А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Опять-таки, согласно таблице 1, Ф(Ао)= С" „. Поэтому и, значит, Р=1 — Р(Ао)=1 — (! — М)(1 — М 1)" (1 — М „+1). Если М =из и л- оо, то Р(Ао)- е ' и Р-+1 — е ' =0,632, где сходимость довольно быстрая: уже при л =!0 вероятность Р = 0,670. 6.
Задачи. !. Установите справедливость следующих свонств операций й н ед АОВ=ВЬ!А, АПВ=ВйА (коммугативность), АО(ВиС)=(АС!В)ОС, АП(ВпС)=(АГ!В)Г!С (ассоциативность), Ап(ВОС)=(АГ!В)с!(АпС), Ас!(ВГ!С)=(АиВ)й(АОС) (дистрибу- тивность), А с!А =А, А П А = А (идемпотентность). Показать также, что А и В = А и В. АОВ=АОВ, 2. Пусть множество П состоит из г! элементов.
Показать, что общее число о(АГ) различных разбиений множества П определяется формулой АУ д(А!) =е ' ~ —,. (12) (Указание. Доказать, что л-! Поскольку порядок, в котором извлекаются билеты, не играет роли с точки зрения наличия или отсутствия в купленном наборе выигрышных билетов, то следует считать, что пространство элементарных событий имеет такую структуру: 4 !. ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ н затем проверить, что ряды в (12) удовлетворяют этим рекуррентным соотношениям.) 3. Доказать, что для любой конечной системы множеств А!, ..., А„ Р(А ! Ы... С!А„) < Р(А!) +...
+ Р(А„). 4. Пусть А н  — два события. Показать, что АВ 0 ВА есть событие, состоящее в том, что произойдет в точности одно нз событий А нлн В. При этом Р(АВ !зВА) = Р(А) + Р(В) — 2Р(АВ). б. Пусть А!, ..., А„— события н величины 5е, 5!, ..., 5„определены следующим образом: 5е = 1, 5,=~ Р(Ае,г!...г!А„,), 1<г<п, л где суммирование распространяется по неупорядоченным подмножествам У,=[й!, ..., Й,] множества (1, ..., и», й;Фй,, !~у.
Пусть  — событие, состоящее в том, что одновременно произойдет в точности т событий нз А!, ..., А„. Показать, что и Р(В )=~~! (-1)' С,"5,. В частности, для лг=О Р(ВО) = 1 — 5! + 52 ° ° ° ~5л ° Показать также, что вероятность того, что одновременно произойдет по крайней мере т событий из А!, ..., А„, равна Р(В )+...+Р(В„)=~ ( — 1)' С,,'5,, В частности, вероятность того, что произойдет по крайней мере одно нз событий А !, ..., А„, равна Р(В!)+...+Р(В„) =5! — 5з+...~5„.
Доказать справедливость следующих свойств: (а) неравенства Бонферрони: для всякого й=1, 2, ... такого, что 2й<п, / а 5! — 5з+...-5зе(Р Ц А; <5! — 5з+" +5тл-!', 1=! ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (Ь) тождество Пуанкаре. (с) неравенство Фреисе: — < —, г=0,1,...,и — 1; 5,+! В« С„+! С« (б) неравенство Гумбела: ««+! « «+! С' «-! 6. Показать, что Р(АПВГ!С) > Р(А)+Р(В)+Р(С) — 2 и, по индукции, / л ~ « ~П А,) >Ч; Р(А!)-(и-1). !=! !=! 7.
Исследуйте асимптотику вероятностей Рм(и) из примера 7 при разных предположениях относительно и и М (типа: и =хМ, М - оо, илн и=хт/М,М- со,где х †фиксирова). Сравните результаты с локальной предельной теоремой из 5 6. $2. Некоторые классические модели и распределения 1. Бииомиальное распределение. Предположим, что монета подбрасывается и раз и результат наблюдений записывается в виде упорядоченного набора (а!, ..., а„), где а; =! в случае появления «герба» («успех») и а; =О в случае появления «решетки» («неуспех»). Пространство всех исходов имеет следующую структуру: й = (ан «! = (а !, ..., а„), а; = О или 1). Припишем каждому элементарному событию ы =(а!, ..., а„) вероятность («вес») р( )=р~'у" ~', где неотрицательные числа р и д таковы, что р+д = 1.
Прежде всего покажем, что этот способ задания «весов» р(ы) действительно является корректным. Для этого нам достаточно проверить, что 2 р(«!) = 1. »еп $2. НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ зг Рассмотрим все те исходы ы=(ан ..., а„), лля которых 2 а; =й, где ! О 1, „, и, Согласно таблице 4 (размещение й неразличимых «единиц» по и местам), число таких исходов равно С«. Поэтому ~ р(ш) = ~ С«р~о" « = (р + в)" = 1, мей Итак, пространство П вместе с системой ~Ф всех его подмножеств и вероятностями Р(А) = 2 р(ы), А Е лФ (в частности, Р((ьг)) = р(ы), ы Е Й) »е4 определяет некоторую вероятностную модель.
