А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Из (21) получаем следующие разновидности неравенства Чебышева: если Š— произвольная случайная величина, то 2 (22) с2 ]Е(П-Ебпць](Еф) — (л2)к] ~ (Еф2)-21п]]+Е[2ул]б — (л]] ( 1 ! г 1х < — ЕЕ+ — Ер+ -~ — О, и-+со. и ~ и! Поэтому ЕС2)= )пп Е(„21„= )пп ЕС„)!ш Ео„= ЕС Еп, причем Еег) < со. Общий случай сводится к рассмотренному, если воспользоваться представлениями С=С+ — Е, 21=2) — 21, (21=б+21+ — С 2)+ — С+2) +Е 21 . (З 7. Приводимые в этом пункте неравенства для математических ожиданий (многие уже рассматривались в элементарной теории вероятностей; Ц 4 и 5 в гл.
!) систематически применяются и в теории вероятностей, и в математическом анализе. Неравенство Чебышева. Пусть б — неотрицательная случайная величина, тогда для всякого е > 0 й б. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ 239 РЯ вЂ” ЕЯ~ >1г) < — з, 04 (23) где ОЕ= Е(Š— ЕЕ)з — диспеРсиЯ слУчайной величины Е. Неравенство Коши — Буняковского. Пусть случайные величины Е и и таковы, что ЕЕз < оо, Ег)г <оо. Тогда Е(Ег)~ < оо и (ЕКФ'<ЕЕ' Е '. (24) Доказательство.
Будем предполагать, что ЕЕз>0, Епз>0. Тогда, обозначая Е= —, г) = ч, находим, что поскольку 2(Я < Ез+ йз, то „/Е~~ 1/Ечз 2Е)Я < ЕЕз+ Ецз = 2, т. е. Е ~Щ < 1, что и доказывает (24). Если же, скажем, ЕЕзьчО, то тогда по свойству 1 Е=О (п. н.) и по свойству Р ЕЕп = О, т. е. (24) также выполнено. П Неравенство Иенсена. Пусть д= д(х) — выпуклая книзу борелевская функция и Еф < со. Тогда д(ЕО < Ед(Е). (25) Доказательство. Если функция д = д(х) выпукла книзу, то для каждого хь е Я найдется число Л(хь) такое, что для всех х е Я (26) д(х) > д(хь) + (х — хо)Л(хо). Полагая х =Е и хо = ЕЕ, из (26) находим, что у(~) > у(ЕО+ (Š— Е~)Л(ЕО и, следовательно, Е д(0 > й(ЕЕ).
(:) Из неравенства Иенсена выводится целая серия полезных неравенств. Получим, к примеру, Неравенство Ляпунова. Если 0<в < ~, то (Ца )"* <(ЕЮ')Оч (27) Для доказательства обозначим г = г/з. Тогда, полагая и = )Е)* и приме- няя неравенство Иенсена к функции д(х) = )х(', находим, что ) Еэу!' < Е /эу!', т. е. (ЕЮ')аз < ЕК!', что и доказывает (27). 240 ГЛ. П.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Из неравенства Ляпунова вытекает следующая цепочка неравенств между абсолютными моментами: Е]«] <(Е]«] )'~ <" (Е]«]")'~". (28) Неравенство Гельдера. Пусть 1 < р <оо, 1 <а <со и — + — =1. Если 1 1 Р» Е]«]» < оо, Е]п]» < со, то Е]«»)] < оо и еИ < (е]«] )'~ (е]п]»)'". (29) Доказательство. Если Е]«]» = 0 или Е !»)]» = О, то (29) следует немедленно, так же как и в случае неравенства Коши — Буняковского (являющегося частным случаем неравенства Гельдера при Р =в =2). Пусть теперь Е]«]» > О, Е]г)]» > О.
