А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 31
Текст из файла (страница 31)
2 Ясно, что функция у~ жС вЂ” 1 принадлежит Ап и, следовательно, (у,о, ур, ...) е Во. Образуем тогда функцию гп(го го ) ~С+1 1~((о Го Понятно, что (урь урь ...) = (2р, Зр, ...), и, значит, функция х = (х~) принадлежит множеству (х: (хпь хнь ... ) Е Во). Но ясно также, что она не принадлежит множеству (х: зир хг < С). Полученное противоречие показывает, что А ~ 1е я()г(ол1). В свЯзи с неизмеРимостью множеств Аы Ат и Аз по отношению к в-алгебре Я(й(о О) в пространстве всех функций х =(х~), (Е [О, 1[, естественно рассмотреть более узкие классы функций, где эти множества могут оказаться измеримыми. Интуитивно понятно, что так будет, если в качестве исходного пространства рассмотреть, например, пространство непрерывных функций.
6. Измеримое пространство (С,Я(С)). Пусть Т=[О, 1! пространство непрерывных функций х=(х~), 0<1<1. Относительно !аа Гл. и. мАтемАтические ОснОВАния теОРии ВеРОятнОстей равномерной метрики р(х, у) =зцр ]х, -у!] это пространство является !ет метрическим. В пространстве С можно ввести две а-алгебры: М(С)— а-алгебру, порожденную цилиндрическими множествами, и а-алгебру Яе(С), порожденную овгкры!ными (в метрике р(х, у)) множествамн. Покажем, что на самом деле обе эти а-алгебры совпадают: Я(С) = Мо(С).
Пусть В =(х: х!, < Ь) — некоторое цилиндрическое множество. Нетруд- но убедиться, что это множество является открытым. Отсюда вытекает, что (х: х!, <Ь|, ..., х!„<Ь,]ЕЯо(С) и, значит, Я(С) сЯа(С). Обратно, рассмотрим множество Вр —— (у: у е 5р(хо)], где ха есть неко- торая функция из С и 5 (ха)=(хе С: зцр [х! — хо[< р) — открытая сфера !ет с центром в хе. В силу непрерывности функций из С Вр — — (УСС: уе5р(х ))=(уЕС: !пах [у! — х,[<р)= =П(УЕС: [у!,— ф<р)ЕМ(С), (17) !, где (л — рациональные точки отрезка [О, 1].
Поэтому Мо(С) С Я(С). Пространство (С, Яо(С), р) является польским, т. е. полным и сепара- бельным; [8], [87]. 7. Измеримое пространство (О, М(0)), где 0 — пространство функ- ций х = (х,), ! Е [О, 1], являющихся непрерывными справа (х! = х!,) для всех ( < 1 и имеющих пределы слева (в любой точке ! > 0). Так же, как и в случае пространства С, в Р можно задать метрику д =д(х, у) так, что в-алгебра Ма(0), порожденная открытыми множе- ствами, будет совпадать с в-алгеброй Я(0), порожденной цилиндриче- скими множествами. При этом (О, Я(Р), !() станет сепарабельным прос- транством; [8], [87]. Эта метрика д = д(х, у), введенная А. В.
Скороходом, определяется следующим образом: г((х, у) = юп( (е > О: ЗЛеЙ: зцр [х! — Ули1[+ зцр [! — Л(!)[ < е), (18) ! ! где Й вЂ” множество строго возрастающих непрерывных на [О, 1] функций л=л(г) с л(о) =о, л(И=1. 8. Измеримое пространство (П й!, ]з[ .я ! . Наряду с пространсл!ет !ет твом ()гт, Я((гт)), являющимся прямым произведением Т копий числовой прямой с системой борелевских множеств, в теории вероятностей рассмат- ривают также измеримые пространства (П й,, ]а( М!, образованные Л!ЕТ !ЕТ следующим образом.
