А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Пусть х — целое число из интервала [А, В], наля 0<А<я пусть 5„"= =к+ 5ы т» = пнп(0 <! < й: 5; = А или В), где условимся считать т" =й, если А <5," < В для всех 0 <1< й. Для каждого 0 <й<я и хе [А, В] момент ~», называемый моментом остановки (см. $1!), является целочисленной случайной величиной, определенной на пространстве элементарных событий й (зависимость т„" от ы явно не указывается). Ясно, что для всех 1 < й множество (ы: т" = 1) есть событие, состоящее в том, что случайное блуждание (5,"., 0 < ! < я), начинающееся в нулевой момент в точке х, выйдет из интервала (А, В) в момент 1. Понятно также, чтодля1<й множества (ш: т'=1,5,"=А) и (ш: т'=1,5;=В) имеютсмысл событий, состоящих в том, что блуждающая частица выйдет из интервала (А, В) в момент 1 в точках А и В соответственно. Обозначим для всех 0 < й < и л~»" —— ~ (ы: т» — — 1, 51 —- А), оа<» Я„= ~ (:;=1,5,"=В), О<1<» и пусть г»»(х) = Р(л~»'), В»(х) = Р(М«») — вероятности выхода частицы за время [О, й] из интервала (А, В) соответственно в точках А и В.
Для этих вероятностей можно получить рекуррентные соотношения, из которых последовательно находятся а~(х), ..., г»,(х) и В1(х), ..., !У„(х). $9. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ. ! Итак, пусть А <х<В. Ясно, что ао(х)=!!9(х) =О. Пусть теперь 1< <й<п. Тогда по формуле (3) $3 )у»(х) = Р(Я») = = Р(Я» [5, = х+ 1) Рф — 1) + Р(Я» [5, -х — !) Р((! — — ! ) = = рР(Я» [5! — — х+ 1) +дР(Я» [5", = х — 1). (3) Покажем, что Р(Я» [5! =х+!) = Р(я„"+,'), Р(я'[5" =х 1) — Р(я*-!) С этой целью заметим, что множество Я" можно представить в виде В Я» — — (ы: (х, х + 6, ..., х + (! +...
+ ~») Е В» ), где В» — множество траекторий вида (х, х+х!, ..., х+х!+...+х») о с х; = ~1, которые за время [О, й] впервые выходят из интервала (А, В) в точке В (рис. 15). с кд+! Представим множество В» в виде В» + рнс. !б. Пример траекто- +В»»'" !, где В»~~ и В»'" — те траектории рии нз множества В; из В», для которых х! =+1 и х! = — 1 соответственно. Заметим, что каждая траектория (х, х+ 1, х+ 1+ хе, ..., х+ 1+ хе+ +...+х») из В"~+ находится во взаимно однозначном соответствии с траекторией (х+1, х+1+хз, ..., х+ 1+хе+ ... +х») из В"+,'. То же справедливо и для траекторий из В'" '. Учитывая эти обстоятельства, а также независимость, одинаковую распределенность величин С!, ..., С» и формулу (6) 9 8, находим, что Р(Я»к[5~~ — — х+1) =Р(Я» [~! =1) = = Р((х, х + ( !, ..., х + 4! +...
+ 4») Е В»» [4! = 1) = = Р((х+ 1, х+ 1+(з, ..., х+ 1+(з+ ... +Я Е В»+!) = =Р((х+ 1, х+1+~!, ..., х+ 1+~!+...+('» !) Е В~+!) =Р(Я»+!). Точно так же Р(Я» [5", = х — 1) = Р(Я„",'). Таким образом, в силу (3) для х Е (А, В) и й < а (4) В»(х)= рВ» !(х+1)+цВ» !(х — !), ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ где В1(В) = 1, Д(А) = О, О < ! < л. (5) Аналогично ое(х) = роз ~(х+1)+ца» 1(х — 1) (8) о1(А) = 1, а~(В) = О, 0 < ! < и.
