А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(Тогда наборы (а, Ь) и (Ь, а), составленные из одних и тех же точек, нужно рассматривать как разные, поскольку для упорядоченных наборов важен порядок следования их элементов.) В этом случае для справедливости теоремы 4 к условию (20) надо добавить еще одно условие согласованности: ри,,(А, х хА,)=РЮ Л1(АЬ х...хА0„), (23) где ((ь „,, 1„) — произвольная перестановка чисел (1, ..., и), Аь еМ(%ь), 2!О ГЛ. и.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ очевидность которого как необходимого условия существования вероятностной меры Р следует из (2)) (с заменой Р(ь ь1(В) на Ри, и1(В)). В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что рассматриваемые наборы т являются неупорядоченными. Если Т вЂ” множество на числовой прямой (или некоторое вполне упорядоченное множество), то без ограничения общности можно считать, что рассматриваемые наборы т = [1н ..., 1„] таковы, что 11 < 1» « ...
1„. (Если, скажем, множество т состоит из числовых точек (аи), (аз), ..., (а„), то т всегда может быть представлено в виде т««[1н 1», ..., 1„], где 11<1»«... 1„, при этом 11 =пни(ан ..., а,), ..., 1„=гпах(ан ..., а„).) Таким образом, все «конечномерные» вероятности в этом случае достаточно задавать лишь для таких наборов т = [1н ..., 1„], у которых 1~ < 1» <... < 1„.
Рассмотрим сейчас тот случай, когда Т = [О, оо). В этом случае йг есть пространство всех действительных функций х =(х~)~>о. Важным примером вероятностной меры на (й(е ~, Я(й(О >)) является так называемая винеровская мера, строящаяся следующим образом. Рассмотрим семейство (ич(у]х))~во гауссовских плотностей (по у при фиксированном х) чн(у]х)= — е» ю1', уЕ)т, ~/Б7 и определим для каждого набора т = [1 н ..., 1„], 1~ < 1» <... < 1„, и множеств В =1~ х ...
х 1„, 1» =(аы Ь»), меру Р,(В) по формуле Р„(В) = Р,(1 ~ х ... х 1„) = =~ ... ~ рп(а~]0)ри п(аэ]а1)...чь„н,(а„]а„~)с(а~...да, (24) А А (интегрирование понимается в смысле Римана). Затем для каждого цилиндрического множества .~п,„(11 х... х 1„) =(х е)1': хп е(ь ..., хц е 1„) определим функцию множеств Р, полагая Р(КО и(11 х ... х 1„)) = Р»ГО сй(11 х ... х 1„). Наглядный смысл такого способа приписывания меры цилиндрическому множествУ .~ь Гм(1~ х ... х 1„) состоит в следУющем.
Множество .~~, н(1, х ... х 1„) — это множество всех функций, проходящих в моменты 1н ..., 1„через «окна» 1н ..., 1„(см. рис. 24, $2). Будем интерпретироватыр~, и, (а»]а» 1) да» как вероятность того, что частица, выходящая из точки а» 1, за время 1» — 1» ~ попадет в да»-окрестность точки а».
Тогда то, что в (24) рассматривается произведение плотностей, означает определенную независимость приращений смешений движущейся «частицы» на интервалах времени [О, 11], [1н 1»]," [1 -~ 1»]. 43. ЗАДАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Так построенное семейство мер (Р,) является, как нетрудно проверить, согласованным и, следовательно, может быть продолжено до меры на ()7!а~ 1, йр()г!а !)). Полученная таким образом мера играет важную роль в теории вероятностей.
Эта мера была введена Н. Винером и называется винеровской мерой. 6. Задачи. 1 Пусть Е(х) = Р(-оо, х]. Показать справедливость следующих формул: Р(а, Ь] = Г(Ь) — Г(а), Р(а, Ь) = Г(Ь вЂ” ) — Г(а), Р[а, Ь] = Е(Ь) — Е(а †), Р[а, Ь) = Е(Ь вЂ ) — Е(а †), Р((х)) = Е(х) — Е(х-), где Е(х-) =!1гп Е(у). к!к 2. Убедиться в справедливости формулы (7). 3.
