А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 2
Текст из файла (страница 2)
М. В. Ломоносова Предисловие ко второму изданию В предисловии к первому изданию, вышедшему в 1980 г., отмечалось, что основу книги составили лекции, читаемые автором на механико-математическом факультете Московского университета им. М. В. Ломоносова и частично изданные ротапринтным способом под названием «Вероятность, статистика, случайные процессы, 1, П» издательством МГУ. Наш первоначальный замысел при написании первого издания настоящей книги состоял в том, чтобы пособие содержало три части: «Вероятность», «Математическая статистика», «Теория случайных процессов», соответствующие программе трехсеместрового курса лекций для математических специализаций университетов. Однако в ходе работы над книгой этот замысел осуществить полностью не удалось, поскольку принятый характер изложения потребовал бы значительно большего объема.
В связи с этим в предисловии к первому изданию говорилось, что «достаточно полно здесь представлена лишь теория вероятностей и теория случайных процессов с дискретным временем». Практически весь текст первого издания входит и в настоящее. Изменения, исправления носят, как правило, редакционный характер с учетом также и тех замечаний, которые были получены мною от советских и зарубежных читателей, знакомых с книгой по русскому изданию и переводам на английский и немецкий языки [98], [99]. Автор искренне признателен всем им за внимание, советы и доброжелательную критику.
В настоящее, второе, издание добавлен новый материал: в главе Ш это э 5, Я 7 — !2, в главе 1Ч вЂ” $5, в главе Ч11 — $8. Наиболее существенно дополнена третья глава. Здесь читатель найдет изложение ряда вопросов, относящихся к более углубленному изучению таких тем, как меры близости вероятностных мер, метризуемость слабой сходимости, контигуальность вероятностных мер. В эту же главу добавлены доказательства ряда важных результатов о скорости сходимости в центральной предельной теореме и в теореме Пуассона об аппроксимации биномиального распределения пуассоновским, которые в первом издании присутствовали лишь в виде формулировок. Отметим также новый материал о вероятностях больших уклонений (глава 1Ч, $ 5) и центральную предельную теорему для сумм зависимых случайных величин [глава ЧИ, $8). За последние несколько лет вероятностная литература, издаваемая 1лавной редакцией физико-математической литературы издательства «НаУка», пополнилась учебниками Б.
А. Севастьянова [97], 1982 г., Ю. А. Ро- !о ПРЕЛИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗЛАНИЮ занова [95], 1985 г., учебным пособием А. А. Боровкова [7], 1986 г., н учебником Б. В. Гнеденко [!5], 1988 г. В 1985 г. и 1986 г. издательство МГУ издало учебное пособие Я. Г. Синая [128].
Представляется, что этн издания вместе с настоящим, во многом отличаясь н дополняя друг друга, охватывают довольно обширный материал, в существенном достаточно полно удовлетворяющий современным требованиям, предъявляемым к преподаванию теоретико-вероятностных дисциплин студентам физикоматематических специализаций. В учебнике Б. В. Гнеденко приводится много хорошо подобранных примеров в том числе н прнкладного содержания, дается большой материал методологического характера н обширный очерк истории теории вероятностей. Учебное пособие А. А.
Боровкова [7], пожалуй, наиболее сходно с настоящей книгой по стилю изложения. Специального упоминания заслуживают главы 9 («Элементы теории восстановления»), 11 («Факторнзацнонные тождества») и 17 («Функциональные предельные теоремы»), которые отличают пособие [7] от настоящего н [15], [95]. Учебник Ю. А. Розанова содержит большой материал, касающийся разнообразных математических моделей, которые теория вероятностей н математическая статистика предлагают для описания случайных явлений н нх эволюции. В основу учебника Б. А. Севастьянова положен двухсеместровый курс его лекций в МГУ. Материал заключительных четырех глав этого учебника охватывает тот необходимый минимум, который входит в университетскую программу годового курса по теории вероятностей и математической статистике. В нашем пособии, возможно в большей степени, нежели чем в отмеченных выше, значительное место уделено теоретико-множественным аспектам н математическим основаниям теории вероятностей.
