А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Приведенные выше рассуждения показывают, что интервал Тп — —, Та+в 1 имеет надежность 1 — —. На самом деле надежность доверительного инЛ2' тервала значительно выше, что связано с тем, что использованное нера- венство Чебышева дает лишь грубую оценку вероятностей событий. Для получения более точных результатов заметим, что ы: ! — Тп! (~ Л)/ =(ин тп(Тп, и) (~В ~(пвз(Тп, а)), /в(! -в) 1 где Вч = «уь (Т„', п) и гв2 = пвэ(Т„', и) — корни квадратного уравнения Л' (В- Т„*)2»п — В(1-В), описывающего эллипс, расположенный так, как это изображено на рис.
13. Пусть теперь Рв(х)=Рв " <х ~лВ(1-В) $7. ОПЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ «УСПЕХА» В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ 99 Тогда в силу (24) 5 6 знР 1Рв" (х) — Ф(х)~ < ,/'д(1 — д) ' Поэтому, если а рпоп известно, что 0<6ь<д<1-6ь<1, где Ь вЂ” некоторая константа, то внр 1Рв(х) — Ф(х)! <— к Ьт/л и, значит, Р И (Т:, )<д<Ф9(Т„,„)) Рв 1д Т.! д(1-в) =Рв (Лв)(2Ф(Л) 1) Пусть Л* — то наименьшее Л, для которого (2Ф(Л) — 1) — — < 1 — 6*, 2 Ь,/л Ф(Л) = 1 — —.
б 2' В случае больших и можно пренебречь членом 2/Ь~/й и считать, что Л' удовлетворяет соотно- шению 6* Ф(Л') = 1 — —. 2' В частности, если Л* = 3, то 1 — 6* = 0,9973... Так что с вероятностью, примерно равной 0,9973, 1 т„. Рнс. 13. д(1 — д) , д(1 — д) л или, после итерирования и отбрасывания членов порядка 0(п ~/4), Т* — 3 "( " <д<Т' 3 л л л (8) (9) 4* где 6 — заданный уровень значимости. Обозначая 6 = 6' — —, * 2 Ь~~л ' находим, что Л* есть корень уравнения ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Отсюда следует, что доверительный интервал Т„" — —, Т„'+— (10) имеет (при больших п) надежность 0,9973 (тогда как неравенство Чебышева давало надежность лишь, примерно, равную 0,8888).
Отсюда можно сделать следующий практический вывод. Пусть производится большое число АГ серий экспериментов, в каждой из которых по л наблюдениям оценивается параметр д. Тогда примерно в 99,73 % случаев нз А( в каждой серии оценка будет отличаться от истинного значения 3 параметра не больше чем на —. (См. по этому поводу также конец $5.) 2~/а ' 3.
Задачи. 1. Пусть а рг(ог( известно, что параметр д принимает значения в тэо С С [О, 1]. Выяснить, когда существует несмещенная оценка для параметра д, принимающая значения лишь в множестве бо. 2. В условиях предыдущей задачи найти аналог неравенства Рао— Крамера и рассмотреть вопрос об эффективных оценках. 3. В условиях первой задачи рассмотреть вопрос о построении доверительных интервалов для д. 4. В дополнение к задаче 5 в $2 исследовать вопрос о несмещеиности и эффективности оценки Я, считая А( достаточно большим, Ф» М, М» и. Построить, по аналогии с доверительными интервалами для параметра д (см.
формулы (8) н (9)), доверительные интервалы [А( — а(У), Я +Ь(У)] для М такие, что Рм~,„(Я -а(Р) < А7 <й+й(й»=1-о, где а в некоторое малое число. В 8. Условные вероятности и математические ожидания относительно разбиений 1. Пусть (й, Ы, Р) — конечное вероятностное пространство и У=(0н ..., 0ь) — некоторое разбиение й (О; ехФ, Р(0;) >О, 1=1, ..., К и 0~+ ...
+ +0а=й). Пусть, далее, А — событие из л~ и Р(А[0;) — условная вероятность события А относительно события 0о 48. услОВные ВеРОятнОсти и мАтемАтические Ожиддния !о! С набором условных вероятностей (Р(А )О!), ! = 1, ..., й) можно связать случайную величину х(ю) = ~ Р(А ~ 0!)/о, (ь!) ()) г=! (ср. с (5) з 4), принимающую на атомах разбиения 0; значения р(А !0.) Чтобы подчеркнуть, что зта случайная величина связана именно с разбиением У, ее обозначают ЕР(А ~ У) = Р(А).
Действительно, поскольку (4) Р(А ) У)(ы) = ~ Р(А (О!)/о, (ы), 1=! то по определению математического ожидания (см. (5) и (6) $4) ЕР(А ) У) = ~~ Р(А ) 0!) Р(0 ) = ~~ Р(А0 ) = Р(А). г=! г=! Пусть теперь !/=г!(ь!) — случайная величина, принимающая с положительными вероятностями значения у!, ..., уь.' !/(ь!) = ~ уу/о,(ь!) ! ! Р(А! У) или Р(А )У)(ь!) и называют условной вероятностью события А относительно разбиения У, Это понятие, а также вводимые далее более общие понятия условных вероятностей относительно о-алгебр, играют важную роль в теории вероятностей, что постепенно будет раскрываться последующим изложением.