Положим ]«] „- ]ч] (Е]«]»)7~!» »' (Е]ч]»)г» »' Воспользуемся неравенством х'у <ах+Ьу, (30) справедливым для положительных х, у, а, Ь, а+ Ь =1, и вытекающим непосредственно из свойства выпуклости кверху логарифмической функции: 1п (ах+ Ьу] > а (п х+ Ь !и у = 1п х'уь. -» 1 1 Тогда, полагая х = «», у = »)», а = —, Ь = —, находим, что Р» 1 - 1 «й < — «'+ — 6», Р» откуда Е«»1< — Е«»+ — ЕГ)» = — + — = 1, 1 - 1 1 1 Р» Р» что и доказывает (29), П Неравенство Минковского.
Если Е]«]» <оо, Е]г)]» <со, 1< р <со, то Е]«+и]» <оо и (Е]«+ П]») у» < (Е]«]») ~» + (Е]г)]»)~». (31) Доказательство. Установим прежде всего следующее неравенство: если а, Ь >О и Р>1, то (а+Ь)»<2» '(а +Ь»). (32) В самом деле, рассмотрим функцию Р(х) =(а+х)» — 2» '(а»+х»). Тогда Р'(х) = р(а+х)» ' — 2» 'рх» й 6. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ 24! и поскольку Р >1, то Р'(а) =О, Р'(х) >О для х<а и Р'(х) <О для х>а. Поэтому Р(о) < !пах Р(х) =Р(а) =О, что и дает неравенство (32). В соответствии с этим неравенством К+4» < Щ+!4)» <2» '(К!»+ !и!») (33) и, значит, если Е !С!» < со, Е/гу!» < оо, то Е(~+ ту!» < оо.
Если р = 1, то неравенство (31) следует из (33). Будем теперь предполагать, что Р >1. Возьмем в>1 таким, что ! 1 — + — = 1. Тогда Р Р !С+»)1»=!С+»)) ° !С+и(» ' <!С! !С+я(» '+)П) !С+»1(» '. (34) Заметим, что (Р— !)в = Р. Поэтому Е()~+тД» ')4 = Е(Е+ф» < оо, и, значит, в силу неравенства Гельдера Е((ф (~+»))» ') <(Еф»)'г»(Е~ф+4))!» П»)'г» =(Еф»)'~»(Е((+4!)»)'~4. Точно так же и Еф) ° ((+г)(» ') <(Е(4!!»)'у»(Е)~+г))»)'~4.
Поэтому в силу (34) Е!»+ !» <(Е!»+„! ) У ((Е!а ) У +(Е1„!»)'~ 1 (38) Если Е(С+ »)!» =О, то требуемое неравенство (31) очевидно. Пусть теперь Е!С+4)1» >О. Тогда из (35) находим (Е!С+г)!»)' 'у» <(Е!С!»)'~»+(Е!г!/»)'Т», что и дает требуемое неравенство (31), поскольку 1 — — = —. 1 1 П 9 Р 8.
Пусть С вЂ” случайная величина, для которой определено математическое ожидание ЕС. Тогда, согласно свойству 1», определена функция множеств (36) 0(А) и 3 с дР, А е .йг. Покажем, что эта функция является счетно-аддитивной. 242 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Предположим сначала, что с — неотрицательная случайная величина. Если Ан Аз, ... — попарно непересекающиеся множества из зг и А = ~', Ал, то в силу следствия к теореме ! 0(А) = Е((1л) = Е((1~. л„) = Е(~~ ~1л„) = ~ ЕЦ1л„) = ~~~ 0(Ал).
Если же С вЂ” произвольная случайная величина, для которой Е4 определе- но, то счетная аддитивность 0(А) следует из представления 0(А)=0+(А) — 0 (А), (37) где О+(А)=~~+с(Р, 0 (А)=~~ йР, установленной счетной аддитивности для неотрицательных случайных величин и того факта, что т)п(0+(()), 0 (Й)) < со. Итак, если Ес определено, то функция множеств 0 =0(А) является мерой со знаком — счетно-аддитивной функцией множеств, представимой в виде 0 = 0~ — 02, где по крайней мере одна из мер 0~ или 02 конечна.
