А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 6
Текст из файла (страница 6)
задачу 2.) Если рассматривать всевозможные объединения множеств из У, то вместе с пустым множеством И полученная система множеств будет алгеброй, которая называется алгеброй, порожденной разбиением У, и обозначается а(У). Таким образом, элементы алгебры а(У) составляются нз пустого множества н сумм множеств, являющихся атомами разбиения У, Итак, если У вЂ” некоторое разбиение, то ему однозначным образом ставятся в соответствие алгебра Я= а(У). Справедливо н обратное утверждение.
Пусть Я вЂ” некоторая алгебра подмножеств конечною пространства й. Тогда найдется, и притом единственное, разбиение У, атомы которого являются элементами алгебры Я, н такое, что М = а(У). В самом деле, пусть множество 0 е Я н обладает тем свойством, что для всякого В е Я множество 0 пВ нлн совпадает с О, или является пустым множеством. Тогда совокупность таких множеств Р образует разбиение У с требуемым свойством а(У) =Я.
В случае примера а) в качестве У берется тривиальное разбиение, состоящее лишь из одного а) лг =(й, а) — система, состоящая из й н пустого множества (так называемая тривиальная алгебра); Ь) лг = (А, А, й, а) — система, порожденная событием А; с) лг = (А: А С й) — совокупность всех (включая и пустое множество о) подмножеств й, Нетрудно заметить, что все этн алгебры событий получены по следующему принципу. Будем говорить, что система множеств ГЛ. !.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (О, ..., О, 1, О, ..., О, 1, ...). где на местах с номерами»и ..., »» стоят единицы, а на остальных — нули. Тогда при фиксированном й число различных множеств А вида (ич„..., и»,) совпадает с числом способов, которыми можно й единиц (й неразличимых дробинок) разместить по М местам (по М ячейкам). Согласно таблице 4 (см. правую нижнюю клетку), число таких способов равно С». Отсюда (с учетом пустого множества) находим, что М(мГ)=!+Си~+" +Снн (1+1)н 2н 4. Пока мы сделали два первых шага к построению вероятностной модели («теории») эксперимента с конечным числом исходов: выделили пространство исходов й и некоторую систему Ы его подмножеств, образующих алгебру и называемых событиями.
(Пару Ф= (й, лг) иногда идентифицируют с экспериментом.) Сделаем теперь следующий шаг, а именно припишем каждому элементарному событию (исходу, явлению) ь» ей, 1=1, ..., М, некоторый «вес», обозначаемый р(ьв) (или р;) и называемый вероятностью исхода ь», который будем считать удовлетворяющим следуюшим условиям: а) О < р(«а) <! (неотрицательность), Ь) р(»«1)+... + р(ын) = 1 (нормироеанность). Отправляясь от заданных вероятностей р(иь) исходов ьл определим вероятность Р(А) любого события А е л~ по формуле Р(А) = ~~~ р(ив). Н»л ел1 (4) Определение. Принято говорить, что «вероятностное пространство» (й, лг, Р), множества 0~ = й; в случае Ь) У=(А, А).
Самое мелкое разбиение У, составленное из одноточечных множеств («»), иа е й, порождает алгебру в примере с), т. е. алгебру всех подмножеств Й. Пусть У1 и Уз — два разбиения. Будем говорить, что разбиение Уз «мельче» разбиения Уп и записывать это в виде У~с Уз, если о(У,) С С а(Уг). Покажем, что если пространство й состоит, как было предположено выше, из конечного числа точек ши ..., ын, то общее число М(.сФ) множеств, составляющих систему лг из примера с), равно 2". Действительно, каждое непустое множество А е лФ может быть представлено в виде А=(ьч„..., ь»„), где ив»ей, 1<й<М. Поставим в соответствие этому множеству последовательность, состоящую из нулей и единиц: 4 ь ввроятностндя модвль З! где П=(ш,, ..., ши), лг — некоторая алгебра подмножеств () и Р= (Р(А); А ~ л» ), определяет (задает) вероятностную модель («теорню») эксперимента с (конечным) пространством исходов (элементарных событий) () н алгеброй событий л». (Ясно, что Р((ьл)) = р(ьл), 1= 1, „., М,) Из определения (4) вытекают следующие свойства вероятностей; Р(в) =О, Р(й) =1, Р(АцВ) = Р(А)+Р(В) — Р(Аг1В).
(5) (6) (7) В частности, если А г! В =а, то Р(А+ В) = Р(А) + Р(В), Р(А) = 1 — Р(А). (8) (9) 5. Прн построении вероятностных моделей в конкретных ситуациях выделение пространства элементарных событий й н алгебры событий лг, как правило, не является сложной задачей, При этом в элементарной теории вероятностей в качестве алгебры лФ обычно берется алгебра всех подмножеств й. Труднее обстоит дело с вопросом о том, как задавать вероятности элементарных событий.
