А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Глава Н МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ $1. Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов. Аксиоматика Колмогорова . !61 $2. Алгебры и о-алгебры. Измеримые пространства 171 $3. Способы задания вероятностных мер на измеримых пространствах 19! $4. Случайные величины.! 214 $5. Случайные элементы 221 96. Интеграл Лебега. Математическое ожидание... 226 9 8. Случайные величины. В . $ 9. Построение процесса с заданными конечномерными распределениями . 314 Э 10. Разные виды сходнмости последовательностей случайных величин 324 $1!.
Гильбертово пространство случайных величин с конечным вторым моментом . 338 $12. Характеристические функции . й !3. Гауссовские системы . 352 380 $7. Условные вероятности и условные математические ожидания относительно о-алгебр. 266 Теория вероятностей как математическая дисииплина может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия и алгебра. что означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти соотношения должны подчиняться, все дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений.
А. Н. Колмогоров. «Основные понятия теории вероятностей» [321 ф 1. Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов. Аксиоматика Колмогорова 1. Введенные в предшествующей главе модели позволили нам дать вероятностно-статистическое описание тех экспериментов, число исходов которых конечно. Так, тройка (й, мх, Р) с й = (со: из = (ам ..., а„), ас = О, Ц, лг =(А: А Сй) и Р((ш)) = рЕ шс7" ~ "— это модель эксперимента, состоящего в и-кратном «незавнснмом» подбрасывании монеты с вероятностью выпадання «герба», равной р.
В этой модели число А7(й) всех исходов, т. е. число точек множества Й, конечно и равно 2". Зададимся теперь вопросом о построении вероятностной модели для эксперимента, состоящего в бесконечном «незавнснмом» подбрасывании монеты с вероятностью выпадання «герба», на каждом шаге равной р. В качестве множества исходов естественно взять множество й=(иг: ш=(ан аз, ...), а; =О, 1), т.е. пространство всех последовательностей из = (ан аз, ...), элементы которых принимают два значения О нлн 1.
Чему равна мощность А7(й) множества й? Хорошо известно, что всякое число ае [О, 1) может быть однозначно разложено в (содержащую бесконечное число нулей) двоичную дробь а ьь — ' + — 2 + ... (а; = О, ! ). а~ аз 2 22 Отсюда можно вывести, что между точками й множества из и точками а множества (О, 1) существует взаимно однозначное соответствие, а значит, мощность множества й равна мощности континуума.
Таким образом, если желать строить вероятностные модели, опнсывающне эксперименты типа бесконечного подбрасывания монеты, то прнходится привлекать к рассмотрению пространства Й довольно сложной природы. б — 9727 !62 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Попытаемся теперь понять, как разумно следовало бы задавать (при- писывать) вероятности в модели бесконечного числа «независимых» под- брасываний «правильной» (р =а = 1/2) монеты. Поскольку в качестве й можно взять множество [О, 1), то интересу- ющая нас задача может рассматриваться как задача о значениях веро- ятностей в модели «случайного выбора точки из множества [О, !)».
Из соображений симметрии ясно, что все исходы должны быть «равновоз- можными». Но множество [О, !) несчетно, и если считать, что его ве- роятность равна единице, то получается, что «вес» р(ы) каждого исхода ы Е [О, 1) непременно должен быть равен нулю. Однако из такого способа задания вероятностей (р(м) =О, ы Е [О, !)) мало что следует. Дело в том, что обычно мы интересуемся не тем, с какой вероятностью произойдет тот или иной исход, а тем, какова вероятность того, что исход эксперимента будет принадлежать тому илн иному заданному множеству исходов (собы- тию) А.
В элементарной теории вероятностей по «весам» р(ш) можно было найти вероятность Р(А) события А: Р(А) = 2 р(ы). В рассматриваемом иел сейчас случае прн р(ю) =О, щ Е [О, 1), мы не можем определить, например, вероятность того, что «случайно выбранная точка нз [О, ! )» будет принад- лежать множеству [О, 1/2). В то же самое время интуитивно ясно, что эта вероятность должна была бы быть равной 1/2.
