А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Мартингалы. Некоторые применения к случайному блужданию 1. Рассмотренные выше бернуллиевские величины ~ь ..., с„образовывали последовательность независимых случайных величин. В этом и следующем параграфах будут введены два важных класса зависимых случайных величин, образующих мартикгал и марковскую цель. » ! ! МАРТИНГАЛЫ.
ПРИМЕНЕНИЯ К СЛУЧАЙНОМУ БЛУЖДАНИЮ !29 Теория мартингалов будет детально излагаться в гл. УП. Сейчас же бу- дут даны лишь некоторые определения, доказана одна теорема о сохране- нии мартингального свойства для моментов остановки и дано ее примене- ние к выводу так называемой теоремы о баллотировке. В свою очередь эта последняя теорема будет использована для иного доказательства утвер- ждения (б) 2 10, полученного выше с применением принципа отражения. 2.
Пусть (П, лУ, Р) — конечное вероятностное пространство,У| ~ Уз ~ 4 „.с У„ — некоторая последовательность разбиений. Определение 1. Последовательность случайных величин С = (С») ~ <»<„ называется марпгингалом (относительно разбиений У~ «У»с... 4У„), если: Ц с» являются У»-измеримыми, 2) Е(4»+ 5 ! У») = ~», 1 < й < и — 1. Чтобы подчеркнуть, относительно какой системы разбиений случай- ные величины С = (Сп ..., С„) образуют мартингал, будем использовать так- же запись 4=(с» У»)1<»к., (Ц часто опуская для простоты обозначений указание на то, что 1 < й < а. В том случае, когда разбиения У» порождаются случайными величинами Сп ..., С», т.
е. вместо того, чтобы говорить, что с =(с», У») — мартингал, будем просто говорить, что сама последовательность с = (с») образует мартингал. Остановимся на некоторых примерах мартингалов. Пример 1. Пусть пп ..., и„— независимые бернуллиевские случайные величины с Р(П,=Ц=Р(П»=-Ц= 1/2. 5»=п5+ .. +7)» и У»=У».:.м . Заметим, что структура разбиений У» проста: У, = (О+, О ), где О+ =(ю: гд =+Ц, 0 =(ы: пд = -Ц; Уз = (О++, О+, 0 +, 0 где О++ =(ьм г)5 =+1, из =+Ц, ..., 0 =(ю: гь =-1, пз = — Ц; и т. д. Нетрудно понять также, что У„,, ч, = Уз,,...,з, Покажем, что последовательность (5М У»)5<»<„образует мартингал. 5 згзт ГЛ. 1.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 130 Величины 5» являются У»-измеримымн н в силу (12), (18) и (24) $8 Е(5»т~ (У») = Е(5»+ т!».„т ! У») = Е(5» / У») + Е(т)»т! ! У») = 5»+ Ет)»»~ = 5», что и есть требуемое мартингальное свойство. Если положить 5е = 0 и взять У11=(й) — тривиальное разбиение, то последовательность (5ы У»)е<»<„также будет мартингалом. Пример 2. Пусть ть...
т1„— независимые бернуллиевские случайные величины с Р(т!1 = Ц = р, Р(т); = — 1) =д, если р з»д, то каждая из последовательностей С =Щ) с тй хз~ Е»= ~-), с»=5» — й(р — д), где 5» —- т!т+...+цы Р образует мартингал. Пример 3. Пусть т1 — некоторая случайная величина, У~ -к ...
~ У„и 4» = Е(т) ! У»). (2) Тогда последовательность с = (с», У»)~с»с„ образует мартннгал. В самом деле, У»-нзмеримость Е(т)! У») очевидна н, согласно (20) $8, Е((»+1/ У») = Е(Е(т)) У»+т) ! У»! = Е(т) ! У») =(». В связи с этим заметим, что если С =(С», У»)1<»<„— произвольный мартингал, то в силу формулы (20) $8 4» = Е(~»+1 ~ У») = Е [Е К»+э ~ У»+т) ! У») = Е(~»+з ~ У») =... = Е(6„~ У»).