В сущности, ответ на этот вопрос лежит вне рамок теории вероятностей, н мы его подробно не рассматриваем, считая, что основной нашей задачей является не вопрос о том, как приписывать исходам те нлн иные вероятности, а вычисление вероятностей сложных событий (событий нз л~) по вероятностям элементарных событий. С математической точки зрения ясно, что в случае конечного пространства элементарных событий с помощью приписывания исходам шп ...,шн неотрицательных чисел рн ..., рн, удовлетворяющих условию р~ + ...
+ + рн = 1, мы получаем все мыслимые (конечные) вероятностные пространства. Правильность же назначенных для конкретной ситуации значений рп ..., рн может быть до известной степени проверена с помощью рассматриваемого далее закона больших чисел, согласно которому в длинных сериях «незавнснмых» экспериментов, происходящих прн одинаковых условиях, частоты появления элементарных событий «блнзкн» к нх вероятностям. В связи с трудностью, связанной с вопросом приписывания исходам значений нх вероятностей, отметим, что существует много практических ситуаций, в которых нз соображений симметрии нли однородности представляется разумным рассматривать все мыслимые исходя как равновозможные. Поэтому, если пространство элементарных исходов й состоит нз ГЛ.!.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 32 точек ьч, ..., ын, где Ф < оо, то полагают р(~д=" = рМ)=1/А! и, следовательно, для любого события А Е ~Ф Р(А) = А1(А)/А1, (10) где А/(А) — число элементарных событий, составляющих А. Такой способ задания вероятностей носит название классического. Ясно, что в этом случае подсчет вероятностей Р(А) сводится к подсчету числа исходов, приводящих к событию А.
Делают это обычно комбинаторными методами, в связи с чем комбинаторика, имеющая дело с конечными множествами, занимает значительное место в вероятностном исчислении. Пример 7. Задача о совпадениях. Пусть урна содержит М шаров, занумерованных числами 1, 2, ..., М. Производится выбор с возвращением обьема л, при этом рассматриваемые выборки считаются упорядоченными. Ясно, что в этом случае й=(м: ш=(ан ..., а„), а;=1, ..., М) и А!(й) =М".
В соответствии с классическим способом задания вероятностей будем считать все М" исходов равновероятными и поставим следующий вопрос: какова вероятность события А=(ип а;~а;, (Ф/), т. е. события, заключающегося в отсутствии повторений? Понятно, что А((А)=М(М вЂ” !)...(М вЂ” и+1) и, значит, 1 (1 1) Эта задача допускает следующую интересную интерпретацию. Пусть в классе находится п учеников. Будем считать, что день рождения каждого ученика приходится на один из 365 дней и любой день равновозможен. Спрашивается, какова вероятность Рззз(п) того, что в этом классе с и учениками найдутся но крайней мере два ученика, дни рождения которых совпадают? Если рассматривать выбор дня рождения как выбор шара из урны с М =365 шарами, то, согласно (1!), 365" ' (365)и $ !.
ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОКСЕЛЬ Следующая таблица дает значения вероятностей Рзез(л) для некоторых л: При достаточно больших М и, значит, (М)„л(л- а Рм(л) = ! — — „" ! — е тм (ш Рм(л)), М вЂ” со. Ниже приводится график функции Рзаз(л). В том же самом масштабе график приближения Рзаз(л) практически совпадает с графиком функции Рзаз(л). На интервале 10, 60) максимальное их отличие равно примерно 0,01 (в окрестности значения и =30).
Графики Рзм(л) и Рмз(л) График рмз(л) — Рмз(л) Интересно отметить, что (вопреки ожидаемому!) размер класса, где с вероятностью 1/2 найдутся по крайней мере два ученика с совпадающими днями рождения, не столь уж велик: он равен всего лишь 23. Пример 8. Выигрыш в лотерею. Рассмотрим лотерею, устроенную по следующему принципу. Имеется М билетов, занумерованных числами 1, 2, ..., М, из которых и билетов с номерами 1, 2, ..., л являются выигрышными (М>2л).
Вы покупаете и билетов, и спрашивается, какова вероятность (обозначим ее Р) того, что по крайней мере один билет будет выигрышным? 2 — 9727 1 0,8 0,6 0,4 0,2 и-! л-! (М)л ч 7 л1 ! ч ! л(л — !) 1п — =~ !п~! — — ~ М ~ ~ И) М2 — М 0,0! 0,008 0,006 0,004 0,002 ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 34 Й=(ы: и=[он ..., а„], аз;ааь й~(; а; =1, ..., М). Согласно таблице 1, Ф(й) = С" . Пусть теперь Ао=(ы: и= [он ..., а ], азэзан йФ1; а; =и+1, ..., М) — событие, состоящее в том, что среди купленных билетов неги выигрыш- ных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
