изданию Введение Глава Н. Математические основания теории вероятностей 160 э 1. Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов. Аксиоматнка Колмогорова . 161 3 2. Алгебры и о-алгебры. Измеримые пространства ............. 171 з 3. Способы задания вероятностных мер на измеримых пространствах 191 з 4.
Случайные величины. ! 214 з 6. Случайные элементы . 221 Глава 1. Элементарная теория вероятностей 20 $!. Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов 21 $2. Некоторые классические модели и распределения ............ 36 $3. Условные вероятности. Независимость ...................... 43 $4. Случайные величины и их характеристики ................... 63 5 б.
Схема Бернулли. 1. Закон больших чисел ..................,. 67 $6. Схема Бернулли. П. Предельные теоремы (локальная, Муавра— Лапласа, Пуассона), 78 $7. Оценка вероятности «успеха» в схеме Бернулли ............. 94 $8. Условные вероятности и математические ожидания относительно разбиений. !00 $9. Случайное блуждание. 1. Вероятности разорения и средняя продолжительность при игре с бросанием монеты ............... 109 5!О. Случайное блуждание. П. Принцип отражения. Закон арксинуса 120 $!!.
Мартингалы. Некоторые применения к случайному блужданию 128 512. Марковские цепи. Эргодическая теорема. Строго марковское свойство . 136 Глава! П. Близость и сходнмость вероятностных мер. Центральная предельная теорема 396 492 496 502 5!6 4 ОГЛАВЛЕНИЕ 96. Интеграл Лебега. Математическое ожидание................. $7. Условные вероятности и условные математические ожидания относительно и-алгебр . $8. Случайные величины. П . $9. Построение процесса с заданными конечномерными распределениями $10. Разные виды сходимости последовательностей случайных величин $11. Гильбертово пространство случайных величин с конечным вторым моментом $12.
Характеристические функции . $13. Гауссовские системы .. $1. Слабая сходимость вероятностных мер и распределений ...... В 2. Относительная компактность и плотность семейств вероятностных распределений $ 3. Метод характеристических функций в доказательстве предельных теорем . $4.
Центральная предельная теорема для сумм независимых случайных величин. 1. Условие Линдеберга ..................... Вб. Центральная предельная теорема для сумм независимых случайных величин.!1. Неклассические условия................. $6. Безгранично делимые и устойчивые распределения ........... $7. «Метризуемость» слабой сходимости .......................
$8, О связи слабой сходнмости мер со сходимостью случайных элементов почти наверное $9. Расстояние по вариации между вероятностными мерами. Расстояние Какугани — Хеллингера и интегралы Хеллннгера. Применение к абсолютной непрерывности и сингулярности мер ... $10. Контигуальность (сближаемость) и полная асимптотическая разделимость вероятностных мер В 11.
О скорости сходимости в центральной предельной теореме.... $12. О скорости сходимости в теореме Пуассона ................. $ !3. Фундаментальные теоремы математической статистики ......, Библиографическая справка (главы 1 — Ш) .. Список литературы . Предметный указатель . Указатель обозначений . 226 266 зоо 314 324 338 352 380 397 407 4!3 421 433 438 447 452 460 470 475 479 481 Огллвление 52? Предисловие. Глава Ч. Стационарные (в узком смысле) случайные последовательности и зргодическая теория 562 563 567 570 Глава Ч1. Стационарные (в широком смысле) случайные последовательности.
?.з-теория 578 $1. Спектральное представление ковариационной функции ....... 579 з 2. Ортогональные стохастические меры и стохастические интегралы 589 $4. Основные теоремы о сходимости субмартингалов и мартингалов 688 697 706 КНИГА ВТОРАЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ вЂ” 2 Глава 1Ч. Последовательности и суммы независимых случайных величин 4 1. Законы «нуля или единицы». 9 2. Сходимость рядов 93. Усиленный закон больших чисел 64, Закон повторного логарифма . $ 5, О скорости сходнмости в усиленном законе больших чисел н о вероятностях больших уклонений .
$1. Стационарные (в узком смысле) случайные последовательности. Сохраняющие меру преобразования..................... 2 2. Эргодичность н перемешивание. $3. Эргодические теоремы . з 3. Спектральное представление стационарных (в широком смысле) последовательностей $4. Статистическое оценивание ковариационной функции и спектральной плотности $5. Разложение Вальда . $6. Экстраполяция, интерполяция и фильтрация................. $7. Фильтр Калмана — Бьюси н его обобщения...,,,...,.........
Глава ЧП. Последовательности случайных величии, образующие мартингал з 1. Определения мартингалов и родственных понятий............ з 2. О сохранении свойства мартингальности при замене времени на случайный момент $3. Основные неравенства . з 5. О множествах сходнмости субмартингалов н мартингалов ..... з 6. Абсолютная непрерывность и сингулярность вероятностных распределений на измеримом пространстве с фильтрацией ....... 528 529 534 540 551 557 595 607 614 623 634 646 647 659 671 ОГЛАВЛЕНИЕ $7.
