А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Излагаемый здесь материал стал включаться в традиционные курсы теории вероятностей лишь сравнительно недавно. В последней главе, посвященной марковским цепям, основное внимание уделяется вопросам асимптотического поведения цепей Маркова со счетным множеством состояний. В конце каждого параграфа приводятся задачи, значимость которых может быть различной: в одних предлагается доказать утверждения, сформулированные, но не доказанные в основном тексте, другие содержат утверждения, используемые в последующем изложении, третьи преследуют цель дать дополнительные сведения к рассматриваемому кругу вопросов и, наконец, некоторые носят характер простых упражнений.
При составлении курса и настоящего пособия автор использовал разнообразную литературу по теории вероятностей. В историко-библиографической справке указываются как источники приводимых результатов, так и дополнительная литература, относящаяся к рассматриваемому материалу. ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ 13 В книге применяется следующая нумерация и система ссылок.
Каждый параграф содержит свою нумерацию теорем, лемм и формул (без указания номера главы и параграфа). При ссылке на соответствующий результат из другого параграфа той же главы применяется двойная нумерация, где первая цифра указывает номер параграфа (так, ссылка на формулу (230) означает формулу (! О) из $2). При ссылке на результаты из другой главы используется тройная нумерация (так, формула (П.4.3) означает формулу (3) из $4 главы П).
Автор пользуется здесь случаем поблагодарить А. Н. Колмогорова, Б. В. Гнеденко, Ю. В. Прохорова, которые его учили и у которых он учился теории вероятностей и советами которых он имел возможность пользоваться. Автор приносит также свою признательность сотрудникам кафедр теории вероятностей н математической статистики механико-математического факультета МГУ и сотрудникам отдела теории вероятностей Математического института им. В.
А. Стеклова АН СССР за обсуждения и советы. А.Ширяев Введение Предметом теории вероятностей является математический анализ случайных явлений — эмпирических феноменов, которые (при заданном «комплексе условий») могут быть охарактеризованы тем, что для них отсутствует детерминистическая регулярность (наблюдения над ними не всегда лриводят к одним и тем же исходам) и в то же самое время они обладают некоторой статистической регулярностью (проявляющейся в статистической устойчивости частот). Поясним сказанное на классическом примере «честного» подбрасывания «правильной» монеты. Ясно, что заранее невозможно с определенностью предсказать исход каждого подбрасывания.
Результаты отдельных экспериментов носят крайне нерегулярный характер (то «герб», то «решетка»), и кажется, что это лишает нас возможности познать какие-либо закономерности, связанные с этими экспериментами. Однако, если провести большое число «независимых» подбрасываний, то можно заметить, что для «правильной» монеты будет наблюдаться вполне определенная статистической регулярность, проявляющаяся в том, что частота выпадания «герба» будет «близка» к 1/2. Статистическая устойчивость частот делает весьма правдоподобной гипотезу о возможности количественной оценки «случайности» того или иного события А, осуществляющегося в результате экспериментов.
Исходя из этого, теория вероятностей постулирует существование у события А определенной числовой характеристики Р(А), называемой вероятностью этого события, естественное свойство которой должно состоять в том, что с ростом числа «независимых» испытаний (экспериментов) частота появления события А должна приближаться к Р(А). Применительно к рассмотренному примеру это означает, что вероятность события А, состоящего в выпадании «герба» при бросании «правильной» монеты, естественно считать равной !/2.
Число подобных примеров, в которых интуитивное представление о численном значении вероятности того или иного события складывается весьма легко, можно без труда приумножить. Однако все они будут носить сходный характер и сопровождаться не определенными (пока) понятиями типа «честное» подбрасывание, «правильная» монета, «независимость» и т. п. ВВЕДЕНИЕ Призванная изучать количественные характеристики «случайности», теория вероятностей, как и всякая точная наука, стала таковой лишь тогда, когда было четко сформулировано понятие вероятностной модели, когда была создана ее аксиоматика. В этой связи естественно сейчас хотя бы кратко остановиться на основных исторических вехах теории вероятностей.
Подробный «Очерк истории становления математической теории вероятностей» приведен в книге «Вероятность — 2», Возникновение теории вероятностей как науки относится к середине ХНП века и связано с именами Паскаля (1623 в 1662), Ферма (1601 †16), Гюйгенса (1629 †16). Хотя отдельные задачи, касающиеся подсчета шансов в азартных играх, рассматривались ранее — в ХН вЂ” ХН1 вв. итальянскими математиками (Кардано, Пачоли, Тарталья и др.), первые общие методы решения таких задач были, по-видимому, даны в знаменитой переписке между Паскалем и Ферма, начавшейся в 1654 г., и в первой книге по теории вероятностей «Пе Яа1юс1пйз !п А!еаз (.цдо» («О расчетах в азартных играх»), опубликованной Гюйгенсом в 1657 г. Именно в этот период вырабатывается важное понятие «математическое ожидание», устанавливаются теоремы сложения и умножения вероятностей.
Истинная история теории вероятностей начинается с работы Я. Бернулли (1654 — 1705) «Агз Соп!ес1апд!» («Искусство предположений»), опубликованной в 1713 г., в которой была доказана (и вполне строго) первая предельная теорема теории вероятностей — «закон больших чисел», и работы Муавра (1667 — 1754) «МВсейапеа Апа!у1!са Барр(ешепблп» (примерный перевод может быть таков: «Аналитические методы» или «Аналитическая смесь»), 1730 г., в которой впервые была сформулирована и доказана (в симметричной схеме Бернулли) так называемая <центральная предельная теорема». Я. Бернулли принадлежит заслуга введения в науку «классического» определения понятия «вероятность события» как отношения числа возможных результатов испытаний, благоприятствующих рассматриваемому событию, к числу всех возможных результатов испытаний.
