А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Однако тот материал, который излагается во второй главе книги !8 ВВЕДЕНИЕ «Вероятность — !», дает основательную базу (прежде всего логического характера), необходимую при изучении общей теории случайных процессов. Хотя настоящее издание книг «Вероятность — 1» и «Вероятность— 2» посвящено теории вероятностей, уместно будет сейчас сказать несколько слов о математической статистике и, более общим образом, о статистике и их взаимоотношениях с теорией вероятностей.
Во многих странах (например, в Великобритании) Теория вероятностей рассматривается как «интегральная» часть Статистики, обслуживающая ее математические аспекты. При этом Статистика предполагается состоящей из следующих разделов: описательная статистика и математическая статистика. (Многие энциклопедические издания отмечают, что первоначальное значение слова статистика — это «наука о состоянии государства> (по латыни г!а!из — состояние). На ранних этапах ее называли «политической арифметикой», цель которой состояла в оценивании тех или иных показателей, характеризующих состояние общества, экономики и т. д., и выявлении разного рода количественных свойств массовых явлений по неполным данным.) Описательная статистика занимается организацией представлений статистических данных («статистического сырья») в удобных для анализа формах.
(Ключевыми словами здесь являются, например, такие: популяция, выборка, частотные распределения и их гистограммы, относительные частотные распределения и их гистограммы, частотные полигоны и др.). В настоящее время имеется большое число пакетов статистических программ (М1Н!ТАВ, ЯАЗ, ЗРЯЧИХ и др.), которые позволяют представлять даже очень большие массивы статистических данных в удобных для анализа формах (в виде различных диаграмм, гистограмм и т. п.). Математическая статистика призвана, собственно говоря, заниматься математической обработкой «статистического сырья», оцениванием выборочных характеристик, выборочных распределений и вынесением статистических выводов с указанием степени их надежности.
(Ключевые слова: оценивание †точечн и интервальное, различение гипотез, непараметрические тесты, дисперсионный анализ, регрессионный анализ, статистика процессов,...) В России традиционным образом математическая статистика рассматривается как естественный раздел теории вероятностей, занимающийся «обратными вероятностными задачами», т. е. задачами определения той вероятностной модели, которая наиболее адекватным образом отвечает полученным статистическим данным. Подобный взгляд на математическую статистику (как часть теории вероятностей) дает возможность придать методам и заключениям статистики !9 строгую математическую базу и облечь статистические выводы в форму строгих теоретико-вероятностных утверждений, (См., например, »э 13 «фундаментальные теоремы математической статистики» в гл.
Ш, «Вероятность — 1».) В этой связи уместно будет напомнить, что первая предельная теорема теории вероятностей — закон больших чисел возникла у Я. БеРнУлли в «Агз Соп)ес1апд!» [!34[, собственно говоРЯ, именно из желания получить математическое обоснование использования «частоты» для оценивания «вероятностн успеха» в «схеме Бернулли». (См. по этому поводу «Вероятность — !», гл.
1, 9 7,) В заключение настоящего введения приведем текст Я. Бернулли из «Агз Соп)ес1апб!» (глава вторая из части четвертой): «Относительно того, что твердо известно и не подлежит сомнению, мы говорим, что знаем или понимаем, относительно всего прочего — что только догадываемся или предполагаем. Делать о какой-либо вещи предположения — все равно, что измерять ее вероятность. Поэтому искусство предположений (Агз соп)ес1апб! з!че 91оспаз11се) у нас определяется как искусство возможно точнее измерять вероятности вещей затем, чтобы в наших суждениях или действиях мы могли всегда выбирать или следовать тому, что будет найдено лучшим, более удовлетворительным, спокойным и разумным». Латинскому словосочетанию агз соп[ес1апб! (искусство предположений) соответствует греческое ото)(аотгх()те)(»э)(второе слово часто опускается). Это словосочетание происходит от греческого отб)(оч — цель, догадка, предположение [134, с.
27, 79, 83]. В настоящее время слово «стохастический» широко используется как синоним слова «случайный». Так, выражения «стохастические процессы» и «случайные процессы» рассматриваются как равноправные. Нелишне будет отметить, что теория случайных процессов и статистика случайных процессов входят ныне в число основных интенсивно развивающихся разделов теории вероятностей и математической статистики. В 1. Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов 21 36 78 120 $11. Мартннгалы.
Некоторые применения к случайному блужданию 128 136 Глава 1 ЗЛЕ!!1!ЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ $2. Некоторые классические модели и распределения $3. Условные вероятности. Независимость $4. Случайные величины и нх характеристики . $5. Схема Бернулли. 1. Закон больших чисел.. 8 б. Схема Бернулли. и. Предельные теоремы (локальная, Муавра— Лапласа, Пуассона) $7. Оценка вероятности «успеха» в схеме Бернулли $8. Условные вероятности н математические ожидания относительно разбиений.
