А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 8
Текст из файла (страница 8)
р,", лей /л~ло,...,л,>01 1 л,+...+л,=л / >с --*. лл-лл- ° . »ллл- ."- ГЛ.!. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 40 где через С„(пн ..., п,) обозначено число упорядоченных последовательностей (ан ..., а„), у которых элемент Ь| встречается п~ раз, ..., элемент Ь, встречается и, раз. Поскольку число способов, которыми и~ элементов Ь1 можно расположить на п местах, равно С„"', пз элементов Ьз на и — п1 местах — С„"' „, и т. д., то 1= и! (п — и~)! и1 п~1(и — и~)! пз!(п — и1 — из)~ п~!...и,1' Поэтому р("')= ~', „,, „,, р7 "Р."'=(р+" +р)"=1 меп Ти>зв, ...,«,>вц Т л~+...+и,—- » / и, следовательно, рассматриваемый способ задания вероятностей является корректным.
Пусть Аиь...,и, =(ЬМ щ(И) =ПО ..., Р,(М) =П,). Тогда Р(Ал,,..ль) = Сл(пн "' пг) р~ ' ... р,"'. (2) Набор вероятностей (Р(А„, „,)) носит название мупьтиномиаиьного (полиномиального) распределения. Подчеркнем, что возникновение этого распределения и его частного случая — биномиального распределения — связано с выбором с возвращением. 3. Многомерное гипергеометрическое распределение появляется в задачах, где имеет место выбор без возвращения.
Для примера рассмотрим урну, содержащую М различных шаров, занумерованных, скажем, числами 1, 2, ., М, из которых М, шаров имеют «цвет» Ьн ..., М, шаров имеют «цвет» Ь„М~ + ... +М, =М. Предположим, что осуществляется выбор без возвращения объема п < М. Пространство элементарных событий Й=(ы: м=(ан ..., а„), а»4ан йф!; а;=1, ..., М) и М(П) =(М)„. Будем считать элементарные события равновозможными и найдем вероятность события В„ь „„состоящего в том, что п, шаров имеют цвет Ьн ..., п, шаров имеют цвет Ь„п~+... +п, =п. Нетрудно показать, что А1(В„», „,) =С„(пь ..., п,)(М~),, ...(М,)„,, э 2. НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 4! и, значит Сл! Сл ( л»...,л,) М, М, (3) Аг(а) с" Набор вероятностей (Р(В», „,)) носит название многомерного гипергеометрического распределения.
В случае г = 2 это распределение называют просто гипергеометрическим в связи с тем, что так называемая производящая функция этою распределения есть гипергеометрическая функция. Структура многомерного гипергеометрического распределения довольно сложна. Так, вероятность Р(В,М ) = „, и~+аз=а, М~+М2=М, (4) ллл = С. содержит девять факториалов.
Однако легко видеть, что если М- оо, м Мг М~ - оо, но так, что — — р (и, следовательно, — — 1 — р), то М М (5) Иначе говоря, при сделанных предположениях гипергеометрическое распределение аппроксимируется биномиальным, что интуитивно понятно, поскольку при больших М и М~ (конечный) выбор без возвращения должен давать почти тот же результат, что и выбор с возвращением. Пример. Используем формулу (4) для нахождения вероятности угадывания шести «счастливых» номеров в известной лотерее «спортлото», суть которой состоит в следующем.
Имеется 49 шаров, занумерованных числами 1, 2, ..., 49, из которых шесть шаров «счастливых» (скажем, красного цвета; остальные — белого). Производится выбор без возвращения шести шаров. Спрашивается, какова вероятность того, что все шесть вытащенных шаров являются «счастливыми». Полагая М=49, М1=6, п~ =6, п2=0, видим, что интересующее нас событие В а = (6 шаРов — «счастливые») имеет, согласно (4), вероятность Р(Ва о) = — = 7,2. 10 -з 49 4. Числа и! с ростом и растут чрезвычайно быстро. Так, 10! =3628800, 15! = 1307674368000, ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 42 С»=2", ~~~ (С»)2=С" »=о »=о « ') (-1)"-'С" =С",, т>п+1, »=о й(й — 1) С», = т(т — 1)2 »=о йС»=пС» ', «= «-~ т т>2, С„=~~ С„'С„', гдеО<т<п,0<5<пинала=- »оо гаем С,'=0 при)<Оияи ] >1.
