А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(15) Последнее равенство показывает, в частности, что свойства условных вероятностей можно получать непосредственно из свойств условных математических ожиданий. Следующее важное свойство обобщает формулу полной вероятности (4): Е Е(с ! У) = Ес. (! 6) Для доказательства достаточно заметить, что, согласно (4), ЕЕК!У)=Е ~~! х;Р(А !У)="! х!ЕР(А;!У)=~~ х;Р(А )=Ес. г=! Пусть У=(0!,..., Ре) — разбиение и г)=!!(!и) — некоторая случайная величина. Будем говорить,что случайная величина !) является измеримой относительно этого разбиения, или У-измерима, если У„ с У, т. е. гг=г!(!и) может быть представлена в виде г)(ь) =~~ у!)о;Ь ), (17) е(бг)(У) =г)е(с1У) Е(!))У) =г! (Е(г!!У„) =э!).
и, в частности, (18) где у; могут быть и равными. Иначе говоря, случайная величина У-измерима тогда и только тогда, когда она принимает постоянные значения на атомах разбиения У. Пример 2. Если У вЂ” тривиальное разбиение, У =(П), то величина г) будет У-измеримой в том и только том случае, если г1гя С, где С вЂ” постоянная. Всякая случайная величина г) измерима относительно разбиения У„. Предположим, что случайная величина !) является У-измеримой. Тогда йа услОВные ВеРОятнОсти и мАтемАтические Ожиддния !05 ! для доказательства (17) заметим, что если 4= ~ х;lд,, то 1=1 Д=~~ ~ х!у!/д р, и, значит, ! ь д д Ефу]У)=~~! ~) х!у!Р(А;О![У)»»~~ ~~ х;у; ~ Р(А,Р;]Р ))р„(ю)= г=! !=! г=! г=! е=! !» ! ь х;у!Р(А;Р;[О;)!р,(ш) =~ ~~ х!у;Р(А! [О!)Iр,.(ь!). (19) !=! !=! !=! !=! С другой стороны, учитывая, что Тра = Тр,.
и lр,.lр„= О, ! ~ т, получаем, ~ Ф 1 цЕфУ) = ~~~ угlр,(ы)~ ~~ х;Р(А; [У) !=! !=! г д д уг)р,(ы)~ ~~! ~~ х;Р(А;[Р ) .)р„(ь!)= !=! е=! г=! = ~~> ~~ у х1Р(А; [О!))р,. (ш), !=! г=! Е(~ [Уй) = ~ х1Р(А! ] Ут), !=! и достаточно лишь установить, что Е[Р(А! [У!!) ] У!] = Р(А! ] У!) (21) что вместе с (!9) доказывает (17). Установим еще одно важное свойство условных математических ожиданий. Пусть У! и Ут — два разбиения, причем У! 4Уз (разбиение Уз «мельче» разбиения У!). Тогда справедливо «телескопическое» свойство: Е [Е(с [ Уз) ] У! ] = Е(с [ У!). (20) Для доказательства предположим, что У =(0И, ..., О! ), Уз=(0ан ..., Рз«).
Тогда, если Е = 2 х;/др то 1=! ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ »06 Поскольку ч Р(А![Уз) =~~! Р(А! [пт,)/о„, д=! то Р(А, [п,д)Р(пад [У!) = Р(А! [пад) Л~~ Р(вдд [О!р))о~ 1.р=! л ! „,) Р(А [0 )Р(0 [0 )= — )о,,Р(А! [О!р) = Р(А! [У!), р=! что и доказывает (21). В том случае, когда разбиение У порождается случайными величинами д)!, ..., и» (У = У„, рл), условное математическое ожидание Е(С [У„, „,) будет обозначаться Е(С[г)!, ..., д)») (или Е®ц!, ..., г)»)(ь!)) и называться условным математическим ожиданием случайной величины С относительно д)!, ..., г)». Непосредственно из определения Е(с [»!) следует, что если С и и независимы, то Е(С [г)) = ЕС.