Естественно назвать ее вероятностной моделью, описывающей и-кратное подбрасывание монеты. В случае и = 1, когда пространство элементарных исходов состоит лишь из двух точек ы= 1 («успех») и и =0 («неуспех»), вероятность р(1) = р естественно назвать вероятностью «успеха». Далее мы увидим, что рассматриваемая нами вероятностная модель, описывающая и-кратное подбрасывание монеты, может быть получена как результат и «независимых» испытаний с вероятностью «успеха», на каждом шаге равной р.
Введем в рассмотрение события А«=(ы: ы=(ан ...,а„),а1+...+а„=й), й=О, 1, ..., и, означающие, что произойдет в точности й «успехов». Из сказанного выше следует, что Р(А«) = С«р~д" «, (1) и причем 2 Р(А«) =!. «=о Набор вероятностей (Р(Ао), ..., Р(А„)) называется биномиальным распределением (числа «успехов» в выборке объема и). Это распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей, возникая в самых разнообразных вероятностных моделях.
Обозначим Р„(й)=Р(А«), й=О, 1, ..., п. На рис. 1 воспроизведены 1 бнномиальные распределения для случая р = — («симметрнчная» монета) и п=5, 10, 20. 2 Приведем еще одну модель (в сущности эквивалентную предшествующей), описывающую случайное блуждание некоторой «частнцы». Пусть частица выходит из нуля и через единицу времени делает шаг на единицу вверх или вниз (рис. 2). Таким образом, за и шагов частица может переместиться максимум на и единиц вверх или и единиц вниз. Понятно, что каждая «траектория» ы ГЛ.
1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 38 Р~ !А) 0,3 0,2 Р„!А) 0,3 0,2 О,! О,! 0)2345 а О!234 56 789!О а Р»!А) 0,3 0,2 О,! 0 5 8 !0)2 !5 20а Рис. 1. Графики Онномнальных вероятностей Р («) яля а = 5, 1О, 20 движения частицы может быть полностью описана набором (а), ..., а„), где а; =+1, если на )-м шаге частица сдвигается вверх, и а! =-1, если сдвигается вниз. Припишем каждой траектории ы «вес», р(ы) = р'<"')д" где и(ы) — число «+1» в последовательности ы= (а), ..., а„), т.
е. (а ! +... + а«) + а и(«7) = 2 а+а и(«7) = —. 2 Число же таких траекторий (см. табл. 4) равно С!"+ )/2, и, значит, Р(А ) С( + )/2 ! + )/2 !«-А)/2 0 а неотрицательные числа р и а таковы, что р+а =1. Поскольку 2, 'р(ы)=1, то ыеп набор вероятностей р(ы) вместе с пространством П траекторий ы = (а ), ..., а„) и его подмножествами действительно определяет некоторую вероятностную модель движения частицы за а шагов.
Поставим следуюший вопрос: какова вероятность события Аы состоящего в том, что за и шагов частица окажется в точке с ординатой, равной й? Этому условию удовлетворяют все те траектории !а, для которых и(«7) — (и — и(ы)) = й, т. е. 42. НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 39 Таким образом, бнномнальное распределение (Р(А л), ..., Р(АО), ... , Р(А«)) описывает, как говоРЯт, РаспРеделение веРоЯтностей положення частнцы за п шагов. Заметим, что в «снмметрнчном» случае (р = д = 1/2), когда вероятность отдельной траектории равна 2 ", Р(А ) С!л+з!/2 2-л рассмотрим аснмптотнку этих вероятностей прн больших и. Если число шагов равно 2п, то из свойств бнномнальных коэффн- цнентов следует, что среди вероятностей Р(Аь), !Ь( < 2п, максимальной является вероятность Р(АО)=Сл .2-зл Из формулы Стнрлннга (см, формулу (6) в п.4) п! т/2кие ли".
') Поэтому (2п)! зл 1 С$,= — ' 2" (и!)3 з/яии -4 -3 -2 -! О ! 2 3 4 и, значит, прн больших и Рис. 3. Возникновение бнномналь- 1 ного распределения Р(АО) ~/яии Рнс. 3 дает представление о возникновении бнномнального распределення прн движении частицы за 2п шагов (в отлнчне от рнс.2 временная ось здесь направлена вверх). 2.
Мультнномнальное распределение. В обобщение предшествующей модели предположим, что пространство исходов имеет следующую структуру: () =(ьп ы = (а1, ..., ал), а; = Ь!, ..., Ь,), где Ь1, ..., Ь, — заданные числа. Пусть га(ю) — число элементов в последовательностн !л = (а1, ..., ал), равных Ьь! = 1, ..., г, и вероятность исхода ы определяется формулой Мм! «,!м! где р!>О н р, +...+ р,=). Заметим, что р(ы) = Ч~~ Сл(п1, ..., п,)р",'...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