Провести доказательство теоремы 2. 4. Показать, что функция распределения Е = Е(х) на В имеет не более чем счетное число точек разрыва. Что можно сказать о соответствующем результате для функций распределения в )7" 7 5. Показать, что каждая из функций [1, х+у>О, б(х, у) = [х+у] — целая часть х+у, является непрерывной справа, возрастающей по каждой переменной, но не является (обобщенной) функцией распределения в й~.
6. Пусть р — мера Лебега — Стилтьеса, отвечающая некоторой непре- рывной обобщенной функции распределения. Показать, что если множес- тво А не более чем счетно, то р(А) = О. 7. Пусть с — мощность континуума. Показать, что мощность борелев- ских множеств в )7" равна с, а о-алгебры лебеговских — 2'. 8. Пусть (й, .йг, Р) — некоторое вероятностное пространство и лх— алгебра подмножеств й такая, что о(л~) = лг.
Используя аринина под- ходящих множеств, доказать, что для всякого е > 0 и В е лг можно найти такое множество А е лФ, что Р(А с!В) <е. 9. Пусть Р— вероятностная мера на ()7", йг()г")). Доказать, что для всякого е > 0 и В Е ВУ()г") можно найти комлактное множество А! и открытое Аз такие, что А! СВСАз и Р(Аз~А!) <е.
(Этот результат используется в доказательстве теоремы 3.) 2!2 ГЛ. И, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 10. Проверить согласованность семейства мер (Р,), построенных по формуле Р,(В) = Р(.Ф (В)), где Р— данная вероятностная мера (ср. с (21)). 11. Проверить, что приведенные в табл. 2 и 3 «распределения» действительно являются распределениями вероятностей. 12. Показать, что система лг из замечания 2 в и. 1 является в-алгеброй. 13.
Показать, что функция множеств р(А), А е Ы, введенная в замечании 2 п. 1, является мерой. 14. Привести пример, показывающий, что если мера ра является на алгебре кх конечно-аддитивной (но не счетно-аддитивной), то ее нельзя продолжить до счетно-аддитивной меры на в(~Ф). 15. Показать, что всякая конечно-аддитивная вероятностная мера, заданная на алгебре л~ подмножеств й, может быть продолжена до конечноаддитивной вероятности на всех подмножествах из П.
16. Пусть Р— вероятностная мера на а-алгебре .Яг подмножеств й. Пусть множество С Сй, но С фЯ. Показать, что меру Р можно продолжить (с сохранением свойства счетной аддитивности) на в-алгебру в(уг !! (С)). 17. Показать, что носитель непрерывной функции распределения Р есть совершенное множество (т. е. носитель зцрр г есть замкнугое множество, обладающее тем свойством, что если х Е вирр Р и е > О, то найдется у е вирр Р такое, что 0 < !х — у! < с).
Показать, что носитель (произвольной) функции распределения является замкнутым множеством. 18 Доказать следующий фундаментальный результат (см. конец п. 1) о структуре функций распределения: каждая функция есть выпуклая комбинация Р=а!Рз+азРы +азу дискретной (Рз), абсолютно непрерывной (г,ь,) и сингулярной непрерывной (г"„) функций распределения; а; >О, а!+аз+аз=1. 19. Показать, что для канторовской функции распределения Р =Р(х) для каждой точки из канторова множества Ф' точек ее роста (совпадающего с носителем вирр г") имеет место представление х = 2 —, где а»(х) зй а»(х) = 0 или 2, и что для таких точек г(х) = ~', а~(к) 2»+' 20.