Об асимптотике вероятности выхода случайного блуждания за криволинейную границу 721 38. Центральная предельная теорема лля сумм зависимых случайных величин 726 39. Дискретная версия формулы Ито .................... 740 $10. Вычисление вероятности разорения в страховании. Мартингальный метод . 746 $11. О фундаментальных теоремах стохастической финансовой математики. Мартингальная характеризацня отсутствия арбитража 75! $12.
О расчетах, связанных с хеджированием в безарбнтражных моделях. 767 $13. Задачи об оптимальной остановке. Мартингальный подход.... 776 Глава Ч!П. Последовательности случайных величин, образующие марковскую цепь 786 $1. Определения и основные свойства .......................... 787 $2. Обобщенное марковское и строго марковское свойства .......
800 $3. О проблематике предельных, зргодических и стационарных распределений вероятностей для марковских цепей ........... 809 $4. Классификация состояний марковских цепей по алгебраическим свойствам матриц переходных вероятностей ............ 812 В 5. Классификация состояний марковских цепей по асимптотическим свойствам переходных вероятностей ................... 819 В 6. О предельных, стационарных и эргодических распределениях для счетных марковских цепей. 833 $7. О предельных, стационарных и эргодических распределениях для конечных марковских цепей 841 $8. Простое случайное блуждание как марковская цепь .......... 842 $9. Задачи об оптимальной остановке для марковских цепей......
856 Очерк истории становления математической теории вероятностей .. 875 Библиографическая справка (главы % †)..................... 899 Список литературы .. . .. .. ............. 904 Предметный указатель ..................... . ........ .... 910 Указатель обозначений 924 Предисловие к третьему изданию Если принять во внимание, что первое издание нашей книги «Вероятность» вышло в 1980 г., второе — в 1989 г., а настоящее, третье,— в 2004 г., то можно сказать, что издания выходят примерно с десяти- пятнадцатилетним интервалом.
(На английском языке книга издавалась в 1984 и 1996 гг. и на немецком — в 1988 г.) Время показывает, что отбор материала для первых двух изданий таков, что он сохраняет свою актуальность и сейчас. Это определило то, что мы сохранили структуру предшествующих изданий, внеся, однако, в настоящие книги «Вероятность — 1» и «Вероятность — 2» ряд существенных изменений и дополнений. Прежде всего это относится к последней, восьмой, главе, посвященной изложению теории марковских цепей с дискретным временем. По существу, эта глава написана заново. Теперь в ней содержится больше материала, приводятся подробные доказательства многих утверждений, ранее изложенные лишь в конспективной форме.
Особое внимание уделено строго марковскому свойству и концепциям стационарных и эргодических распределений. Специальный параграф отведен для изложения теории оптимальных правил остановки марковских цепей. Новый материал добавлен также и в седьмую главу, относящуюся к теории мартингалов с дискретным временем. В й 9 приводится дискретный вариант формулы К. Ито, что может рассматриваться как введение в стохастическое исчисление для броуновского движения, где формула замены переменных Ито играет исключительно важную роль.
В $10 этой главы показывается, как методы теории мартингалов позволяют просто получать оценки вероятностей разорения страховых компаний, эволюция капитала которых описывается моделью Крамера †Лундбер. Материал $ 11 относится к «теории арбитража» в стохастической финансовой математике. Здесь приводятся две «фундаментальные теоремы теории арбитража», дающие в мартингальных терминах условия отсутствия арбитражных возможностей и условия, гарантирующие существование такого портфеля ценных бумаг, который позволяет достичь поставленной финансовой цели. В $12 приводится ряд важных результатов «финансовой инженерии» относительно расчетов рациональных (справедливых) стоимостей опционов и структуры «хеджируюших» портфелей ценных бумаг. Обшей теории оптимальных правил остановки для произвольных случайных последовательностей отведен 5 13 этой главы.
Излагаемый материал служит хорошей иллюстрацией того, как понятия и результаты теории а ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ мартингалов «работают» в разнообразных проблемах «стохастической оптимизации». В другие главы также внесен ряд изменений и дополнений. Отметим здесь новый материал, относящнйся-к теоремам о монотонных классах (5 2 главы П), основанный на детальном изложении понятий н свойств «я-Л-систем», н $13 главы П!, посвященный некоторым фундаментальным теоремам математической статистики.
Новым в настоящем издании является «Очерк истории становления математической теории вероятностей>, помещенный в конце книги «Вероятность — 2». В ряд параграфов внесены новые задачи. Автор глубоко признателен Т. Б. Толозовой за большой труд по научному редактированию книги н руководству издательства Московского центра непрерывного математического образования как за предложение о новом издании, так н за быстрое н эффективное осуществление проекта по изданию книги. Москва, 2003 А. Ширяев Математический институт нм. В. А. Стеклова РАН, Московский государственный университет им.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