Я. Бернулли был, вероятно, первым, кто делал четкое различие между понятиями «вероятность» события и «частота» его появления и кто осознал важность рассмотрения бесконечных йоследовательностей повторных испытаний, Муавру принадлежит заслуга в определении таких понятий, как «независимость», «математическое ожидание», «условная вероятность». В 1812 г. выходит большой трактат Лапласа (1749 — 1827) «ТЬеопе Апа!у- 1!чае без РгоЬаЬ!!!1еэ» («Аналитическая теория вероятностей»), в которой он излагает свои собственные результаты в области теории вероятностей, ВВЕДЕНИЕ а также результаты своих предшественников. В частности, он обобщил теорему Муавра на общий (несимметричный) случай схемы Бернулли, раскрыв тем самым более полным образом значение результата Муавра. Весьма значителен вклад Лапласа, состоящий в применении вероятностных методов к теории ошибок наблюдений.
Именно им была высказана плодотворная идея, что ошибка наблюдений должна рассматриваться как суммарный эффект сложения большого числа независимых элементарных ошибок. Отсюда следовало, что прн достаточно общих условиях распределение ошибок наблюдений по крайней мере приближенно должно быть нормальным. К этому же периоду в развитии теории вероятностей, когда центральное место в исследованиях занимали предельные теоремы, относятся работы Пуассона (178! — 1840) и Гаусса (! 777 — !855).
С именем Пуассона в современной теории вероятностей связано понятие распределения и процесса, носящих его имя. Гауссу принадлежит заслуга создания теории ошибок и, в частности, обоснование одного из ее основных принципов — метода наименьших квадратов. Следующий важный период в развитии теории вероятностей связан с именами П. Л. Чебышева (182! — 1894), А.
А. Маркова (!856-!922), А. М. Ляпунова (1857 — !918), создавших эффективные методы доказательства предельных теорем для сумм независимых произвольно распределенных случайных величин. Число публикаций Чебышева по теории вероятностей невелико — их всего четыре, но их роль в теории. вероятностей и в создании классической русской школы теории вероятностей трудно переоценить. «С методологической стороны основной переворот, совершенный Чебышевым, заключается не только в том, что он впервые с полной настойчивостью выдвинул требование абсолютной строгости доказательства предельных теорем., но главным образом в том, что Чебышев всюду стремился получить точные оценки отклонений от предельных закономерностей, возможных при хотя бы и большом, но конечном числе испытаний, в виде безусловно правильных при любом числе испытаний неравенств» (А.
Н. Колмогоров !30!). До Чебышева основной интерес в теории вероятностей был связан с подсчетом вероятностей случайных событий. Им же впервые была ясно осознана и использована вся сила понятий «случайная величина» и «математическое ожидание случайной величины». Лучшим выразителем идей Чебышева был его ближайший ученик Марков, которому принадлежит несомненная заслуга доведения до полной ясности результатов своего учителя. Значительным вкладом Маркова в теорию вероятностей явилось начатое им исследование предельных теорем ВВЕДЕНИЕ !7 яя сумм зависимых случайных величин и создание одного из новых разя слов теории вероятностей — теории зависимых случайных величин, связанных, как теперь принято говорить, в цепь Маркова.
« .,Классический курс исчисления вероятностей А. А. Маркова и его оригинальные мемуары, являющиеся образцом точности и ясности изложения, в наибольшей степени содействовали превращению теории вероятностей в одну из самых совершенных областей математики и широкому распространению направления и методов Чебышева» (С. Н. Бернштейн [3]). Для доказательства центральной предельной теоремы теории вероятностей (о сходимости к нормальному закону) Чебышев и Марков применили так называемый метод моментов. При более общих условиях и более простым методом — методом характеристических функций эта теорема была получена Ляпуновым. Последующее развитие теории показало, что метод характеристических функций является мощным аналитическим средством доказательства самых разнообразных предельных теорем. Современный период в развитии теории вероятностей начинается с установления аксиоматики.
Первые работы в этом направлении принадлежат С. Н. Бернштейну (1880 †19), Р Мизесу (1883 †19), Э. Борелю (1871 †19). В 1933 г. вышла книга А. Н. Колмогорова «Основные понятия теории вероятностей», в которой была предложена аксиоматика, получившая всеобщее признание и позволившая не только охватить все классические разделы теории вероятностей, но и дать строгую основу для развития ее новых разделов, вызванных запросами естествознания и связанных с бесконечномерными распределениями. Изложение в настоящих книгах «Вероятность — 1» и «Вероятность— 2» основано на аксиоматическом подходе Колмогорова.
При этом, чтобы формально-логическая сторона дела не заслоняла интуитивных представлений, наше изложение начинается с элементарной теории вероятностей, «элементарность» которой состоит в том, что в соответствующих вероятностных моделях рассматриваются эксперимерты лишь с конечным числом исходов. После этого мы даем изложение основ теории вероятностей в ее наиболее общем виде («Вероятность — 1»). Начиная с 20 — 30 годов прошлого столетия в теории вероятностей бурно развивается один из ее новых разделов — теория случайных процессов, занимающаяся изучением семейств случайных величин, эволюционирующих во времени. Была создана теория марковских процессов, теория стационарных процессов, теория мартингалов, теория предельных теорем лля случайных процессов, теория информации. Основное внимание в книге «Вероятность — 2» уделяется случайным процессам с дискретным временем — случайным последовательностям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