(3) Таким образом, множество всех мартингалов с =(с», У»)1<»с„исчерпывается мартингалами вида (2). (Заметим, что в случае бесконечных последовательностей С = (4», У»)»ьт это, вообще говоря, уже не так; см. задачу б в $1 гл. ЧП.) Пример 4. Пусть ть, ..., т)„— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, 5»=т)1+ .
+т)» и Ут =Уз„, Уз=Уз„,з„„..., У„=Уз„з,. Покажем, что последовательность с= 5и 5л-~ 5п+1-» = (Р», У»)1<»С„ с Ет = †, (з = =, ..., С» = , " , Еи =51 образует и ' и — !'"' и+1 — »'"' мартингал. Во-первых, ясно, что У» < У»+~ и с» — У»-измеримы. Далее, в силу симметрии для /<и — А+1 (4) Е(т);!У») = Е(тп 1У») (ср. с (26) $8). Поэтому и-»+т (и — А+ 1) Е(т!т !У») = ~ ~Е(т)1 ) У») = Е(5„»е~ ! У») =5„».»1.
/=! «!!, МАРТИНГАЛЬЕ ПРИМЕНЕНИЯ К СЛУЧАЙНОМУ БЛУЖДАНИЮ !3! Значит 6««5" »+' =Е(г)! ~У»), и мартингальность последовательности с = (с», У») следует из примера 3. Замечание. Из установленного результата о мартннгальном свойстве последовательности с =(с», У»)!<»<„понятно, почему иногда говорят, что последовательность (5»/й)!<»к„образует обращенный мартингал. (Ср. с задачей 5 в $1 гл. «'11.) Пример 5. Пусть Пь ..., и» вЂ” независимые бернуллиевские случайные величины с РИ! =+1)= Р(п = — 1)=!/2, В»=г)!+...+г)». Пусть А и  — два целых числа, А <О<В.
Тогда для всякого О<А<к/2 последовательность с=(с», У») с.У»=Уз, з, и с» = (соз Л) ехр(!Л(В» — —.2 ) ) (5) образует комплексный мартингал (т. е. действительная и комплексная части С» — мартингалы). 3. Из определения мартингала следует, что математическое ожидание Е4» одно и то же для всех й: Ес» = Е4!. Оказывается, что это свойство остается для мартингалов справедливым, если вместо (детерминированного) момента й брать так называемые моменты остановки. Для соответствующей формулировки введем такое Определение 2.
Случайная величина т=т(ы), принимающая значения 1, 2, ..., н, будет называться моментом остановки (относительно разбиений (У») ! <»<„, У! ~ У!з ~... 4 У„), если для любого й = 1, ..., л случайные величины г1,=»!(ы) являются У»-измеримыми. Если трактовать разбиение У» как разбиение, порожденное наблюдениями за й шагов (например, У»=У„, „, — разбиение, порожденное величинами и!, ..., !)»), то У»-измеримость величины г1,=»!(ы) означает, что осуществление или неосуществление события (т = й) определяется лишь наблюдениями за й шагов (и не зависит от «будущего»).
Если Я»=о(У»), то У»-измеримость величин г1, »!(ы) эквивалентна предположению, что (т=й) Е,У». (6) С конкретными примерами моментов остановки мы уже встречались: таковыми являются моменты т", вз„, введенные в 33 9 н 1О. Эти моменты 5» ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 132 являются частным случаем моментов остановки вида т" =гп!п(0<й<н: С»ЕА), о»=пни(0<й<п: 4»ЕА), являющихся моментами (соответственно первого после нилл и аервог достижениЯ множества А некотоРой последовательностью Се, Сн ..., С,. 4.
