А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Очевидно, что число неупорядоченных выборок с а! = 1 равно й!(М, л), с а! =2 равно й!(М вЂ” 1, и) и т.д. Следовательно, ЦМ, л + 1) = И(М, и) + У(М вЂ” 1, л) +... + !Ч(1, п) = = с" +„, + с",+„, +... + с„" = =(С"+'„-С"+'„,)+(С"+', „-С"+', „,)+ ... где мы воспользовались следующим легко проверяемым свойством бино- миальных коэффициентов Сг: с, +с,=с,+,.
1-! (Это свойство лежит в основе подсчета биномиальных коэффициентов из «треугольника Паскаля».) Пример 5. Выбор без возвращения. Будем предполагать, что и < М и что извлеченные шары обратно не возвращаются. В этом случае также рассматриваются две возможности, связанные с различением упорядоченных и неупорядоченных выборок. В случае упорядоченных выборок без возвращения (в комбинаторике — размещений из М по л без повторений) пространство исходов П=(ьн «!=(а!, ..., а„), а»~а!, йф(; а; =1, ..., М), а число элементов этого множества равно М(М вЂ” 1)... (М вЂ” л+1). Это число обозначается (М)„нли Ам и называется «числом размещений из М ло л».
ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 24 В случае неупорядоченных выборок без возврая(ения (в комбинаторике — сочетаний из М по л без повторений) пространство исходов й=(щ: ш=]ан ..., а„], ае;ааь А~1; а; =1,, М) состоит из А((й) = С$ (3) элементов. Действительно, из неупорядоченного набора [ан ..., а„], состоящего из различных элементов, можно получить ровно и! упорядоченных наборов. Следовательно, А!(й) и! = (М)„ и, значит, А!(й) = — = С",.
(М)п — и! — м. Результаты о числе исходов в случае и извлечений из урны с М шарами сведем в таблицу 1: Таблица 1 Для случая М = 3 и и = 2 структура соответствующих пространств элементарных событий приводится в таблице 2: Таблица 2 4 Е ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ Пример 6. Размещение дробинок по ячейкам. Рассмотрим вопрос о структуре пространства элементарных событий в задаче размещения и дробинок (шаров и т. п.) по М ячейкам (ящикам и т.
п.). В статистической физике подобная задача возникает, например, при изучении распределения и частиц (это могут быть протоны, электроны, ...) по М состояниям (это мокнут быть энергетические уровни). Пусть ячейкам присвоены номера 1, 2,...,М, и предположим сначала, что дробинки различимы (имеют номера 1, 2, ..., и). Тогда распределение и дробинок по М ячейкам полностью описывается (упорядоченным) набором (ап ..., а„), где а; — номер ячейки, куда попала дробинка с номером Е Если же рассматриваемые дробинки неразличимы, то их распределение по М ячейкам полностью описывается (неупорядоченным) набором [ап ..., а„), где а; — номер ячейки, в которую попала дробинка на(-м шаге. Сравнивая рассматриваемую ситуацию с примерами 4 н 5, видим, что имеют место следующие соответствия: (упорядоченные выборки) (различимые дробинки), (неупорядоченные выборки) (неразличимые дробинки), означающие, что случаю упорядоченных (неупорядоченных) выборок в задаче выбора л шаров из урны с М шарами соответствует (один и только один) случай расположения различимых (неразличимых) дробинок в задаче размещения л дробинок по М ячейкам.
Аналогичный смысл имеют следующие соответствия: (в ячейке может находиться (выбор с возвращением) ~,любое число дробинок г в ячейке может находиться 1 (выбор без возвращения) ~не более одной дробинки Из этих соответствий можно сконструировать соответствия типа: неупорядоченные выборки неразличимые дробинки в задаче их размещения ао ячейкам, когда в задаче выбора без возв ячейке не может находиться вращения более одной дробинки и т.
д., что дает возможность использовать примеры 4 и 5 для описания структуры пространства элементарных событий в задаче распределения различимых и неразличимых дробинок по ячейкам с запретом (в ячейке может находиться не более одной дробинки) или без запрета (в ячейке может находиться любое число дробинок). Таблица 3 показывает структуру расположения двух дробинок по трем ячейкам. В случае различимых дробинок они обозначаются Б (белая) ГЛ. (. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и Ч (черная).
В случае неразличимых дробинок их наличие в ячейке обозначается знаком +. Таблица 3 Указанная выше двойственность между рассматриваемыми задачамн позволяет очевидным образом найти число исходов в задаче размещения дробинок по ячейкам. Соответствующие результаты, включающие в себя также и результаты таблицы !, сведены в таблицу 4. Таблица 4 й(й) в залаче размешення и дробинок по М ячейкам Неразличимые дробинки Различимые дробинки ы сь Ь ш с (М)л Выбор Набор Неупорядоченные выборки Упорядоченные выборки а л шаров из урны с М ша й)(й) в задаче выбор рами Тип дро- бинРаз- ки ме- шение мл (статистика Максвелла-Больцмана) См+„! (статистика Бозе — Эйнштейна) См (статистика Ферми — диракв) и ы с сз ф ш с й и и ы иа с. й ь ввроятностндя модвль Б статистической физике говорят, что различимые (неразличимые) частицы, не подчиняющиеся принципу запрета Паули («не больше одной частицы в каждой ячейке»), удовлетворяют (физической) статистике х4аксвелла — Больцмана (соответственно в статистике Бозе †Эйнштей).