;3(х) = р)3(х +! ) + а9(х — 1) (7) с граничными условиями В(В) = 1, 33(А) =О, (8) получаемыми формальным предельным переходом из (4) и (5). Для решения задачи (7), (8) предположим сначала, что р Фа. Нетрудно заметить, что рассматриваемое уравнение имеет два частных решения а и Ь(а/р)", где а и Ь вЂ” константы. Будем поэтому искать обшее решение В(х) в виде В(х) =а+Ь(д/р)'. С учетом (8) находим, что для всех А < х < В (9) (! 0) Покажем, что это есть единственное решение рассматриваемой задачи. С этой целью достаточно показать, что все решения задачи (7), (8) могут быть представлены в виде (9). Пусть В(х) — некоторое решение с В(А) =О, В(В) =1.
Всегда можно найти такие константы а и Ь, что а+ Ь(г(/р)" = 33(А), а+ Ь(г)/р)л+' = В(А + 1). Поскольку ое(х) =Во(х) =О, х Е (А, В), то полученные рекуррентные соотношения можно (по крайней мере в принципе) использовать для отыскания вероятностей а1(х), ..., а„(х) и 331 (х), ..., (3„(х). Оставляя в стороне конкретное вычисление этих вероятностей, зададимся вопросом об их значениях при больших и. с этой целью заметим, что поскольку Я~ ! с Я~, й < л, то Вь 1(х) < < Вь(х) < 1.
Естественно поэтому рассчитывать (а так оно и есть, см. далее п. 3), что при достаточно больших п вероятность В„(х) близка к решению В(х) уравнения 49. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ. ! Тогда из (7) следует, что В(А + 2) = а + Б(а/р) "+т и вообще Дх) = а+ Ь(а/р)' а(х) = ра(х+1)+да(х — 1), х Е (А, В), (! 1) с граничными условиями а(А) = 1, а(В) = 0 (12) задается формулой а(х)«« ~/ /р, А<х<В. (! 3) (,„/,)в (,/р)А Если же р =в = 1/2, то единственными решениями В(х) и а(к) задач (7), (8) и (11), (12) являются соответственно к — А р(к) В(х) =— В-А (! 4)  — х а(х) = —.
В-А' (15) Заметим, что при любых 0 < р <! 0 к В Рис. !б. График В(к)— вероятности достижения точки В раньше точки О, когда частииа выходит из точки к а(х) + В(х) = 1. (16) Величины а(х) и В(х) хотелось бы назвать вероятностями разорения верного и второго игрока соответственно (когда начальный капитал первого есть х — А, а второго В -х) при неограниченном числе ходов, что, конечно, предполагает существование бесконечной последовательности независимых бернуллиевских случайных величин ~н (я, ..., где С; =+1 трактуется как выигрыш первого игрока, а с; = — ! — как его проигрыш.
Рассмотренное в начале этого параграфа веРоятностное пространство (й, яг, Р) оказывается слишком «бедным» для того, чтобы на нем существовала такая бесконечная последовательность независимых случайных величин. В дальнейшем мы увидим ($ 9 гл. П), что такую последовательность действительно можно построить и что Тем самым найденное решение (1О) есть единственное решение рассматриваемой задачи. Аналогичные рассуждения показывают, что единственное решение уравнения !!4 ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ величины В(х) и а(х) в самом деле являются вероятностями разорения при неограниченном числе шагов.
Обратимся к ряду следствий, вытекающих из полученных формул. Если положить А =О, 0<х < В, то по своему смыслу функция В(х) будет вероятностью того, что частица, вышедшая из состояния х, достигнет точки В раньше, чем точки О. Из формул (10) и (14) следует (рис. 16), что х/В, р=у =1/2, Д(х) = (е/р)" — ! (17) (, /,)в в рзьч Далее, пусть выполняется неравенство о > р, означающее, что для пер- вого игрока игра является неблагоприятной. Его предельная вероятность разорения о = о(0) задается формулой (е/р) — ! '" (/)в (/,)л. Предположим сейчас, что условия игры изменены: капиталы игроков по-прежнему равны ( — А) и В, но плата каждого игрока теперь равна 1/2, а не 1, как раньше.
