А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Интересно отметить, что вероятность Р(А) также равна т/М. Таким образом, то обстоятельство, что качество первого шара осталось неизвестным, не изменило вероятности того, что извлеченный на втором шаге шар оказался «счастливым». Из определения условной вероятности (Р(А) > О) 43. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ 47 3. Предположим, что события А и В таковы, что Р(А) > О и Р(В) > О. Тогда наряду с (5) справедлива также формула Р(АВ) =Р(А !В) Р(В). (7) 113 (5) к (7) получаем так называемую формулу Байеса: Р(А!В) Р(А)Р(В!А) (8) Р(В) Если события А),..., А„ образуют разбиение (), то из (3) и (8) следует так называемая теорема Байеса: Р(А,)В) Р(А() Р(В!А)) (9) Е Р(А;) Р(В!А;) 7=! В статистических применениях события А), ..., А„, образующие «пол- ную группу событий» (А(+...
+А„=й), часто называют «гипотезами», а Р(А;) — априорной *) вероятностью гипотезы А;. Условная вероятность Р(А; )В) трактуется как апостериорная вероятность гипотезы А; после наступления события В. Пример 3, Пусть в урне находятся две монеты: А) — симметричная монета с вероятностью «герба» Г, равной !/2, и Аз — несимметричная монета с вероятностью «герба» Г равной 1/3. Наудачу вынимается и под- брасывается одна из монет. Предположим, что выпал герб. Спрашивается, какова вероятность того, что выбранная монета симметрична. Построим соответствующую вероятностную модель.
В качестве прос- транства элементарных событий (исходов) естественно здесь взять мно- жество й = (А ) Г, А) Р, АзГ, АзР), описывающее все исходы выбора и под- брасывания (А, Г означает, что вынута монета А) и в результате подбрасы- вания выпал герб, и т. д.).
Вероятности рассматриваемых исходов должны быть заданы так, чтобы, согласно условиям задачи, Р(А() =Р(Аз) =1/2 Р(Г)А() = 1/2, Р(Г!Аз) = 1/3. Этими условиями вероятности исходов определяются однозначно: Р(А,Г)=1/4, Р(А)Р)=1/4, Р(А Г)а«1/8, Р(А Р)««1/3, Тогда, согласно формуле Байеса, интересующая нас вероятность Р(А)) Р(Г!А)) 3 Р(А,)Р(Г)А,)АР(А)Р(Г(А) А ) А рпоп'-до опыта, а роа(епоп' — после опыта.
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и, значит, Р(Аз ~ Г) = 2/5. 4. Вводимое в этом пункте понятие независимости играет в определенном смысле центральную роль в теории вероятностей: именно это понятие определило то своеобразие, которое выделяет теорию вероятностей в общей теории, занимающейся исследованием измеримых пространств с мерой. Если А и  — два события, то естественно сказать, что событие В не зависит от А, если знание того обстоятельства, что совершилось событие А, никак не влияет на вероятность совершения события В.
Иначе говоря, будем говорить, что чВ не зависит от А», если (! О) Р(В1А) = Р(В) (здесь мы предполагаем, что Р(А) > О). Поскольку Р(В ~А) Р(АВ) Р(А) ' то из (1О) находим, что Р(АВ) = Р(А) Р(В). Точно так же, если Р(В) > О, то естественно сказать, что «А не зависит от В», если Р(А ) В) = Р(А). Отсюда снова получаем соотношение (11), которое, заметим, симметрично относительно А и В и имеет смысл также и тогда, когда вероятность этих событий может быть равна и нулю. Исходя из этого, примем следующее Определение 2. События А и В называются независимыми нли статистически независимыми (относительно вероятности Р), если Р(АВ) = Р(А) Р(В), В теории вероятностей часто приходится рассматривать независимость не только событий (множеств), но и систем событий (множеств).
Приведем соответствующее Определение 3. Алгебры (и, более общо, системы подмножеств й) .а~~ и.акз называются независимыми или статистически независимыми (относительно вероятности Р), если независимы любые два множества А ~ и Аз, принадлежащие соответственно л4~ и лЕз, 43. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ.
НЕЗАВИСИМОСТЬ для примера рассмотрим две алгебры л4, = (Ан Ан ю, й) н лез = (Аз, Аз,ю, Гг), где А~ и Аз — некоторые множества из й. Нетрудно показать, что лб и „уз независимы тогда н только тогда, когда независимы события А, н Аз, действительно, независимость лб н .с4~ означает независимость шестнадцати пар событий: А~ н Аз, А~ н Аз, ..., й н й.
Следовательно, А~ и А независимы. Обратно, если А~ н Аз независимы, то надо показать, что независимы остальные пятнадцать пар событий. Проверим, например, независимость А| и Аз. Имеем Р(А~ Аз) = Р(А|) — Р(А~Аз) = Р(А~) — Р(А~) Р(Аз) = = Р(А,)(1 — Р(Аз)) = Р(А,) Р(Аз), Независимость остальных пар проверяется аналогичным образом. 5. Понятие независимости двух множеств н двух алгебр множеств распространяется на случай любого конечного числа множеств н алгебр множеств.
Определение 4. Говорят, что множества Аь ..., А„независимы нлн статистически независимы в совокупности (относнтельно вероятности Р), если для любых й = 1, ..., и н 1 < ц < (з « ... (ь < л Р(АА ...А;,) = Р(АЬ)...Р(АЬ). (12) Определение 5. Алгебры множеств л4ь ..., лг„называются независимыми нлн статистически независимыми в совокупности (относительно вероятности Р), если независимы любые множества Ан ..., А„, прннадлежацгне соответственно,а4И ..., лх„.