Эти замечания подсказывают, что при построении вероятностных моде- [ лей в случае несчетных пространств й вероятности надо задавать не для отдельных исходов, а для некоторых множеств из й. Та же аргументация, ', что и в первой главе, показывает, что запас множеств, на которых задается вероятность, должен быть замкнутым относительно взятия объединения, пересечения и дополнения.
В связи с этим полезно следующее Определение 1. Пусть й — некоторое множество точек ш. Система ьФ подмножеств й называется алгеброй, если а) йЕ»Ф, Ь) А, В ЕлФ =Ь АС1В ЕЫ, АГ!ВЕлг, с) А Е~Ф ~ А ЕлФ. (Заметим, что в условии Ь) достаточно требовать лишь, чтобы либо АС1ВЕлЕ, либо АПВЕ~Ф, поскольку АЦВ=АПВ, А ПВ =А и В ) Для формулировки понятия вероятностной модели нам необходимо Определение 2.
Пусть лФ вЂ” алгебра подмножеств П. Функция мно- жеств р=р(А), А Ел~, принимающая значения в [О, оо], называется конечно-аддитивной мерой, заданной на Ы, если для любых двух непе- ресекающихся множеств А н В из лг р(А + В) = р(А) + р(В). й !. АКСИОМАТИКА КОЛМОГОРОВА !бз Конечно-аддитнвная мера !! с гл(й) <оо называется конечной, а в !чае !»(й) = 1 — конечно-аддитивной вероятностной мерой или конечно-аддитивной вероятностью.
2. Дадим теперь определение вероятностной модели (в расширенном смысле) экспериментов с исходами («явленнямн») нз множества й. Определение 3. Совокупность объектов (й, ьФ, Р), где а) й — мноэкество точек ш; Ь) ~Ф вЂ” алгебра подмножеств й; с) Р— конечно-аддитивная вероятность на лФ, называется вероятностной моделью, вероятностной «теорией» (экснеримента) в расширенном смысле.
Оказывается, однако, что лля построения плодотворной математиче- ской теории эта вероятностная модель является слишком широкой. Поэто- му приходится вводить ограничения как на классы рассматриваемых под- множеств множества й, так н на классы допустимых вероятностных мер. Определение 4. Система Я подмножеств й называется о-алгеброй, если она является алгеброй н, кроме того, выполнено следуюшее свойство (усиление свойства Ь) из определения 1): Ь*) если А„е.йг, и = 1, 2, ..., то 0А„~Х, П А„~Х (прн этом достаточно требовать, чтобы либо ( ) А„е У', либо П А„е Я).
Определение 5. Пространство й вместе с о-алгеброй его подмно- жеств Я называется измеримым пространством н обозначается (й, эг). Определение 6. Конечно-адднтивная мера !!, заданная на алгебре л~ подмножеств множества й, называется счетно-аддитивной (и-адди- тивной) нлн просто мерой, если для любых попарно непересекаюшихся множеств А!, Аз, ... нз А таких, что 2 А„ел», л=! и (~~ А„~( лл ~ !!(А,). / Мера !» называется о-конечной, если пространство й можно представить в виде й = ~ йл, йл Е Л~' л=! с и(й„) < оо, н =1, 2, !64 ГЛ.
!!. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Мера (подчеркнем — счетно-аддитивная мера) Р на алгебре л~', удовлетворяющая условию Р(й) =1, будет называться вероятностной мерой или вероятностью (определенной на множествах алгебры хе). Остановимся на некоторых свойствах вероятностных мер. Если Е! — пустое множество, то Р(а!) = О. Если А, В е лФ, !но Р(А ыВ) = Р(А) + Р(В) — Р(А пВ). Если А, В Еле и ВСА, то Р(В) < Р(А). Если А„Е хФ, н = 1, 2, ..., и ( ) А, Е л~, то Р(А! С!АзО ...) (Р(А!)+Р(Аз)+ ...