$9. Случайное блуждание. 1. Вероятности разорения н средняя продолжительность прн игре с бросанием монеты ............... $10. Случайное блуждание. 1!. Принцип отражения. Закон арксинуса $!2. Марковские цепи. Эргоднческая теорема. Строго марковское свойство .. 43 53 67 Мы наливаея в л е м е н т а р н о й т е о р и е й в е р о я т н о с т е й ту часть теории вероятностей, в которой пригодится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. А. Н. Колмогоров. «Основные понятия теория вероятностей» [321 ф 1. Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов 1.
Рассмотрим некоторый эксперимент, результаты которого (при данном «компяексе условий») описываются конечным числом различных исходов (явлений) игы ..., игн. Для нас несущественна реальная природа этих исходов, важно лишь то, что их число М конечно. Исходы ыь ..., игу будем также называть элементарными событиями, а их совокупность й=(шн ..., игн) (конечным) пространством элементарных событий или пространством исходов.
Выделение пространства элементарных событий представляет собой первый шаг в формулировании понятия вероятностной модели (вероятностной «теории») того или иного эксперимента. Рассмотрим несколько примеров описания структуры пространства элементарных событий. Пример 1. При однократном подбрасывании монеты пространство исходов й состоит из двух точек: й=(Г, Р), где à — «герб», Р— «решетка». (Мы предполагаем, что «комплексом условий» исключаются возможности типа «монета стала на ребро», «монета исчезла», ..., но в то же самое время предполагается возможность достоверным образом регистрировать результат подбрасывания.) Пример 2. При и-кратном подбрасывании монеты пространство элементарных событий й ив(иг: ш = (аы ..., а„), а; = Г или Р) и общее число М(й) исходов равно 2".
Пример 3. Пусть сначала подбрасывается монета. Если выпадет «герб», то бросается шестигранная кость (с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6), если 22 ГЛ. Ь ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ же выпадает «решетка», то снова подбрасывается монета. Пространство элементарных событий данного эксперимента будет таким: Й =(Г1, Г2, ГЗ, Г4, Гб, Гб, РГ, РР). Замечание. При изложении теории вероятностей «комплекс условий», как правило, не упоминается и «по умолчанию» предполагается данным. Между тем, это понятие важно уже на уровне и элементарной теории вероятностей, поскольку разные «комплексы условий» для одного и того же эксперимента могут приводить к весьма разным вероятностным моделям («теориям»).
(В этой связи см. далее текст в начале п. 3, дающий некоторые пояснения, в чем здесь дело.) 2. Рассмотрим теперь более сложные примеры, связанные с разными способами выбора п шаров из урны, содержащей М различных шаров. Пример 4. Выбор с возвращением. Так называют эксперимент, в котором на каждом шаге извлеченный шар возвращается обратно.
В этом случае каждая выборка из и шаров может быть записана в виде (аи ..., а„), где а; — номер шара, извлеченного на 1-и шаге. Понятно, что в случае выбора с возвращением каждое а; может принимать любое из М значений 1, 2, ..., М. Описание пространства элементарных событий существенно зависит от того, считаем ли мы выборки тождественного состава, такие как, скажем, (4, 1, 2, 1) и (1, 4, 2, 1), различными или одинаковыми, В связи с этим принято различать два случая: упорядоченные выборки и неупорядоченные выборки. В первом случае выборки, состоящие из одних и тех же элементов, но отличающиеся порядком следования этих элементов, объявляются различными. Во втором случае порядок следования элементов не принимается во внимание и такие выборки объявляются тождественными.
Чтобы подчеркнуть, какие конкретно выборки мы рассматриваем, будем для упорядоченных выборок использовать обозначение (ан ..., а„), а для неупорядоченных— [аи ..., а„]. Итак, в случае упорядоченных выборок с возвращением пространство элементарных событий Й имеет следующую структуру: Й = (ин ю = (а н ..., а„), а; = 1, ..., М), и число различных исходов (выборок), называемых в комбинаторике размещениями из М по и с повторениями, равно АГ(Й) = М". (1) Если же рассматриваются неупорядоченные выборки с возвращением (в комбинаторике — сочетания из М по и с повторениями), то Й = (ин м = [ам ..., а„], а; = 1, ..., М). й !.
ввроятностндя модвль 23 Понятно, что число й!((!) (различных) неупорядоченных выборок меньше, чем число упорядоченных. Покажем, что для этого случая й!(и) = с,"+„,, (2) я! г де С! ы ' — «число сочетаний из й элементов по !». Будем вести доказательство по индукции. Обозначим й!(М, л) число интересующих нас исходов. Ясно, что д,пя всех й < М й!(К 1) =А=С„!. Предположим теперь, что й!(й, и) =С"+» н й<М, и покажем, что эта формула остается справедливой при замене и на л + 1. При рассмотрении неупорядоченных выборок 1а!, ..., а„+!) можно считать, что их элементы расположены в порядке неубывания: а! < аэ « ... а„+!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