$2. АЛГЕБРЫ И и-АЛГЕБРЫ 189 Пусть Т вЂ” произвольный набор индексов и (Йы .йгг) — измеримые пространства, 1е Т. Обозначим Й= П Йг — множество всех функций ш=(ы), !Ет ! Е Т, таких, что ьч Е Йг для каждого ! 6 Т. Совокупность всех конечных объединений непересекающихся цилиндрических множеств .~П.-,Ь (В! к ... к Вк) = (ы: ын Е Вь ..., юг Е В„) где Вь Е.йгь, образует, как нетрудно показать, алгебру. Наименьшую о-алгебру, содержащую все цилиндрические множества, обозначают [8[,йг,, !ет а измеримое пространство (П Йы й)[,йгг) называют прямыл произведением измеримых пространств (Йы Яг), ! Е Т.
9. Задачи. 1. Пусть Я~ и Яз — две о-алгебры подмножеств пространства Й. Будут ли о-алгебрами системы множеств Я! й Яз = (А: А е Я! и А Е Яз), Я! ОЯзж(А: А ЕЯ! или А ЕЯ9)? 2. Пусть У =(0Б 09, ... ) — некоторое счетное разбиение Й и Я=о(У). Какова мощность о-алгебры Я? 3. Показать, что 4. Доказать, что множества (Ь) — (1) (см. п. 4) принадлежат Я()? ). 5. Доказать, что множества Ах и Аз (см. п.
5) не при~адлежат Я()? 10! ! ) 6. Доказать, что функция (18) действительно задает метрику. 7. Доказать, что Яо()?") =Я()?"), п >1, и Яе()? ) =Я(И ). 8. Пусть С = С[0, оо) — пространство непрерывных функций х =(х~), определенных для 1 > О. Показать, что относительно метрики р(х, у)=~~ 2 "гп!п [ ацр [хг — у![, 1~, х, уеС, а=1 [0<гчп зто пространство является (как и в случае С = С[0, 1]) польским, т. е. полным сепарабельным метрическим пространством, н а-алгебра Яо(С), порожденная открытыми множествами, совпадает с о-алгеброй Я(С), порожденной цилиндрическими множествами. 9. Доказать равносильность групп условий (Л,), (Ль), (Л,) и (Л,), (Ль), (Л',) (см.
с. 175). 1О. Вывести теорему 2 нз теоремы 1. !90 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 11. Доказать, что в теореме 3 система .У' является Л-системой. 12. Говорят, что !г-алгебра является счетно-порожденной илн селарабельной, если она порождается некоторым счетным классом подмножеств.
Показать, что сг-алгебра йй борелевских подмножеств й = (О, 1] является счетно-порожденной. Показать на примере, что возможна ситуация, когда две !г-алгебры у! н .йгз таковы, что йг! с,йгз, .йгз — счетно порождена, но я! такой не является. 13. Показать, что для того, чтобы !г-алгебра йт была счетно-порожденной, необходимо н достаточно, чтобы У =!г(Х) для некоторой случайной величины Х (определенне !г(Х) см. в п. 4 $4). 14. Дать пример сепарабельной !г-алгебры, у которой есть несепарабельная под-о-алгебра. 15. Показать, что Х!, Хз, ...
†независим система случайных величин (Я 4, 5), если п(Х„) и !г(Х!, ..., Х„ !) независимы прн каждом и ) !. !6. Привести пример, показывающий, что соединение двух !г-алгебр не есть !г-алгебра. 17. Пусть л4! н ляз — две независимые системы множеств, каждая нз которых является я-снстемой. Показать, что тогда н !г(л~!) н !г(лба) также независимы. Привести пример двух независимых систем л~! н л6з, не являющихся !г-снстемамн, для которых !г(л~!) н !г(хтз) уже зависимы. 18.
Пусть .У есть Л-снстема. Тогда (А, В е.9', А Г! В = !В) =~ (А с! В е Е.йг). 19. Пусть Я! н Яз — две !г-алгебры подмножеств в П. Положим д(Я!, У~)=4 зцр !Р(А!Аз) — Р(А!)Р(Аз)1 А~еУ~ АлЕУ! Показать, что эта величина, характеризующая степень зависимости между я! н .йгз, имеет следующие свойства: (а) О < д(йг!, .У~) < 1; (Ь) д(л !, Яз) = О, если и только если Я! н,ягз независимы; (с) п(Я!, Яз) = 1, если н только если пересечение Я! н,я з содержит множество, вероятность которого равна 1/2. 20. Применяя метод доказательства леммы 1, доказать существование н единственность классов Л(А') н я(еГ), содержащих систему множеств У. 21.