(22) Из (18) следует также, что Е(п[»)) =»1. (23) Свойство (22) допускает следующее обобщение. Пусть случайная величина С не зависит от разбиения У (т. е. для любого 0; Е У случайные величины С и го, независимы). Тогда Е(с [ У) = Ес. (24) Л Е[Р(А,[У2)[У![=~ д=! и =Е д=! =Е =Е р=! =Е )о„~ Р(А, [0„) Р(0„[0„) = !д:о„со„! Р(А/Пзд) Р(пад) Р(вз ) Р(П!р) !д:о„со,„1 йа, УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ 107 Из (20) в качестве частного случая получаем следующую полезную формулу: Е(Е(((т!н т)т) !т)~] =Е(~)т)~).
(25) Пример 3. Для случайных величин с и т), рассмотренных в примере 1, найдем Е(4+т1!т!). В силу (22) н (23) Е (С + т) ! т1) = ЕС + т) = р + т). Этот результат можно получить и отправляясь от (8): Е(С+т1(т1)=~ йр(С+т1=й(т))=р(1 — т!)+дт1+2рт1= р+т). Пример 4. Пусть Е н т! — независимые одинаково распределенные случайные величины. Тогда Е(С ! ь + т)) = Е(т) ! ь + т!) = (26) Действительно, считая для простоты, что С и т! принимают значения 1, 2, ..., т, находим, что (1 < й < т, 2 <1 < 2т) Р(4 = А, 4+ ч = 1) Р(4 = А, т1 =1 — А) РЫ+ч=1) РК+ч=1) Р(4 =Ц Р(в =1 — А) Р(в = А) Р(4 =1 — А) — р(4+ 1) — р(4 1) — Р(т) = й 16+ и = 1).
Этим доказано первое равенство в (26). Для доказательства второю достаточно заметить, что 2Е(~ )(+т)) = Е(~)~+т))+ Е(т)(~+т1) = Е(4+т)((+т)) = 6+т!. 3. Еще в $1 отмечалось, что каждому разбиению У=(РИ ..., Рз) конечного множества й соответствует алгебра гт(У) подмножеств й. Точно так же и обратно, всякая алгебра М подмножеств конечного пространства й порождается некоторым разбиением У (М= а(У)). Тем самым между алгебрами и разбиениями конечного пространства й существует взаимно однозначное соответствие.
Это обстоятельство следует иметь в виду в связи с вводимым в дальнейшем понятием условною математическою ожидания относительно специальных систем множеств, так называемых о-алгебр. В случае конечных пространств понятия алгебр и о-алгебр совпадают. При этом оказывается, что если М вЂ” некоторая алгебра, то вводимое в дальнейшем ($7 гл.
И) условное математическое ожидание Е©М) случайной величины Е относительно алгебры М просто совпадает с ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ !08 Е(с [ У) — математическим ожиданием с относительно разбиения У такого, что Я=а(У). В этом смысле в случае конечных пространств в дальнейшем мы не будем различать Е(С [йй) и Е(с [У), понимая всякий раз, что Е(С [,У) есть по определению просто Е(с [У). 4. Задачи. !. Привести пример двух случайных величин С н и, которые не являются независимыми, но для которых Е(4 [ г/) = Ес.
Показать, что дисперсия Е[~(г/)Е(6г/)[ = Е [4'7(г/)[. 4. Пусть С н и — случайные величины. Показать, что !п1 Е(г/-/(0)з l достигается на функции /'(~) =Е(г/[0. (Таким образом, оптимальной в среднеквадратнческом смысле оценкой и по С является условное математическое ожидание Е(г/[0.) б. Пусть (н ..., С„, т — независимые случайные величины, причем величины 4н ..., С„ одинаково распределены, а т принимает значения 1, 2, ..., и. Показать, что если 5 =с/+...+с, — сумма случайного числа случайных величин, то Е(5, [т) = ТЕсн 0(5, [т) = т041 Е5,=Ет Е~н 05, =Ет 0(1+От ° (Е6)~. 6.
