А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Пусть и' — некоторая к-система множеств из Р' и меры Р и 0 совпадают на множествах из и'. Тогда эти меры совпадают и на о-алгебре о(е'). В частности, если л)г есть алгебра и меры Р и 0 совпадают на ее множествах, то они совпадают и на множествах из о(лг). Доказательство. Воспользуемся принципом подходящих множеств, беря в качестве таковых множества 2' = (А Е о(в): Р(А) = 0(А)). Ясно, что П с.йь. Если А ЕЖ то, очевидно, и А е.йь, поскольку Р(А) = = ! — Р(А) = ! — 0(А) =0(А). Если А(, Аз, ...
есть система непересекающихся множеств в .У, тогда в силу счетной аддитивности мер Р и0 Р (( / А ) т Р(А„) = т О(А„) = О (() А,) . Тем самым выполнены свойства (Л,), (Л'), (Л,'), и, значит, .У является Л-системой. По условию леммы и С .Р и еГ является к-системой. Тогда из утверждения с) теоремы 2 следует, что о(лг) с.к. В силу же самого определения подходящих множеств зто свойство и означает, что меры Р и 0 совпадают на (г-алгебре о(В'). С! Лемма 4.
Пусть л4Б л((2, ..., л4 — независимые (относительно меры Р) алгебры событий. Тогда относительно этоймеры будут независимы и о-алгебры о(лФ~), о(л4), .", о(Ф ). Доказательство. Отметим прежде всего, что в общих вероятностных моделях независимость множеств и систем множеств (алгебр, о-алгебр, ...) определяется точно так же, как и в злементарной теории вероятностей (см. определения 2 — 5 в $3 гл. !).
Пусть Аз, ..., А„— множества из л42, ..., лг„соответственно и л и =(Аб (н): Р(А~~А о. пА )=Р(А) и Р(( )). (3) Покажем, что .2; является Л-системой. Ясно, что й е К т. е. выполнено свойство (Л,). Пусть А и В принадлежат.(~ и А сВ. Тогда поскольку ь Р(АГ(А) Г)...ПА„)=Р(А) П Р(Аь) а=2 178 ГЛ. П.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Р(вйА,й...йА„)=Р(в) П Р(А,), то, вычитая из второго соотношения первое, находим, что л Р((В~А)йА1й...йА«)=Р(В 1А) П Р(А») Значит, выполнено свойство (Л»). Наконец, если множества В» ее(л4~), й>), н В»1В, то В»йА»й...йА„1вйАзй...йА„. Поэтомувсилунепре- рывности сверху вероятности Р (см. теорему в $ )) из Р(В»йАзй ... л ... йА„) =Р(В») П Р(А;) предельным переходом (й- со) находим, что 1=2 Р(В й А2 й... й А«) = Р(в) П Р(А;), 1=2 т. е.
выполнено свойство (Л,). Таким образом, система .91 является Л-системой н .й;1 Э л~~. Применяя утверждение с) нз теоремы 2, находим, что 91 ~ в(л4). Тем самым показано, что системы в(л~~), .с~з, ..., ~4 являются независимыми. Проводя аналогичные рассмотрения для системы л42, ..., лФ„, в(л~~) приходим к тому, что независимыми будут н системы в(л4), .аез, ..., »2„, а(л4), нлн, равносильно, системы л6, ..., л4, в(л~~), о(»62). Продолжая этот процесс, приходим к независимости системы, состоящей нз в-алгебр о(л4~), в(л42), ..., о(л4). П Замечание 4. Проанализируем еще раз, что же нужно требовать от системы множеств, чтобы она образовывала о-алгебру.
С этой целью будем говорить, что система множеств в является я'-системой, если она замкнута относительно взятия счетного пересечения: А1, А2," ЕУ =» П А Ев' «=1 Тогда нз определения т-алгебры следует, что если некоторая алгебра е' является в то же самое время и я'-системой, то она будет н о-алгеброй. Подход же, основанный на понятии «я-Л-система», несколько иной. Здесь мы отправляемся не от понятия «алгебра», а от понятия «Л-система».
И, как следует нз утверждения а) теоремы 2, если эта Л-система является в то же самое время я-системой, то она будет н о-алгеброй. Ясно, в чем состоит разница в этих подходах. $2. АЛГЕБРЫ И «-АЛГЕБРЫ 179 Когда мы проверяем, что некоторая система является о-алгеброй, начиная при этом с проверки того, что эта система является алгеброй, это означает, что мы делаем эту проверку, привлекая к рассмотрению лишь конечные суммы (или пересечения) множеств. «Счетность» (а именно в ней-то «все дело») возникает тогда, когда мы осуществляем проверку того, что эта система множеств является также и к*-системой. При «Л-я-подходе» проверку свойства, что интересуюшая нас система множеств является о-алгеброй, мы начинаем прежде всего с установления того, что эта система является Л-системой, свойства (Л,) или (Л,') которой связаны уже со «счетными» операциями. Зато на втором этапе — при проверке того, что эта система является я-системой, — мы оперируем лишь с конечными пересечениями или суммами множеств.