Иначе говоря, пусть теперь Р(с! =1/2) = р, Р(с! = = — 1/2) =д. Обозначим в этом случае предельную вероятность разорения первого игрока через с»!7з, Тогда о, (о/р)'в — ! !Iз (ч/р)2В (е/р)зл и, значит, в+! о!7з а' ( / )в+( / )л > а если о> р. Отсюда вытекает такой вывод: если для первого игрока игра неблагоприятна (т. е. д > р), то увеличение ставки в два раза уменьшает вероятность его разорения. 3. Обратимся теперь к вопросу о том, как быстро а„(х) и В„(х) сходятся к предельным значениям а(х) и Д(х).
Будем считать для простоты х =0 и обозначим с»„= о„(0), Д, = Д,(0), у„= 1 — (о„+ Д,). Ясно, что у„= Р(А < 5» < В, 0 < й < н), где (А <5»<В, 0<й<а) обозначает событие П (А<В»<В). О<»<ь 59. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ.! Пусть л = гт, где г и т — целые числа, и С6 = (т(г-!)+! + + спп. Тогда, если С = !А~+ В, то нетрудно убедиться в том, что (А <Вь< В, 1<й<гт)С(!~!( <С, ..., 101<С), и, значит, в силу независимости величин !,!,..., С, и их одинаковой рас- пределенности Г уп(Р(!~))<С, ..., !Я<С)=п Р(!С)!<С)=(Р(ф)(С))'. (!8) Заметим, что 0С! = т[! — (р - д)з]. Поэтому при 0 < р <! для достаточно больших т РЩ <С)(е!, (19) где е! ( 1, поскольку если РЩ < С) = 1, то 0С! < Сз.
Если же р = 0 или р = 1, то для достаточно больших т вероятность Р(ф~ <С)=0, и, следовательно, (19) выполнено при всех 0< р<1. Из (18) и (! 9) следует, что для достаточно больших п 7л (е л (20) где е=е,~ <1. Согласно (!6), а+,0=1. Поэтому (а ап) + (В )'и) уп и так кака>а„,,З>Д„, то 0<а-ал< ул<е", 0 (~  — Вл <~ 'уп <~ е с с < 1. Аналогичные оценки справедливы и для разностей а(х) — ал(х) и В(х) — )ул(х). 4. Обратимся теперь к вопросу о средней длительности случайного блуждания. Пусть тп(х) = Ет' — математическое ожидание момента остановки т", й < и.
Поступая, как и при выводе рекуррентных соотношений для Вп(х), ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Нб получаем, что для х Е (А, В) тз(х) = Ет~ — — ~~~ ! Р(т~ — — !) = !<(<ь — ![рР(т~ =!)с1 = Ц+аР(тз — — !)~) = — Ц) = ~<с<о — ![рР(т'+,' =! — Ц+ЯР(т„",' =! — Ц) = !<1<1 (1+ Ц[рР(т',' = !)+ ЯР(т',' = !)] = о<~<о-1 =рте ~(х+ Ц+ото ~(х — Ц+ + " [рР(;+,'=!)+аР( „":,'=!Н= о<г<з-ю = рта ~(х+ Ц+атз 1(х — Ц+ 1. Итак, для х е (А, В) н О < й < и функции тз(х) удовлетворяют рекуррентным уравнениям тз(х)=1+ рта 1(х+ Ц+атз !(х — Ц, (2Ц где то(х) =О. Из этих уравнений вместе с граничными условиями (22) тз(А) = тз(В) = О можно последовательно найти т1(х), ..., т„(х). Поскольку тз(х) < то+ (х), то существует предел т(х)= )пп т„(х), который в силу (2Ц удовлетворяет уравнению т(х) =1+ рт(х+ Ц+дт(х — Ц (23) с граничными условиями т(А) =т(В) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