Доказать равенство (24). (Ср. с утверждением (22).) 2. Условной дисперсией С относительно разбиения У называется случайная величина 0(С [ У) = Е [(4 — Е(С [У))э[У]. 04= ЕО(([У)+ОЕ(([У). 3. Отправляясь от (!7), доказать, что для всякой функции 7 = 7(г/) условное математическое ожидание е(с[г/) обладает следующим свойством: $9. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ.! !09 Б 9. Случайное блуждание.!. Вероятности разорения и средняя продолжительность при игре с бросанием монеты 1.
Значение установленных в $6 предельных теорем для схемы Бернулли далеко не исчерпывается тем, что они дают удобные формулы лля подсчета вероятностей Р(5, = й) и Р(А < 5, < В). Роль этих теорем состоит ~~кже и в том, что они носят универсальный характер, т. е. остаются справедливыми не только для независимых бернуллневских случайных величин (ь Сз, ..., принимающих всего лишь два значения, но и дпя величин гораздо более общей природы.
В этом смысле схема Бернулли явилась той простейшей моделью, на примере которой были подмечены многие вероятностные закономерности, присущие и гораздо более общим моделям. В настоящем н следующем параграфах будет рассмотрен ряд новых вероятностных закономерностей, подчас носящих крайне неожиданный характер. Все рассмотрения будуг вестись снова для блужданий, описываемых схемой Бернулли, хотя многие выводы остаются справедливыми и для блужданий более общего вида. 2. Рассмотрим схему Бернулли (й, лК, Р), где й =(ш: ш =(хь ..., х„), х;=Ы), лй — система всех подмножеств й и Р((ш)) = р'ь"1д" '~'">, и(ш)= .
Пусть $(ш)=х;, 1=1, ..., п. Тогда, как уже известно, к;+л 2 последовательность Сь ..., 4„является последовательностью неззвисимых бернуллиевских случайных величин, РК =1)=р, Р(6= — 1)=у, р+у=1. Положим 59 =О, 5» =4~ +... +с», 1 < й < и. Последовательность (5»)»<„ можно рассматривать как траекторию случайного блуждания некоторой «частицы», выходящей из нуля. При этом 5»+~ =5»+~»+ь т. е. если в момент й частица находится в точке 5» то в момент й + 1 она сдвигается либо на единицу вверх (с вероятностью р), либо на единицу вниз (с вероятностью д). Пусть А и  — два целых числа, А < О < В.
Одна из интересных задач, связанных с рассматриваемым случайным блужданием, состоит в исследовании вопроса о том, с какой вероятностью блуждающая частица выйдет за я шагов из интервала (А, В). Интересен также вопрос о том, с какой вероятностью выход из интервала (А, В) произойдет в точке А или в точке В.
Естественность этих вопросов становится особенно понятной, если воспользоваться следующей игровой интерпретацией. Пусть имеются лла игрока (первый и второй), у которых начальные капиталы равны 11О ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ соответственно ( — А) и В. Если С1 =+1, то будем считать, что второй игрок платит единицу капитала первому; если же С1 = -1, то, наоборот, первый платит второму. Таким образом, 5» =~, +...
+С» можно интерпретировать как величину выигрыша первого игрока у второго (если 5» < О, то этот выигрыш есть на самом деле величина проигрыша первого игрока второму) за й «ходов». В тот момент времени й <и, когда впервые 5» = В (5» =А), капитал второго (первого) игрока становится равным нулю, иначе говоря, происходит его разорение. (Если й < и, то следует считать, что игра прекращается в момент времени й, хотя само блуждание остается определенным до момента и включительно.) Прежде чем переходить к точным постановкам, введем ряд обозначений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
