А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 34
Текст из файла (страница 34)
е. если последовательность множеств В„) а, п-лос, то Р(В»)-+0, и-~со. Предположим противное, т. е. пусть |пп Р(В») = 6> О. Без ограничения л общности можно считать, что последовательность (Вл) такова, что В, =(х: (х!, ..., хл) е В,), В„е Я(В"). Воспользуемся следующим свойством (см. задачу 9) вероятностных мер Рл на (В", Я(В")): если ВлеЯ(В"), то для заданного б>0 можно найти такой компакт Ал Е Я(Вл), что Ал С Вл и Рл(В» !,Ал) < 6/2»+'.
ПоэтомУ, если А„= (х: (х!, ..., хл) е Ал), то Р(В, !!А„)»»Р„(В„!А„) <б/2»+'. л Образуем множество Сл = П Аю и пусть Сл таковы, что »=! Сл лл (х: (х!, ..., хл) Е Сл). Тогда, учитывая, что множества Вл убывают, находим л л Р(В„! Сл) < ~ ' Р(В„~ А») < ~ Р(В, | А») < 6/2. »=! »=! Но по предположению |пп Р(В«)=б>0, и, значит, йгп Р(С«) >6/2>0.
Покажем, что это противоречит тому, что С, » !з!. Действительно, выберем в множествах Сл по точке х!"! = (х!»1, х!»1, ...). Тогда для каждого п >1 (х!»1, ..., х! 1) е С,. Пусть (п!) — некоторая подпоследовательность последовательности (и) такая, что х, — х,, где х, — некоторая точка в С!. (Такая подпосле!л,! о о довательность существует, поскольку все х!л'! Е С!, а С! — компакт.) Из последовательности (и!) выберем подпоследовательность (пз) такую, что (х,л'1, х|л'!) (хо, хо) Е Сз.
Аналогичным образом пусть (х|л'1, ..., х!"'!)— - (хо, ..., х»о) Е С». Образуем, наконец, диагональную последовательность (т»), где т» есть й-й член в последовательности (и»). Тогда для любого 206 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1=1, 2, ... х< Н- ха при ть-+со, причем точка (ха, х20, ...)ЕС„для любого я=1, 2, ..., что, очевидно, противоречит предположению о том, что С„(Е~, и- оо. Итак, функция множеств Р на алгебре лФ(й ) является гг-аддитнвной и, значит, по теореме Каратеодори может быть продолжена до (вероятностной) меры на ()г'=-, М(й )). П Замечание.
В рассмотренном сейчас случае пространство )г есть счетное произведение прямых, й =й х й х ... Естественно поставить вопрос о том, а верна ли теорема 3 для случая, когда вместо ()г=, М()г")) берется прямое произведение измеримых пространств (й» хг),! =1, 2, ... В приведенном выше доказательстве можно усмотреть, что единственное свойство числовой прямой топологического характера, которое было существенно использовано, состояло в том, что в любом множестве из М(Я") можно найти компакт, вероятностная мера которого сколь угодно близка к вероятностной мере этого множества. Известно, однако, что это свойство присуще не только пространствам ()г", М(й")), но и любым полным сепарабельным метрическим пространствам се-алгебрами, порожденными открытыми множествами.
Таким образом, теорема 3 остается справедливой, если считать, что Р» Рз, ... — последовательность согласованных вероятностных мер на (й» У1), (й~ х йз, У~ чэ,ля), ..., где (й» Я;) — полные сепарабельные метрические пространства с гг-алгебрами Я» порожденными открытыми множествами, а вместо ()г=, М()г )) рассмотреть пространство (й, х й х.„, я1 ®,хгз® ...). В $9 (теорема 2) будет показано, что результат теоремы 3 также остается справедливым н в случае произвольных измеримых пространств (й„, й„), если меры Р„, и > 1, сконструированы некоторым спеииальным образом. В общем же случае (без каких-либо предположений топологического характера о структуре рассматриваемых измеримых пространств или о структуре семейства мер (Р„)) теорема 3 может быть и неверна, что показывает следующий пример.