5. Пусть Ф вЂ” размер некоторой популяции, который требуется оценить «минимальными средствами» без простого пересчета всех элементов этой совокупности. Подобного рода вопрос интересен, например, при оценке числа жителей в той или иной стране, городе и т.д. В 1786 г. Лаплас дяя оценки числа Ф жителей во Франции предложил следующий метод. а 100! содержит 158 знаков. Поэтому как с теоретической, так и с вычислительной точки зрения важна следующая формула Стирлинга: п!=тГ2яп( — ) ехр( — "), 0<0„<1, (6) доказательство которой имеется в большинстве руководств по математическому анализу (см. также задачу 1 в $8 гл.
УП1). 5. Задачи. 1. Доказать утверждение (5). 2. Показать, что для полиномиального распределения (Р(А„, „,)) максимальное значение вероятности достигается в точке (йн ..., й,), удовлетворяющей неравенствам: и р; — 1 < й; < (п + г — 1) рг, 1 = 1, ..., г. 3. Одномерная модель Изинга. Пусть имеется п частиц, расположенных в точках 1, 2, ..., п. Предположим, что каждая из частиц относится к одному из двух типов, причем частиц первого типа п~ и второго — пт (п~ + пэ =п). Будем считать все п! расположений частиц равновозможными.
Построить соответствующую вероятностную модель н найти вероятность события А„(тн, тип тз~ ° т22) = (и~ ~ = т ~ и ..., »22 = т22), где иу— число частиц типа 1, следующих за частицами типа г (1, 1=1, 2). 4. Используя вероятностные соображения, доказать справедливость следующих тождеств: йз, УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ 43 Выберем некоторое число, скажем,М, элементов популяции н пометнм нх, Затем возвратим нх в основную совокупность н предположим, что онн «хорошо перемешаны» с немаркнрованнымн элементами. После этого возьмем нз <перемешанной» популяцнн и элементов. Пусть средн ннх Х элементов оказались маркированными.
Показать, что соответствующая вероятность Рмм,„(Х =гл) задается формулой гнпергеометрнческого распределения (ср. с (4)); С» С» — и Рм:.(Х= )= и Считая М, п н гл фиксированными, найдем максимум этой вероятности по М, т. е.
найдем «нанболее правдоподобный» объем всей популяции, прнводяшнй (прн заданных М н л) к тому, что число Х маркированных элементов оказалось равным л4. Показать, что наиболее правдоподобное значенне (обозначнм его М) определяется формулой ([ ] — целая часть): М =(Мпгп Так полученная оценка М для М называется оценкой максимального правдоподобия. (Продолженне этой задачи см. в $7 (задача 4).) 6.(Ср. с задачей 2 в $1.) Пусть () содержит М элементов н Й(М) есть число различных разбиений й, обладаюшнх тем свойством, что каждое подмножество разбиения имеет нечетное число элементов. Показать, что д(1)=1, 4((2)=1, д(3)=2, д(4) = 5, 4К(5) = 12, д(б) = 37 н, вообще, л! в 3. Условные вероятности.
Независимость 1. Понятие вероятности события дает нам возможность ответить на вопрос такого типа: если урна содержит М шаров, нз которых М, шаров белого цвета н Мз — черного, то какова вероятность Р(А) события А, состоящего в том, что вытащенный шар ймеет белый цвет? В случае класснческого подхода Р(А) = М,/М. 44 ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вводимое ниже понятие условной вероятности позволяет отвечать на вопрос следующего типа: какова вероятность того, что второй извле- ченный шар белого цвета (событие В), при условии, что первый шар также имеет белый цвет (событие А)? (Рассматривается выбор без возвращения.) Естественно здесь рассуждать так: если первый извлеченный шар имел белый цвет, то перед вторым извлечением мы имеем урну с М вЂ” 1 шаром, из которых М! — 1 шаров имеют белый цвет, а Мз — черный; поэтому интуитивно представляется целесообразным считать, что интересующая М! — ! нас (условная) вероятность равна— М вЂ” 1' Дадим теперь определение условной вероятности, согласующееся с интуитивными предстанлениями о ней.