Покажем, что функция множеств 0 = 0(А) обладает следующим важным свойством абсолютной непрерывности относительно меры Р: если Р(А)=0, то 0(А)=0 (Ае.й) (это свойство кратко записывают в виде: 0 « Р). Для доказательства достаточно рассмотреть случай неотрицательных л случайных величин. Если с = ~ ха1л„— простая неотрицательная случайФ=! ная величина н Р(А) =О, то л 0(А) = Е(~1л) = ~ хаР(АА П А) = О. А=! Если же (Я„>~ — последовательность неотрицательных простых функций таких, что 4„ ! с > О, то по теореме о монотонной сходимости 0(А) = Е(С1д) = ((гп Е(С„1л) =О, поскольку Е(С„1л) = 0 для любого и > ! и А такого, что Р(А) = О.
Итак, интеграл Лебега 0(А) = ~ С йР, рассматриваемый как функция л множеств А е,йг, является мерой со знаком, абсолютно непрерывной относительно меры Р (0«Р). Весьма замечательно, что имеет место и обратный результат. $6. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ 243 Л(А) = $ Р(ы),и(йы), А Е,уг, л (38) С точностью до множеств р-меры нуль функция Г(ы) единственна: если й =й(ы) — другая йг-измеримая функция такая, что Л(А) = = ') й(ы) р(сЬ4, А Е,Уг, то,и(ин [(ы) ф й(ы)] = О. л Если Л вЂ” мера, то )'= г(ы) принимает значения в Я.ь = [О, со].
Функция 7=7(ы) в представлении (38) называется производной Радона — Никодима или плотностью меры Л относительно меры и и йЛ йЛ обозначается — или †(ы). йр йр Ряд важных свойств этих производных изложен в лемме п. 8 следующего $7. Особо отметим сейчас частный случай приводимой там формулы (35), часто используемый при пересчете математических ожиданий при замене меры. Именно, пусть Р и )Б — две вероятностные меры, Е и Š— соответствующие математические ожидания.
Предположим, что мера Р абсолютно непрерывна относительно меры Р (обозначение: Р «Р). Тогда для всякой неотрицательной случайной величины С =С(ы) справедлива следующая «формула пересчета математических ожиданий»: Ес=Е[с — ]. (39) Эта формула остается справедливой и без предположения о неотрицательности С в следующей формулировке: случайная величина С интегрируейР ма по мере Р в том и только том случае, когда величина с — интегрируема йР по мере Р; при этом справедливо равенство (39). Доказательство формулы (39) весьма несложно: для простых функций йр с она непосредственно следует нз определения производной †, а для йр' неотрицательных С надо воспользоваться теоремой 1 Ь) 5 4, утверждающей существование простых функций („Тс, и — со, и затем теоремой ! а) о монотонной сходимости.
Если же с — произвольная случайная величина, йр то, согласно (39)), Е]с] = Е]с] —. Отсюда следует, что интегрируемость с йР' Теорема Радона — Никодима. Пусть ((), .уг) — измеримое пространство, р — о-конечная мера и Л вЂ” мера со знаком (т е. Л =Л~ — Л2, где по крайней мере одна из мер Л! или Л2 конечна), являющаяся абсолютно непрерывной относительно р. Тогда существует Я-измеримая функция 7= 7(ш), принимающая значения в Я= [ — оо, со], такая, что 244 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ йр по мере Р равносильна интегрируемости Š— по мере Р. Сама же форму- аР ла (39) вытекает из рассмотрения представления Е=Е+ — Е Теорема Радона — Никодима, приводимая здесь без доказательства (по поводу ее доказательства см., например, [70]), будет играть ключевую роль в конструкции условных математических ожиданий ($7).
и 9. Если Е= 2 х;)л, — простая случайная величина, А; =(ы: Е=к>), то Ей(о = ~~~ д(х>)Р(А>) = ~ ~д(х;)ЬР4(х>). Иначе говоря, для подсчета математического ожидания функции от (простой) случайной величины Е нет надобности знать всю вероятностную меру Р, а достаточно знать лишь распределение вероятностей Рс илн, что эквивалентно, функцию распределения Рс случайной величины Е. Следующая важная теорема обобщает это свойство. Теорема 7 (о замене переменных в интеграле Лебега). Пусть (й, я ) и (Е, в~) — два измеримых пространства, Х =Х(ы) — У/В-измеримая функция со значениями в Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