Рассмотрим пространство й = (О, 1], которое, очевидно, не является полным, и построим в нем последовательностью-алгебр Я~ СХ2С ... по следующей схеме. Пусть для всех и = 1, 2, ... 1 , 0<ог<1/и, О, 1/я<и<1, К=(А Ей: А =(ин ~Рп(ш) ЕВ), В ЕМ()Г)) и Я„=е(®» ..., м"„) — наименьшая е-алгебра, содержащая системы мно- жеств %, ..., м"„. Ясно, что йг1 СУИСС ... Пусть зг=гг(()Я„) — наимень- 53. ЗДЛАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР щая о-алгебра, содержащая все У'„. Рассмотрим измеримое пространство (О,рг„) и определим на нем вероятностную меру Р„следующим образом: ~1, если (1, ..., 1) Е В", 1 0 в противном случае, где В" Е Я(В").
НетРУдно УбедитьсЯ в том, что семейство меР (Р„) ЯвлЯетсЯ согласованнын: если А Е У„то Р„+,(А) = Р„(А). Можно, однако, утверждать, что на ((), .Уг) не существует вероятностной меры Р такой, чтобы ее сужение Р!.»г„(т. е. мера Р, рассматриваемая лишь на множествах из Уг„) совпадало с Р„, и = 1, 2, ... В самом деле, допустим, что такая вероятностная мера Р существует. Тогда Р(м: у!(~4 = " = ~Р«(ы) = 1) = Рп(ы: Ф~(ы) = " = ~о«(ы) = 1) = 1 (19) для любого л=1, 2, ...
Но (ы: ЧЧ(ь~) =...=1Р„(ы)=1)=(0, 1/п)(Е!, что противоречит (!9) и предположению о счетной аддитивности (а значит, и непрерывности в «нуле» Е0 функции множеств Р. Приведем теперь пример вероятностной меры в ()т", Я()т )). Пусть Р!(х), Рз(х), ... — последовательность одномерных функций распределения. Определим функции 61(х) =Р~(х), бз(хн хз) =Е~(х~)Рз(хз), ... и соответствующие им вероятностные меры на (В, Я(Й)), (й~, Я()с~)), ... обозначим Рн Рз, ... Тогда из теоремы 3 следует, что в (В, Я()1 )) существует такая мера Р, что Р(х Е В": (хм ..., х„) Е В) = Р„(В), В Е Я(В"), и, в частности, Р(х е В: х| < а и, х„< а,) ««Р,(а ~)...
Р'„(а„). Возьмем в качестве Р;(х) — бернуллиевское распределение: О, х<0, Рр(х) у 0 <х < ! 1, х > !. Тогда можно утверждать, что в пространстве й всех числовых последовательностей х =(хн хз, ...), х; =О, 1, с о-алгеброй Я(В ) йй его борелевских подмножеств существует вероятностная мера Р такая, что для любого п>1 Р(х: х, =ан ..., х„=а„)=рт-"д" ~". 208 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Заметим, что именно этого результата нам не хватало в первой главе, чтобы сформулировать закон больших чисел в форме (8) $5 гл.!. 5.
Измеримые пространства (йг, М(йг)). Пусть Т вЂ” произвольное множество индексов ~ е Т и В~ — числовая прямая, соответствующая индексу с. Рассмотрим произвольный конечный неупорядоченный набор т= [1» ..., г„] различных индексов (» Й е Т, п >!, и пусть Р, — вероятностная мера на (В', Я(к')) с н' =Вч х ... х Вц. Будем говорить, что семейство вероятностных мер (Р,), где т пробегает множество всех конечных неупорядоченных наборов, является согласованным, если длЯ любых набоРов т = [Гн ..., г„] и с = [з» ..., зь] таких, что оСт, Р«((хм, .