Если же частицы неразличимы и подчиняются принципу запрета, то— статистике Ферми †Лира (см. табл. 4). Известно, например, что электроны, протоны и нейтроны подчиняются статистике Ферми †Дира, фотоны и пи-мезоны — статистике Бозе — Эйнштейна. Известно также, что случай различимых частиц, подчиняющихся принципу запрета, в физике не встречается. 3. Наряду с понятием пространства элементарных событий введем теперь важное понятие события, лежащее в основе построения всякой вероятностной модели («теории») рассматриваемого эксперимента.
Экспериментаторы обычно интересуются не тем, какой конкретно исход имеет место в результате испытания, а тем, принадлежит ли исход тому или иному подмножеству всех исходов. Все те подмножества А С й, для которых по условиям эксперимента возможен ответ одного из двух типов: «исход шеА» или «исход мфА», — будем называть событиями. Например, пусть осуществляется трехкратное подбрасывание монеты. Пространство всех исходов й состоит из восьми точек: й=(ГГГ, ГГР, ..., РРР), и если «комплекс условий» позволяет записать (зафиксировать, «измерить» и т. п.) результаты всех трех подбрасываний, то, скажем, множество А =(ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ) является событием, состоящим в том, что выпадет по крайней мере два «герба».
Однако если «комплекс условий» позволяет зафиксировать лишь только результат первого подбрасывания, то рассматриваемое множество А уже нельзя называть собыгпием, поскольку нельзя дать ни утвердительного, ни отрицательного ответа на вопрос о том, принадлежит ли конкретный исход ш множеству А.
Отправляясь от некоторой заданной системы множеств, являющихся событиями, можно образовывать новые события, отвечающие конструкциям высказываний с логическими связками «или», «и» и «не», чему на языке теории множеств соответствуют операции «объединения», «пересечення» и «дополнения». Если А и  — два множества, то под их объединением, обозначаемым А О В, понимается множество, состоящее из точек, входящих или в А, или вВ: АОВ=(май: шбА или меВ). ГЛ. Ь ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ На языке теории вероятностей АО — событие, состоящее в том, что произошло котя бы одно нз событий А илн В.
Пересечение двух множеств А и В, обозначаемое А й В нлн АВ, есть множество, состоящее нз точек, входящих н в А, н в В: АпВ=(шЕЙ: шЕА и шЕВ). Событие А йВ состоит в том, что одновременно произошло и событие А, н событие В. Так, если А =(ГГ, ГР, РГ) и В =(РР, РГ, ГР), то АОВ=(ГГ, ГР, РГ, РР) (=Й), АйВ=(РГ, ГР). Если А — некоторое подмножество Й, то под его дополнением, обозначаемым в дальнейшем А, понимается множество точек из Й, не входящих в А. Если через В ~А обозначать разность множеств В н А (т. е.
множество точек, входящих в В и не входящих в А), то А =Й~А. На языке теории вероятностей А — это событие, состоящее в ненаступлгнии события А. Так, если событие А =(ГГ, ГР, РГ), то А =(РР) — событие, состоящее в том, что подряд выпадут две «рещеткн». Множества А и А не имеют общих точек, н, следовательно, множество А Г1Д является пустым. Для пустого множества будем использовать обозначение И. В теории вероятностей множество И называется невозможным событием. Множество Й естественно назвать необходимым, нли достоверным, событием.
Объединение А О В множеств А н В в том случае, когда они не пересекаются (АВ = а), называется суммой множеств А и В н обозначается А+В. Если рассматривается некоторая система л4~ множеств А СЙ, то с помощью теоретнко-множественных операций О, и н ~ можнО НЗ эЛЕМЕНтОВ л4 построить новую систему множеств, которые также являются событнямн. Присоединяя к этим событиям достоверное н невозможное события Й н о, получаем систему множеств лФ, которая является алгеброй, т. е.
такой системой подмножеств множества Й, что !) ЙЕл~, 2) если А е лэ, В Е лэ, то множества А О В, А й В, А ~ В также принадлежат лэ. Из сказанного следует, что в качестве систем событий целесообразно рассматривать такие системы множеств, которые являются алгебрами. Именно такие системы событий мы н будем рассматривать далее. Остановимся на некоторых примерах алгебр событий: й ь впроятностнля модпль У=(О, ..., 0„) образует разбиение множества й, а 0; являются атомами этого разбиения, если множества 0; непусты, попарно не пересекаются н их сумма равна й: О,+...+Р„=й. Если, например, множество й состоит нз трех точек, й =(1, 2, 3), то существует пять различных разбиений: с 0~ = (1, 2, 3); с 0~ = (1, 2), Оз = (3); с 0~ = (1, 3), Рз = (2); с 0~ = (2, 3), Рз = (1); с 0~ = (1), Оз = (2), оз = (3) У, =(О,) У2 = (р! ° 02) Уз =(О, Рз) У,=(О,, О,) Уз=(Оь Оз, Оз) (По поводу общего числа разбиений конечного множества см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