Завершим изложение результатов о «монотонных классах» приведением одной нз их функциональных версий. (Примером применения может служить доказательство леммы теоремы 1 в $2 гл. !7!11.) Теорема 3. Пусть в есть я-система множеств из Я и»с'— совокупность тех действительнозначных У-измеримых функций, для которых выполнены следующие свойства: (61) если А Е в, то функция 1л Е М»; (ьэ) если 7'е.гс, ь ем», то 7*+ д е ж и с7 е.гс для всякого действительного числа с; (йз) если функции Ь„ЕЯ:, и > 1, 0(Ь„Т Ь, то Ь Е Я'. Тогда класс М' содержит и все ограниченные функции, являющиеся измеримыми относительно т-алгебры о(е). Доказательство. Пусть .в»=(А е.йг: lл еЯ'). Из (й|) следует, что «7С.!с. Но система.2» в силу (Ьз) и (йз) является (задача 11) Л-системой.
Поэтому, согласно утверждению с) теоремы 2, находим, что о(в') С.Р. Таким образом, если А ее(в ), то функция (л е М'. По свойству (Ь2) отсюда вытекает, что все простые функции (т. е. функции, являющиеся конечными линейными комбинациями функций вида )л,, где А; Е о(в)) тоже принадлежат классу ге. Наконец„в силу свойства (Ь;) получаем, что и всякая ограниченная о(ег)-измеримая функция принадлежит классу Зс'. С! Замечание 5. Пусть ХИ ..., Մ— случайные величины на (П, Я), Я» = =о(ХИ ..., Х,) и 7' = )(ы) — Уг»-измеримая функция. Тогда найдется такая борелевская функция р = р(хп ..., х„), что 7(ы) = р(Х~ («7), „Х„(ы)).
Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться теоремой 3, беря в качестве подходящего множества функций М' множество неотРицательных боРелевских фУнкций г" = г(хп ..., х„) и в качестве множества в' совокупность множеств «7 = (ы: Х~(ы) ( хм ..., Х«(ы) ( х„; х; Е р„! = 1, ..., п). !80 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Применяя теорему 3, получаем, что всякая неотрицательная Ргх-измеримая функция /= !(ь!) представлена в виде Дь!) =Ь(Х!(ь!), ..., Х„(!е)). Общий случай (не обязательно отрнцательных) функций ! сводится к рассмотренному предварительным переходом к представлению ! = !+ — Т Перейдем к рассмотрению наиболее важных для теории вероятностей измеримых пространств (й, Я).
2. Измеримое пространство ()т, М()г)). Пусть )г =(-со, со) — действительная прямая н (а, Ь) =(хЕ)т' а<х<Ь) А ел~, если А=~~,(а!, Ь!|, а<ос. Нетрудно проверить, что эта система множеств, в которую мы включаем также н пустое множество Е!, образует алгебру, которая, однако, не является а-алгеброй, поскольку если А„ = (О, ! — !/п] е лФ, то Ц А„= (О, 1) (е л~.
и Пусть йх()т) — наименьшая а-алгебра а(лФ), содержащая систему лФ. Эта а-алгебра, играющая важную роль в математическом анализе, называется борелевской алгеброй множеств числовой прямой, а ее множества — борелевскими. Если обозначить через .Ф систему интервалов I вида (а, Ь], а через а(,У) — наименьшую !г-алгебру, содержащую .Ф, то нетрудно проверить, что а(,г) будет совпадать с борелевской алгеброй. Иначе говоря, к боре- левской алгебре можно прийти от системы .!х, минуя обращение к алгебре ьФ, поскольку а(.Ф) ч а(а(.я )).
Заметим, что (а, Ь)=Ц (а,Ь вЂ” -), а<Ь, и=! ()=П [а, Ь)=П (а — —,Ь|, а<Ь, а=! (а- —, а|. и=! для всех — со <а<Ь <оо. Условимся под интервалом (а, со) понимать интервал (а, оо). (Это соглашение необходимо для того, чтобы дополнение до интервала (-оо, Ь) было интервалом того же вида, т.
е. открытым слева н замкнутым справа.) Обозначнм через х!Г систему множеств в )т, состоящую нз конечных сумм непересекающихся интервалов вида (а, Ь]: $2. АЛГЕБРЫ И р-АЛГЕБРЫ !8! Тем самым в борелевскую алгебру наряду с интервалами вида (а, Ь] входят одноточечные множества (а), а также любое из шести множеств (а, Ь), ]а, Ь], ]а, Ь), (-оо, Ь), (-оо, Ь], (а, оо). (4) Отметим также, что при конструировании борелевской алгебры М(В) можно было бы отправляться не от интервалов вида (а, Ь], а от любого из шести указанных интервалов, поскольку все наименьшие о-алгебры, порожденные системами множеств в В, состоящими из конечных сумм непересекающихся интервалов одного и того же типа из (4), совпадают с о.-алгеброй Я(/Г) Иногда приходится иметь дело с о-алгеброй М(В) множеств на расширенной числовой прямой /1 =]-оо, оо].
Так называют наименьшую о-алгебру, порожденную системами множеств в В, состоящими из конечных сумм непересекающихся интервалов вида (а, Ь] = (х Е В: а < х < Ь), -со < а < Ь < оо, где под (-оо, Ь] понимается множество (х ЕВ: -со <х < Ь). Замечание 1. Для измеримого пространства (В, М(/1)) часто используются также обозначения (В, М), (й', Я~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