хм): (хч„.,., х„) Е В) = = Р.,((хн„, ..., хц): (х,„..., х„) Е В) (20) для любого В Е Я(В"). Теорема 4 (Колмогорова о продолжении мер в (Вг, Я()сг))). Пусть (Р,) — семейство согласованных вероятностных мер на (В', М()г )). Тогда существует и притом единственная вероятностная мера Р на (рг, Я(йг)) такая, что Р(.Ф,(В)) = Р,(В)) (2! ) для всех неупорядоченных наборов т= [Й, ..., („] различных индексов (; е Т, В е Я(В') и Х,(В) = (х е н~: (хн, ..., хц) е В). Доказательство. Пусть множество В ЕЯ(йг). Согласно теореме 3 из 5 2, найдется не более чем счетное множество В =(з» згь ...) С Т такое, что В = (х: (х„, хсь ...
) Е В), где В Е М()(з), йз = )(,, х Ям х ... Иначе говоря, В =.Фз(В) — цилиндрическое множество с «основанием» В Е Я(ь(з). На таких цилиндрических множествах В =.йз(В) определим функцию множеств Р, полагая (22) Р(,Уз(В)) = Рэ(В), где Рэ — та вероятностная мера, существование которой гарантируется теоремой 3. Мы утверждаем, что Р— именно та мера, о существовании которой говорится в теореме. Чтобы установить это, надо, во-первых, проверить, что определение (22) корректно, т.е. приводит к одному и тому же значению Р(В) при разных способах представления В, и, во-вторых, что эта функция множеств счетно-аддитивна.
Итак, пусть В =.рз,(В~) и В =.рз,(Вз). Ясно, что тогда В =.Фз,оз,(Вз) с некоторым Вз Е М(В~'"~'), и поэтому достаточно лишь убедиться в том, $3. ЗАЙАННЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 209 что если 5 С 5' и В Е Я(Й~), то Рз (В') =Рз(В), где В = ((хв, хв, ... ): (хн, хм, ... ) Е В) с5'=(з',зз " ) 5=(з ° зз," ).
Но в силу условия согласованности (20) это равенство непосредственно вытекает из теоремы 3, что и доказывает независимость значений Р(В) от способа представления множества В. далее, для проверки свойства счетной аддитивности функции множеств Р предположим, что (В„) — некоторая последовательность попарно непересекающихся множеств из М()(г). Тогда найдется такое не более чем счетное множество 5 С Т, что для любого л > 1 В„=.хз(В„), где В„е Я()тз). Поскольку Рз — вероятностная мера, то Р(~ В„) =Р(~ Ч.Рз(В„)) =Рз(~ В„) = =~~~, Рз(Вл) = ~ Р( Кз(Вп)) =~~), Р(Вл). Наконец, свойство (21) непосредственно следует из самой конструкции меры Р. С) Замечание 1. Подчеркнем, что Т вЂ” любое множество индексов. При этом в силу замечания к теореме 3 настоящая теорема остается в силе, если вместо числовых прямых )(, рассматривать любые полные сепарабельные метрические пространства й~ (с о-алгебрами, порожденными открытыми множествами).
Замечание 2. Исходное семейство вероятностных мер (Р ) предполагалось заданным для всех неупорядоченных наборов т=[йн ..., 1„] различных индексов. В этой связи важно подчеркнуть, что эти меры Р как функции от т = [1н ..., 1„] являются, в сущности, функциями множеств, составленных из (разных) точек (1~), ..., (1„). (Скажем, неупорядоченные наборы [а, Ь] и [Ь, а] надо рассматривать как тождественные, поскольку они задают одно и то же множество, состоящее из точек (а) и (Ь).) Иногда же в качестве исходного берут семейство вероятностных мер (Р,), где т пробегает множество всех упорядоченных наборов т =(1н ..., 1„) различных индексов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