Отметнм, что нз лоларной независимости событий, вообще говоря, не следует нх независимость. Действительно, если, например, й= = (ыь ыз, ыз, ьн) н все исходы равновозможны, то события А = (ьч, ыз), В = (ьп, ыз), С = (ьп, ы4) попарно независимы, но в то же время Р(АВС) = — зе ( — ) =Р(А) Р(В) Р(С). Отметим также, что нз того, что для некоторых событий А, В и С Р(АВС) = Р(А) Р(В) Р(С), вовсе не следует лоларная независимость этих событий.
В самом деле, пусть пространство й состоит из 36 упорядоченных пар (1, 1), где й / = = 1, 2, ..., 6, н все этн пары равновозможны. Тогда для А =((1, 1): 1= 1, 2 ГЛ.!. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ но в то же время Р(АВС) = — = Р(А) Р(В) Р(С).
6. С точки зрения понятия независимости рассмотрим подробнее классическую модель (й, лФ, Р), введенную в $2 и приведшую к возникновению биномиального распределения. В этой модели й=(ы: а!=(а), ..., оа), а; =О, Ц, ,~=(А; Асй) и Р((а!)) = р(а!) с р(а!) = р~ ')у (13) Пусть событие А С й. Будем говорить, что это событие зависит от испытания в й-й момент времени, если оно определяется лишь значением аы Примером таких событий являются события Аа =()а: а» = Ц, Аа = (га: аь = О). Рассмотрим последовательность алгебр л~), лат, ..., .с4 таких, что а!4 = =(Аы Аы ег, й), и покажем, что в случае (!3) эти алгебры независимы.
Ясно, что Р(Аа)= у р(ш)= ~ р~ ''гуа ~'= (аааа=!) (ахаа=н =Р ,а,+.-+" ~+~~.1+...+а. х (аа....аа ааааа- а ) а-! х ц( - н-(а,+...+а,,+ааы+,.+а„) ч С! ! ( — !) — ! " =Р г а-)Р !у =Р. (=о и аналогичный подсчет показывает, что Р(Аа) =)у и при й ф У Р(АаА!) = р~, Р(АаА!) = р!у, Р(А~А!) =!)э. Отсюда легко выводится, что алгебры л4 и л4, йР'У, независимы. или 5), В = ((У, у): у = 4, 5 или 6), Р(АВ) —— Р(АС) =— 1 36 Р(ВС) —— С =((), у): у+ у = 9) имеем Р— =Р(А) Р(В), 1 Ф вЂ”,6 =Р(А) Р(С) 1 ф —,6 — — Р(В) Р(С), ! Е 3. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ диалогично показывается, что независимы алгебры л4ь л6~, ..., лг„. Это дает основание назвать рассматриваемую модель (й, лг, Р) моделью, отвечаюшей и независимым испытаниям с двумя исходами и вероятностью «успеха» р.
Я. Бернулли был первый, кто систематически изучал эту модель и доказал для нее справедливость закона больших чисел ($5). Б связи с этим эту модель называют также схемой Бернулли (с двумя исходами — «успехом» и «неуспехом» вЂ” и вероятностью «успеха» р). Детальное рассмотрение вероятностного пространства в схеме Бернулли показывает, что оно имеет структуру «прямого произведения вероятностных пространств», состоящую в следуюшем.
Предположим, что задан набор (йь Яь Р~), ..., (й„, М„, Р„) конечных вероятностных пространств. Образуем пространство й=й, х йэ х х ... х й„точек ш=(ан ..., а„), где а; Ейь Обозначим »Ф=М~ ®Язз ®... Э߄— алгебру подмножеств й, состоящую из сумм множеств вида А=В, х Вз х ... х В„с В; еЯЬ Наконен, дяя ш=(аь ..., а„) положим р(ш) = р~ (а~)...
р„(а„) и определим Р(А) для множеств А = В~ х Вз х ... ... х В„формулой: Р(А) = ~ р1(а1)... р,(а„). (а~ евч ..., а„ее,1 Нетрудно проверить, что Р(й) = ! и, следовательно, тройка (й, ле, Р) определяет некоторое вероятностное пространство. Это пространство называют прямым произведением вероятностных пространств (йь Яь Р1), ..., (й„, Я„Р„). Отметим одно легко проверяемое свойство прямого произведения вероятностных пространств: относительно вероятности Р события А~ =(ин а~ еВ1), ..., А„=(ш: а„еВ„), где В; еМь являются независимыми.
Точно так же алгебры множеств пространства й яд=(А|.А~=(ш. а~ ЕВД, В~ ЕМУ, е«=(А.:А.=(:а„ЕВ„), В„еЯ„) являются независимыми. Из приведенных конструкций видно, что схема Бернулли (й, ле, Р) с й = (ин ш = (а,, ..., а„), а; = О, Ц, ~Ф=(А: АСй) и Р((ш))=рл-"д" ~' ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ может быть получена как прямое произведение вероятностных про- странств (П» !я» Р;), ! = 1, 2, ..., и, где ();=(О, Ц, йр;=((О), (Ц, е, (),), Р;((Ц) = р, Р;((О)) =о. 7. Задачи. !. Привести примеры, показывающие, что, вообще говоря, равенства Р(В ! А) + Р(В (А) = 1, Р(В ! А) + Р(В ! А) = 1 неверны. 2. Урна содержит М шаров, из которых М! шаров белого цвета. Рассматривается выбор объема и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