Пусть С вЂ” некоторое замкнутое множество на В. Построить функцию распределения Р, для которой носитель зцрр г" = С. 21. Показать, что в биномиальном случае (п. 1 $2) функция распределения В„(т; р)=Р„(и<т)=~~ С«р д™ »=о $3. ЗАДАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЪ|Х МЕР |ИЗ может быть выражена через (неполную) бета-функцию: ! 22 Показать, что пуассоновская функция распределения Р(п; Л)= » -лЛ» А! — выражается следуюшим образом через (неполную) гамма- функцию: г(п; Л)= —, ~ х"е "бх. ' л 23. При описании формы плотностей распределений 7= 7(х) помимо среднего значения и дисперсии стандартными характеристиками являются параметр «скошенности» (в)сечгпезз) из аз=— и параметр «пикообразности» (реа)себпезз, (спг(оз(а) а»= » 1~4 где р» — - ') (х — и)» )(х) г(х, р = г) х7(х) с(х, оз =,из.
Рассмотреть вопрос о значениях параметров аз и а» для распределений, приведенных в таблице на с. 197. 24. Показать, что для случайной величины Х с гамма-распределением (из таблицы на с. 197) с р = 1 Г(А+ а) Г(а) В частности, ЕХ = а, ЕХз = а(а+ 1) и, значит, ОХ = а. Найти аналог этих формул, когда л) Ф 1. 25. Показать, что для случайной величины Х с бета-распределением (из таблицы на с. 197) В(г+«, з) В(г, з) 26. При рассмотрении биномиального распределения фиксируется число испытаний и и рассматривается вероятность Р„(и= г) того, что число «успехов» в этих п испытаниях равно г.
Эти вероятности Р„(и =г» = =С„'р'ц" ', 0<г<п, где р — вероятность единичною «успеха», образуют биномиальное распределение (и — задано). Отрииательно-биномиальное (или обратно-биномиальное) распределение возникает, когда З!4 ГЛ. И. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ рассматривается вопрос о том, какова вероятность того, что г «успехов» впервые появятся на (случайном) шаге т= й (> г). Показать, что эта вероятность Р'(т =й) задается формулой Р'(т=й)=С' ,'р'д" ', й=г, г+1, ..., с г = 1, 2, ... (р — вероятность единичного «успеха»). Набор этих вероятностей Р'(т = й) для й = г, г+ 1, ...
(г — задано) образует отрицательнобнномнальное распределение. Показать, что (для заданного г) Е'т = гц(р. В 4. Случайные величины.! 1. Пусть (й, М) — некоторое измеримое пространство н ()1, М(В))— числовая прямая с системой борелевскнх множеств М(В). Определение 1. Действительная функция С =((ь1), определенная на (Й, М), называется У-измеримой функцией нлн случайной величиной, если для любого В Е М(В) (ю: ~(«1) Е В) Е Р', (1) нлн, что то же самое, если прообраз Г'(В) эз (ик С(«1) Е В) является измернмым множеством в й. В том случае, когда ((), Я) = ()с", М(Я")), М(гг")-нзмернмые функции называют борелевскими.
Простейшим примером случайной величины является индикатор 1л(«1) любою (нзмернмого) множества А е.йг. Случайная величина С =С(«1), представимая в виде с(«1) = ~~ х1!л,(«1), (2) !=! где ,'! , 'А; = й, А; Е Я, будет называться дискретной. Если же в (2) сумма конечна, то такая случайная величина будет называться простой. Следуя той же интерпретации, что н в $4 главы 1, можно сказать, что случайная величина есть некоторая числовая характеристика экспернмента, значения которой зависят от «случая» ш.
Прн этом требование нзмернмостн (1) важно, н вот по какой причине: если на (П, Я) задана вероятностная мера Р, то тогда имеет смысл говорить о вероятности события («1: С(«1) Е В), состоящего в том, что значения случайной величины принадлежат некоторому борелевскому множеству В. В этой связи дадим такое Определение 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