Пусть (й, л«, Р) — (конечное) вероятностное пространство и А — неко- торое событие (т. е. А н лг ). Определение 1. Условной вероятностью события В при условии события А с Р(А) > О (обозначение: Р(В!А) ) называется величина Р(АВ) Р(А) ' (1) В случае классического способа ($ 1, п. 4) задания вероятностей Р(А) = —, Р(АВ) = — и, значит, М(А) М(АВ) М(й)' М(й) Р(В (А) = —. М(А В) М(А) ' Следующие свойства условных вероятностей непосредственно вытекают из определения 1: Р(А ! А) = 1, Р(й!1А) =О, Р(В!А)=1, ВЭА, Р(В1 + Вз (А) = Р(В1 ! А) + Р(Вз / А).
Из этих свойств следует, что при «закрепленном» множестве А услов- ная вероятность Р( !А) обладает на пространстве (ОПА, ле пА), где лх Г!А =(В пА: В Е лх), теми же свойствами, что и исходная вероятность Р(.) на (й, лх). Отметим, что Р(В)А)+Р(В)А) =1, однако, вообще говоря, Р(В )А)+ Р(В (А) ф 1, Р(В (А) + Р(В (А) ф 1. 43 УСЛОВНЪ|Е ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ 45 пример 1. Рассмотрим семьи, имеюшме двух детей.
Спрашивается, какова вероятность того, что в семье оба ребенка мальчики, в предположении, что: а) старший ребенок в мальчик; Ь) по крайней мере один из детей — мальчик? Пространство элементарных событий (исходов) здесь, очевидно, таково: () = (ММ, МД, ДМ, ДД), где МД означает, что старший ребенок — мальчик, младший — девочка, и т.д.
Будем считать, что каждый исход равновозможен: Р(ММ) = Р(МД) = Р(ДМ) = Р(ДД) = —. ! 4' Пусть А — событие «старший ребенок — мальчик»,  — «младший ребенок — мальчик». Тогда А 0 В есть событие «по крайней мере один из детей — мальчик», А — «оба ребенка — мальчики» и интересующая нас в вопросе а) вероятность есть условная вероятность Р(АВ ~А), а в вопросе Ь) — условная вероятность Р(АВ)АиВ). Легко находим, что Р(АВ (А)»» Р(АВ) 1/4 1 Р(А) 1/2 2' Р(АВ) !/4 1 Р(АВ(АОВ)= р(Ас|В) 3/4 3' 2.
Следующая простая, но важная формула (3), носящая название формулы полной вероятности, является основным средством при подсчете вероятностей сложных событий с использованием условных вероятностей. Рассмотрим некоторое разбиение У=(АИ ..., А„» с Р(А;) > О, 1 = = 1, ..., п (часто такое разбиение называют также полной группой несовместимых событий). Ясно, что В=ВА|+...+ВА„ и, значит, л Р(В) = ~ Р(ВА!). |=| Но Р(ВА|) = Р(В ~ А;) Р(А|). ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 46 Тем самым имеет место формула полной вероятности » Р(В)=~~~ Р(В(А;)Р(А!).
В частности, если 0 < Р(А) < 1, то Р(В) = Р(В (А) Р(А) + Р(В ~ А) Р(А). (4) Пример 2. В урне имеется М шаров, среди которых т «счастливых». Спрашивается, какова вероятность извлечь на втором шаге «счастливый» шар (предполагается, что качество первого извлеченного шара неизвестно, рассматривается случай выбора без возвращения объема л =2 и все исходы равновозможны). Пусть А — событие «первый шар — счастливый»,  — «второй шар в счастливый». Тогда т(т — 1) Р(ВА) М(М вЂ” 1) Р(А) т М т(М вЂ” т) Р(В~А-) Р(ВА) М(М-') Р(А) А1 — т М М вЂ” 1 Р(В) = Р(В 1А) Р(А)+ Р(В ( А) Р(А) = — + Р(АВ) = Р(В ~А) Р(А). (5) Эта формула, носящая название формулы умножения вероятностей, обобщается (по индукции) следующим образом: если рассматриваются со- бытия А н ..., А„! такие, что Р(А,...А„!) > О, то Р(А! ...А„) = Р(А!) Р(Аз!А!)...Р(А„!А! ...А„!) (6) (здесь А! ...А„=А! Г1АзГ1...ПА„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