Пусть Аг есть некоторая алгебра множеств, обладающая тем свойством, что любая последовательность (А„)„в! непересекающихся множеств А„е АФ такова, что Д А„е Ы. Доказать, что тогда АФ является л=1 <г-алгеброй. $3. ЗАДАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР !9! 22. Пусть (Уг'„)„в~ есть возрастающая последовательность о-алгебр: у„с уг„+н н > 1. Показать, что [ ) Р„есть (вообще говоря, только лишь) «=! алгебра. 23. Пусть У' есть алгебра (нлн а-алгебра) н некоторое множество С не принадлежит лг. Рассмотрим наименьшую алгебру (соответственно а-алгебру), порожденную множествами нз л и(С). Показать, что все элементы этой алгебры (соответственно а-алгебры) состоят нз множеств виЛа (А Г! С) 0 (В Г! С), где А, В Е .э . 24.
Пусть г! =)! !1( — со) о(со) — расширенная числовая прямая. Борелевская а-алгебра йй(!г) может быть определена (ср. с определением в п. 2), как сг-алгебра, порожденная множествам [-оо, х[, х Е А', где [ — оо, х[ =(-оо) О(-оо, х]. Показать, что эта т-алгебра М()1) совпадает также с любой из а-алгебр, порожденных множествами (а) [-оо, х), хай, нлн (Ь) (х, со[, хЕЯ, нлн (с) всеми конечными интервалами н (-со) н (оо). ф 3. Способы задания вероятностных мер на измеримых пространствах 1.
Измеримое пространство (й, вэ(!г)). Пусть Р=Р(А) — вероятностная мера, определенная на борелевскнх множествах А числовой прямой. Возьмем А = ( — оо, х[ н положим Р(х) = Р( — 00, х[, х е Й. (1) Так определенная функция обладает следующими свойствами: 1) Р(х) — неубывающая функция; 2) Р( — со) = О, г(+ос) = 1, гдв р( — со) = !нп р(х), р(+ос) = !цп Г(х); «1-»« «!»« 3) г(х) непрерывна справа и имеет пределы слева в каждой точке х е В.
Первое свойство очевидно, последние два вытекают нз свойства нвареРавности вероятностной меры. Определение 1. Всякая функция Р=Р(х), удовлетворяюшая перечисленным условиям !) — 3), называется функцией распределения (на числовой прямой )т). Итак, каждой вероятностной мере Р на (й, Я(й)) соответствует (в силу (!)) некоторая функция распределения. Оказывается, что имеет место н обратное утверждение. 192 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Теорема 1. Пусть Г=Г(х) — некоторая функция распределения на числовой прямой й.
Тогда на ()г, Ю(й)) существует и притом единственная вероятностная мера Р такая, что для любых -оо < а < Ь < оо (2) Р(а, Ь] =Г(Ь) — Г(а). Доказательство. Пусть лг — алгебра множеств А нз П, являющихся конечными суммами непересекаюшихся интервалов вида (а, Ь]: л А =~~~ (аю Ьь!. э=1 Определим на этих множествах функцию множеств Ре, полагая п Ре(А)=~ [Г(Ьи) — Г(аэ)], А Еле. л=! На алгебре лг эта формула определяет по Г, н, очевидно, однозначно, конечно-аддитивную функцию множеств. Поэтому, если показать, что на этой алгебре эта функция к тому же счетно-аддитивна, то сушествованне н единственность требуемой меры Р на мг(й) будет непосредственно вытекать нз следуюцгего общего результата теории меры (прнводнмого здесь без доказательства, по поводу которого см., например, [42], [70]).
Теорема Каратеодори. Пусть й — некоторое пространство, лев алгебра его подмножеств и мг= о(лг) — наименьшая о-алгебра, содержащая ле. Пусть ре — а-конечная мера (как о-аддитивная функция множеств) на (й, л~). Тогда существует и притом единственная мера р на (й, Я), являющаяся продолжением ре, т. е. такая, что р(А) = ре(А), А Е лФ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