Теорема 1. Пусть с ='(с», У»)~<»<„— мартингал и т — некоторый момент остановки относительно разбиений (У»)!<»<„. Тогда Е(4,]У!)=4н (8) где б- =~ Ы!.=»! (9) Ес, = Ес!. (1О) Доказательство (ср. с доказательством формулы (29) Э 9). Пусть Р Е Уь Тогда, пользуясь свойствами условных математических ожиданий и принимая во внимание мартингальное свойство (3), находим, что Е(4т!о) ! Е(~!Р)= Р(Р) =Р(Р) ЕЕ%(!.=л!о)= г=! = Р( ~~, Е[Е((л]У!))!т»м!!о]= Р, ~Ч~ Е[Е(4п!!'ги!!о]У!)]= г=! !=1 — Е[(д!1, Л/р] = — Е(Е,!о) = Е(~„]Р), 1 ! г=! а следовательно, е(с,]У!) =е(с„]У!) =с!. называемые тождествами Вальда (ср.
с (29) и (30) $9; см, также задачу 1 и теорему 3 в $2 гл. НИ). Используем теорему 1 для доказательства следующего утверждения. Равенство ЕС, = ЕС! следует отсюда очевидным образом. П Следствие. Длл мартингала (5ю У»)!<»<„из примера 1 и любого момента остановки т (относительно (У»)) справедливы формулы Е5,=0, Е52 =Ет, (1 1) 4 1К мАРтинГАлве пРименения к случАЙнОму елуждАни!О !33 Теорема 2 (о баллотировке). Пусть цп ..., и„— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих конечное число значений из множества (О, 1, ...), 5»=п!+" +пы 1 <А<и. Тогда Р(5» < и для всех 1 < й < и ! 5) = (1 — —" ) (12) и т=в!п(1<А<и: с»>1), полагая т =п на множестве (с»<1 для всех 1<А<и)=( вах — ' <1).
(1<~кь ! Понятно, что на этом множестве с, =4„ =5! =0 и, значит, ( п1ах — ' < 1) = ( вах — ' < 1, 5„< л) с (с = О). (13) Рассмотрим теперь те исходы, для которых одновременно 5„<л и 5~ вах — ' >1. Обозначим о=и+1 — т. Нетрудно видеть, что !<с<» о = вах(1 < й < л: 5» > й) и, значит (поскольку 5„<л), о<и, 5 >о и 5 +1<в+1. Следовательно, пь+! — — 5 +! — 5, <(о+1) — о=1, т е. и +! =О. Поэтому о<5 =5 +~ < < с + 1, а следовательно, 5 = о и 5ь+!-» и+! — т е Тем самым ( вах — ' >1,5„<л) С(с =1). Из (13) и (14) находим, что ( гпах — ' > 1, 5„<п) =(с,= 1)й(5„<л).
5! !кань ! (14) где а+=вах(а, 0), Доказательство. На множестве (ш: 5„> л) формула очевидна. Будем поэтому доказывать (12) для тех элементарных исходов, для которых 5„< л. Рассмотрим мартингал С = (4», У») !к»<„, введенный в примере 4, с С» = 5ч+!-» Ф иУ» Уз, —,.„3. Определим ГЛ. !.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 134 Поэтому на множестве (5„< п) Р(гпах — ' > 1!5„) =Р(С,= 1)5„) =Е(С )5„), где последнее равенство следует из того, что С, принимает лишь два значения: 0 или !. Заметим теперь, что Е(4, !5„) = Е(с ( У~ ) и в силу теоремы ! Е(~, ! У~ ) = =(~ — — 5„/п. Следовательно, на множестве (5„< п) Р(5» <й для всех ! <Ь<п!5„)= ! — — ". П и' Применим эту теорему для получения другого доказательства леммы ! из $10 н объясним ее название как теоремы о баллотировке. Пусть ~н ..., ф— последовательность независимых бернуллиевских случайных величин с Р(с; = ! ) = Р(с; = — 1) = 1/2, 5» = 4~ +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
