А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Обобн(енной функцией распределения на числовой прямой )т назовем всякую неубывающую непрерывную справа функцию 6 = 6(х) со значениями в (-со, со). Теорема 1 допускает обобщение в том смысле, что формула !г(а, Ь]=0(Ь) — 6(а), а<Ь, снова устанавливает взаимно однозначное соответствие между мерами Лебега — Стнлтьеса гг и обобщенными функциями распределения 6.
В самом деле, если 6(+со) — 6( — со) < оо, то доказательство, примененное в теореме 1, проходит без всяких изменений, поскольку этот случай сводится к случаю, когда 6(+со) — 6( — оо) = 1 и О( — со) = О. Пусть теперь О(+со) — 6(-со) = со. Положим 6(х), ]х] < и, 0„(х) = 6(п), х > и, 6( — и), х < — п. Определим на алгебре л~ конечно-аддитивную меру ро так, что на (о, Ь] значение !го(а, Ь] = 0(Ь) — 6(а), н пусть,и„— уже построенные (по теореме 1) счетно-аддитивные меры, соответствующие функциям 0„(х). Очевидно, что на лг гг„Т г!о.
Пусть теперь А !, Аз, ... — непересекающиеся множества из лФ н А ж ~ А„Е лФ. Тогда (задача б из $1) рО(А) > ~Х~ Ггс(А„). л=! Н если ~; !!с(А„) =со, то !!с(А) = ~', ро(А„). Предположим теперь, что л=! я=! 200 ГЛ. !!. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ~ !!о(А„) < со. Тогда Ро(А) =йщ !!„(А)=1нп ') !!л(Аэ). ь=! Согласно сделанному предположению, ~ !!о(А„) < оо. Поэтому 0 (,ио(А) - ~, !ле(Аь) = йв ~~~! (ил(Аь) — !1о(Ал)) < О, Ф=! 1е=! поскольку и„ < !!а.
Итак,а-конечная конечно-аддитивная мера !1с является счетно-аддитивной на ьФ, и, значит (по теореме Каратеодори), она может быть продолжена до счетно-аддитивной меры !л на а(зФ). Особо важен тот случай, когда б(х) =х. Отвечающая этой обобщенной функции распределения мера Л называется мерой Лебега на ()7, М()7)). Как и в случае отрезка [О, 1], на числовой прямой )7 вводится система лебеговских множеств М(Я) (Л ЕМ()7), если существуют борелевские множества А и В такие, что А С Л С В, Л(В ~ А) = О), для которых определяется также лебеговская мера Л (Л(Л)=Л(А), если АСАДОВ, ЛЕМ()г) и Л(В ~А) =О). 3.
Измеримое пространство ()с", М()т")). Как и в случае действительной прямой, предположим, что Р— некоторая вероятностная мера на ()7л М()(л)) Обозначим Рл(Х1, ..., Хл) = Р(( — ОО, Х1] Х ... Х (-СЮ, Хл]), или, в более компактной форме, Р„(х) = Р( — со, х], ГДЕ Х = (Х1, ..., Хл), (-СО, Х] = (-СО, Х1) Х ... Х (-СО, Хл]. Введем разностный оператор йл,,и. )г" — )7, действующий по формуле (а; < Ь!) !ЗлЬ,Гл(х! " Хл) =Гл(Х1 "' Х1-1 Ьн Х!Е1 Хл) — Рл(Х1, ..., Х! 1, ан Х,+1, ..., Хл). Простой подсчет показывает, что Ьлпч" !Лл„ь„Рл(х1, ", хл) =Р(а, Ь), (7) где (а, Ь] = (а1, Ь1] х ... х (ал, Ьл).
Отсюда, в частности, видно, что, в отличие от одномерного случая, вероятность Р(а, Ь], вообще говоря, не равна разности Р„(Ь) — г"„(а). й 3. ЗАЛАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 20! Поскольку Р (а, Ь! > О, то из (7) следует, что для любых а = (а н ..., а„), Ь=(ЬИ ..., Ьп) сьа,ь, 7Ьо.ь.рч(хь "' хл) >О. (8) Из непрерывности вероятности Р вытекает также, что Г„(хн ..., х„) непрерывна справа по совокупности переменных, т. е. если хай ьх, х1М = — (х,, „,х„),то 1ь> Ра Г„(хои) ) Г„(х), й Оо.