Следующие два свойства условных вероятностей очевидны: Р(А + В ! У) = Р(А ) У) + Р(В ! У); (2) если У вЂ” тривиальное разбиение, состоящее из одного множества з!, то Р(А ~У) =Р(А). (3) Определение условной вероятности Р(А ! У) как случайной величины дает возможность говорить о ее математическом ожидании, используя которое можно следующим компактным образом записать формулу полной вероятности (3) $3: ГЛ.
1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 102 где 0;=(ин п(ы)=у>). Разбиение У„=(01, ..., 0ь) называется разбиением, порождаемым случайной величиной г>. Условную вероятность Р(А ! У„) будем в дальнейшем обозначать Р(А ) ц) или Р(А (П)(ю) и называть условной вероятностью события А относительно случайной величины г>. Условимся также под Р(А>г> =у;) понимать условную вероятность Р(А >0>), где 0; =(ин г>(ы) =у>). Аналогичным образом, если п>, г>2, ..., г> — случайные величины и У„, „„ — разбиение, порожденное величинами г>>,г>з,...,г>, с атомами 0„, „аы = (ип п> (ы) = у>, г>2(ю) = уз, ..., щ„(ы) = у„Д, то Р(А ) У„,, „„) обозначается Р(А )П>, г>2, ..., и ) и называется условной вероятностью события А относительно случайных величин гд г>з " ° ° Ъз. Пример 1.
Пусть 4 и г> — две независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие каждая значения 1 и О с вероятностями р и о. Найдем для й =О, 1, 2 условную вероятность Р(А )П) события А =(ы: с + г>=й) относительно г>. С этой целью отметим сначала следующий общий полезный факт: если с и г> — две независимые случайные величины, то при Р(г>=у) >О имеем Р(С+г>=а~0=у) = Р(С+у=я). В самом деле, РК+ч=г, ч=у) РК+у=я, ч=у) ' ч-'>=' ~=~)- Р(„=у) — Р(„=у) Р(с+у= )Р(о=у) Р( +у Р(я=у Используя эту формулу, находим, что Р(А~т>Ны) =РК+г>=Цд)(ы) = =Р(с+г>= й(г>=О)11~ — о>(ы)+ Р(4+г>=й>г>= 1)1>ч — ц(ы) = =Р(с=й)/>о=о>( ~)+Р(с=й — 1)11 =ц( ).
Итак, о/(ч=о>(4, А=О, Р(Р+П=й>Ч)( )= р(1 о>( )+01>„ц( ), й=>, (Е) р(>ч=й(ы) за УСЛОВНЫЕ ВЕРОятНОСтн И МЛтЕМЛтИЧЕСКИЕ ОжндЛНИя !0З илн, что то же самое, у(1- и), й =0, Р(1+Ц=й(ц) = р(1 (т) Рг/ й=2. 2. Пусть 4=с(ь!) — случайная величина, множестве Х = (хн „, х,). ! (= ~ х;/л, А/ = (ы: х =х ), /=! и У=(Рн, Рз) — некоторое разбиение.
По- добно тому как для с по вероятностям Р(А;), /=1, ..., /, было определено математическое ожидание принимающая значения в Р( ) — ЕЕ (в) ~(з.!) Р(.!0) — -~ Е(Е!/)) (!О) ~(!) ~(!!) (9) Р( !У) Е(Е!У) Рис. 14. (! О) (см. диаграмму на рис. 14). ! Е~ = 1 х! Р(А/), (8) /=! так и с помощью условных вероятностей Р(А; ! У), / = 1, ..., /, естественно определить условное математическое ожидание случайной величи- ны с относительно разбиения У, обозначаемое Е(с ! У) или Е(с ! У)(и!), формулой Е(((У)=~ х/Р(А/!У). (9) /=! Согласно этому определению, условное математическое ожидание Е((!У)(ы) является случайной величиной, принимающей для всех эле- ментарных событий и!, принадлежащих одному и тому же атому Рп ! одно и то же значение 2 х/Р(А/!О!).
Это замечание показывает, что /=! к определению условного математического ожидания Е(с ) У) можно было бы подойти иначе. А именно, сначапа определить Е(4!О!) — условное математическое ожидание с относительно события 0; формулой ! Е(~(Р!)=~~ х/Р(А/!Р!) (= — о' ), /=! а затем положить по определению Е(~ ! У)(ч!) = ~~ Е(~ !О!)то,.
(ч!) (1 1) 1=! ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 104 Полезно отметить, что значения Е(С !О) и ЕК! У) не зависят от способа представления случайной величины с. Приводимые далее свойства условных математических ожиданий непосредственно вытекают из их определения: Е(ас+Ьг!!У)=аЕ(с!У)+ЬЕ(г!1У), а, Ь вЂ” константы; еК (и) = ее; Е(С ( У) = С, С вЂ” константа; (! 2) (13) (14) если с=(л(и!), то Е(С1У) = Р(А(У).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