Первые три свойства очевидны. Для доказательства последнего доста- точно заметить, что () Ал = 2 Вл, где В! =А!, Вл =А, й...ОАл ! ОАл, л=! л ! н>2, В; ПВ; =и!, ! ф г, и, значит, I ° I ОО Р~Д Ал) — Р~~~' Вл) -~ Р(Вл) ~ ~~ Р(Ал). л=! л=! л=! л=! Приводимая ниже теорема, имеющая многочисленные применения, данг условия, при которых конечно-аддитивная функция множеств является в то же самое время и счетно-аддитивной. Теорема. Пусть Р— конечно-аддитивная функция множеств, заданная на алгебре л~, с Р(й) = 1.
Тогда следующие четыре условия эквивалентны: 1) Р а-аддитивна (Р— вероятность); 2) Р непрерывна сверху, т е. для любых множеств А !, Ат, ... Е лФ таких, что Ал САл+н (.) А„Еле, л=! )пп Р(Ал) =Р(Ц А„ 3) Р непрерывна снизу, т. е. для любых множеств А!, Ат, ... Е лФ таких, что А„2А,+!, Д А, Е лг, л=! !пп Р(А„)=Р(П А„ 1.л=! й !. АКСИОМАТИКА КОЛМОГОРОВА 4) Р нелрерывнав «нуле»,т.е.
длллюбыхмножествА!,Аз, ...Ел» таких, что А„+! СА„, П А„=!В, л=! 1нп Р(А„) =О. Доказательство. !) ~ 2). Поскольку Ц А =А!+(Аз~А!)+(Аз~Аз)+" »=! то Р(Ц А. =Р(А!)+Р(Аз~А!)+Р(Аз~Аз)+" = !~»=! =Р(А!)+Р(Аз) — Р(А!)+Р(Аз) — Р(Аз)+...=1нп Р(А„). 2) =ь 3). Пусть и > 1, тогда Р(А„)=Р(А!'1(А! ~А„))=Р(А!) — Р(А! ~А„). Последовательность множеств (А! ~А„)„з! является неубывающей (см. таблицу на с. 167) и Ц (А! ~А„) =А! ~ П А.. л=! »=! Тогда в силу 2) )нп Р(А! ~А»)=Р(Ц(А! ~А«) и, значит, 11п! Р(А») = Р(А!) — 1!гп Р(А! ~А») = =Р(А!) Р(0(А! ~А") ~ =Р(А!) — Р А! ~ П А„ / з, »=! =Р(А!) — Р(А!)+Р(п А =Р П А У 3) =ь 4). Очевидно. !66 ГЛ.
и, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 4) ~ 1). Пусть множества Ан Агь ... е лФ попарно не пересекаются и ~ А„Ем/. Тогда А=! Р ~ А; =Р ~~ А1 +Р ~ А; и поскольку ~ А1зю, и- оо,то 1=»+ ! ОО А / л Р(А;)=!пп ~ Р(А;)=1пп Р~~ А; 1=! !=! 1=! =Пт[Р(Т А,) — Р(к А,!)]= Р(! А) — Р Р(! А) Р(Х А). О 3. Теперь можно сформулировать ставшую общепринятой систему аксиом Колмогорова, лежащих в основе построения вероятностных моделей экспериментов с исходами (явлениями) из множества й. Основное определение.
Набор объектов (й, эг, Р)„ где а) й — множество точек ОА, Ь) йг — т-алгебра подмножеств й, с) Р— вероятность на йг, называется вероятностной моделью (эксперимента) или вероятностным пространством. При этом пространство искодов й называется пространством элементарнык событий, множества А из Р' — событиями, а Р(А) — вероятностью события А. Из данного определения видно, что аксиоматнка теории вероятностей существенно опирается на аппарат теории множеств и теории меры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