(9) Ясно также, что Гч(+оо, „., +со) = 1 (10) 1пп Г„(хн ..., х„) = О, льу (11) если по крайней мере одна из координат у у принимает значение -оо. Определение 2. Всякую функцию Г =Г„(хн ..., х„), удовлетворяющую условиям (8) — (11), будем называть и-мерной функцией распределения (в пространстве )т"). Используя те же самые рассуждения, что и в теореме 1, можно доказать справедливость следующего результата. Теорема 2. Пусть Г = Г(хн ..., х„) — некоторая функция распределения в )т". Тогда иа ()г", йьЯ")) существует и притом единственная вероятностная мера Р такая, что Р(а, Ь) = дьа,ь," йьл„ь„Г„(хн ..., х,). (12) Приведем некоторые примеры и-мерных функций распределения.
Пусть Г', ..., Г" — одномерные функции распределения (на )т) и Г„(хн ..., х„) =Г~(х~)...Г" (х„). Ясно, что эта функция непрерывна справа и удовлетворяет условиям (10), (11). Нетрудно проверить также, что йьмь," йь,„ь„Г„(х,, ..., х„)=Д 'ус (Ьь) — Г~(аь)) >О. Следовательно, Г„(хн ..., х„) — некоторая функция распределения. Особо важен случай, когда О, хе<0, Г"(хь)= хм 0<хь<1, 1, хь>1. 202 ГЛ.
и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В этом случае для всех 0 < хэ < 1, й = 1, ..., и, Е'„(х н ..., Х„) = х1 ... х„. Соответствующую этой а-мерной функции распределения вероятностную меру называют и-мерной мерой Лебега на [О, ![". Большой запас а-мерных функций распределения получается в виде Р„(хн ..., Х„) = ~ ... ~ Д„(Й, ..., 1„) дй...
Ж„, где )„(Й, ..., 1„) — неотрицательные функции с а интегралы понимаются в смысле Римана (и в более общем случае— в смысле Лебега). Функции /=~„(Й, ..., 1„) называют плотностями и-мерной функции распределения, и-мерной плотностью распределения вероятностей или просто и-мерными плотностями. В случае а=! функция о-т) )(х)= е зт т'2к а с о > 0 есть плотность (невырожденного) гауссовского, или нормального, распределения. Существуют естественные аналоги этой плотности и в случае и >!.
Пусть К= [[ГО[[ — некоторая неотрицательно определенная симметрическая матрица порядка а х а: ГОЛ'Л1>О Л'ЕР, 1 1 с/=! гу = гр. В том случае, когда К вЂ” положительно определенная матрица, ее детерминант [К[ щде1 К > О, и, следовательно, определена обратная матрица А = [[ау [[. Тогда функция [А[~/2 )„(хн ..., х„) = — ~ ехр ~-- ~ ау(х; — т~)(х! — т;)~, (13) где т; Ей, 1=1, ..., и, обладает тем свойством, что интеграл (Римана) от нее по всему пространству равен 1 (это будет доказано в $ 13), и, следовательно, в силу ее положительности она является плотностью.
$3. ЗАДАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Зта функция называется плотностью и-мерного (невырожденного) гауссовского, или нормального, распределения (с вектором средних значений т=(т!, ..., т„) н матрицей ковариаций К=А '). В случае и =2 плотность 6(х!, хз) может быть приведена к виду Л(а, Ь] = Д (Ь! — а!), !ьц т. е. мера Лебега «прямоугольника» (а, Ь]=(а!, Ь!] х ... х (а„, Ь„] Рис. 28, Плотность двумерного нор- мального распределения равна его «объему». 4.