В учебниках Б. В. Гнеденко н Б. А. Севастьянова в конце каждой главы, а в настоящем пособии — в конце каждого параграфа добавлены упражнения н задачи, которые вместе, например, с задачниками А. В. Прохорова, В. Г Ушакова, Н. Г Ушакова <Задачи по теории вероятностей>— М.: Наука, 1986, н А. М. Зубкова, Б. А. Севастьянова, В.
П. Чистякова «Сборник задач по теории вероятностей» вЂ” М.: Наука, 1988, могут быть использованы читателем для самоконтроля, а преподавателями для проведения семинарских занятий со студентами. А. Ширяев Москва, октябрь 1988 Предисловие к первому изданию В основу настоящего учебного пособия положен трехсеместровый курс лекций, который читался автором в течение ряда лет на механико-математическом факультете Московского государственного университета и был частично издан ротапринтным способом под названием «Вероятность, статистика, случайные процессы, ), П», изд-во МГУ. В соответствии с традицией первая часть курса (примерно один семестр) отводится на элементарную теорию вероятностей (глава !).
Изложение начинается с построения вероятностных моделей с конечным числом исходов и введения основных вероятностных понятий таких, как элементарные события, события, вероятность, независимость, случайные величины, математические ожидания, корреляция, условные вероятности и др. Многие вероятностно-статистические закономерности хорошо прослеживаются уже на примере простейшего случайного блуждания, порожденного схемой Бернулли. В связи с этим для этого случая излагаются как классические результаты (закон больших чисел, локальная и интегральная теоремы Муавра и Лапласа), так и более современные результаты (например, закон арксинуса). Завершается первая глава рассмотрением зависимых случайных величин, образующих мартингал и марковскую цепь.
Главы П вЂ” !Ч являются расширенным изложением второй части курса (второй семестр). Здесь излагается (глава П) ставшая общепринятой аксиоматика теории вероятностей А. Н. Колмогорова и дается математический аппарат, составляющий арсенал средств современной теории вероятностей (гг-алгебры, меры и способы их задания, интеграл Лебега, случайные величины и случайные элементы, характеристические функции, условные математические ожидания относительно гг-алгебр, гауссовские системы и др.). Следует отметить, что два результата теории меры †теоре Каратеодори о продолжении меры и теорема Радона †Никоди — принимаются без доказательства.
Третья глава посвящается вопросам слабой сходимости вероятностных распределений и методу характеристических функций в доказательстве предельных теорем. Вводятся понятия относительной компактности и плотности семейства вероятностных распределений и доказывается (для случая числовой прямой) теорема Ю. В. Прохорова об эквивалентности этих понятий. К этой же части курса отнесено рассмотрение свойств «с вероятностью единица» лля последовательностей и сумм независимых случайных вели- ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ чин (глава! Ч). Приводятся доказательства законов «нуля или единицы» (Колмогоров, Хьюитт и Сэвидж), критерии сходимости рядов и даются условия справедливости усиленного закона больших чисел. Закон повторного логарифма формулируется для произвольных последовательностей независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным вторым моментом и доказывается в предположении, что эти величины имеют гауссовское распределение.
Наконец, третья часть курса (главы Ч вЂ” ЧП)) отводится случайным процессам с дискретным временем (случайным последовательностям). Главы Ч и ЧЪ посвящены теории стационарных случайных последовательностей, где стационарность понимается как в узком, так и в широком смысле. Изложение теории стационарных в узком смысле случайных последовательностей ведется с привлечением понятий эргодической теории: сохраняющее меру преобразование, эргодичность, перемешивание. Приводится простое доказательство (данное А. Гарсиа) максимальной эргодической теоремы, что позволяет дать и простое доказательство эргодической теоремы Биркгофа — Хинчина.
Рассмотрение стационарных в широком смысле случайных последовательностей начинается с доказательства спектрального представления лля ковариационной функции. Затем вводятся ортогональные стохастические меры, интегралы по ним и доказывается спектральное представление для самих последовательностей. Рассмотрен также ряд статистических задач: оценивание ковариационной функции и спектральной плотности, экстраполяция, интерполяция и фильтрация. В эту же главу включен также материал, относящийся к фильтру Калмана — Бьюси и его обобщениям. В седьмой главе рассматриваются основные результаты теории мартин- галов и родственных понятий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