Измеримое пространство ()с=, М()!")). В случае пространств )г", п > 1, вероятностные меры строились по следующей схеме: сначала для элементарных множеств — прямоугольников вида (а, Ь], затем естественным образом на множествах вида А = 2',(а;, Ьг] и, наконец, с помощью теоремы Каратеодори — на множествах из М(!т"). Аналогичная схема построения вероятностных мер «работает» и в случае пространства (В, М()г )). Обозначим через е„(В) =(х Е )(~: (х!, ..., х„) ЕМ), В Е М()г"), щ!линдрическое множество в пространстве !г с «основанием» В ЕМ()т"). Как мы сейчас увидим, именно цилиндрические множества естественно 1 г 1 !(х!,хэ)= ехр !ь- «к 2«о!озт/! — р~ ! 2(! — Р«) к в -2а + „1~~, (14) [ (х! — т!) (х! — т!)(хз -тт) (хз — тз) ! ! а! о! оз 2 где о! > О, ]р] <!.
(Смысл параметров т!, а! и р будет объяснен в $ 8.) Приводимый рис. 28 дает представление о виде двумерной гауссовской плотности. Замечание. Как и в случае и = 1, теорема 2 допускает обобщение на (аналогичным образом определяемые) меры Лебега — Стилтьеса в ()г", М()т")) и обобщенные функции распределения в )!".
В том случае, когда обобщенная функция распределения 0„(х!, ..., х„) равна х! ...х„, соответствующая мера называется мерой Дебега на борелевских множествах пространства В". Ясно, что для нее 204 Гл. я. мАтемАтические ОснОВАния теОРНН ВеРОятнОстеЙ считать теми элементарными множествами в В, по значениям вероятностей которых определяется вероятностная мера на множествах из Я(ю ). Пусть Р— некоторая вероятностная мера на (В, Я(В )). Обозначим для п=1, 2, ...
Р„(В) = Р(ЯДВ)), В е Я(В"). Последовательность вероятностных мер Р!, Рз, ..., определенных соответственно на (В, Я(В)), ()ст, Я(В2)), ..., обладает следующим очевидным свойством согласованности: для любого п=1, 2, ... и ВЕЯ(к») (16) Р„+ ! (В х Д) = Р„(В). Весьма примечательно, что имеет место и обратный результат. Теорема 3 (Колмогорова о продолжении мер в (В, Я(1( ))). Пусть Р!, Рз, ...
— последовательность вероятностных мер на (В, Я(В)), (й~, Я(й~)), ..., обладающих свойством согласованности (16). Тогда существует и притом единственная вероятностная мера Р на (В, Я(В' )) такая, что для каждого и = 1, 2, ... Р(У„(В)) = Р„(В), В е Я(В"). Доказательство. Пусть В" Е Я(11") и .я„(В") — цилиндр с «основанием» В". Припишем этому цилиндру меру Р(.У„(В")), полагая ее равной Р„(В"). Покажем, что в силу условия согласованности такое определение является корректным, т.е. значение Р(.й„(В")) не зависит от способа представления цилиндрического множества .Р„(В").
В самом деле, пусть один и тот же цилиндр представлен двумя способами: М„(В") =Я„+»(В"+»). Отсюда следует, что если (х!, ..., х„+») е В"+», то (х!, ..., х„)еВ ьь (х!, ..., х„+»)еВ"+, (18) и, значит, в силу (!6) Р„(В") =Р„+!((х!, ..., х„ь!): (х!, ..., х„)ЕВ")= ... ...= Р„+»((х!, ..., х„+»): (х!, ..., х») е В) =Р„+»(В"+). Обозначим лт(В ) совокупность всех цилиндрических множеств В" = =Х,(В"), В" ЕЯ()г"), и=1, 2...
Нетрудно видеть, что лг(В ) — алгебра. Пусть теперь В', ..., В» — непересекающиеся множества из ле(В ). Вез ограничения общности можно считать, что все они таковы, что для $3. ЗАДАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 205 некоторого п В! =-Ял(Вн), ! = 1, ..., й, где В",, ..., В» — непересекающиеся множества из Я(гт'"). Тогда у» л Р '~ Вг~ =Р~ ~ ~.У„(Вз)~ =Р„~~ ~В,"~ =~' Рл(ВК) =~~! Р(В;), 1=! 1=! !=! !=1 т е функция множеств Р— конечно-аддитивна на алгебре Ы(»1"). Покажем, что Р непрерывна в «нуле» (а, значит, и о-аддитивна на х~(1~' ); см. теорему в $1), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
