А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(24) Чтобы найти решение этого уравнения, предположим сначала, что т(х) <оо, хЕ(А, В). (25) х Тогда, если р ~ а, то частное решение имеет вид — и общее решение о р (см. (9)) записывается в виде т(х) = — + а+Ьн $9. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ.! Н7 Отсюда с учетом граничных условий т(А) =т(В) =0 находим, что т(х) = — [ВВ(х) + Аа(х) — х], (26) где В(х) и а(х) определяются из формул (10) и (!3). Если же р =д = 1/2, то общее решение уравнения (23) имеет вид т(х) = а + Ьх — хз, и поскольку т(А) = т(В) = О, то т(х) = ( — х)(х — А). (27) Отсюда, в частности, вытекает, что если начальные капиталы игроков равны (В = — А), то » 5.( ) =~~~, 5«(»7)1! „=ц( ). (26) «=о Наглядный смысл величины 5,„ ясен — это есть значение случайного блуждания в момент остановки т„.
При этом, если т„ <и, то 5,„ =А или В; если же т„=п, то А <5,„<В. Докажем, что при р=о=1/2 Е5,„= О, Е5~ =Ет„. Для доказательства первого равенства заметим, что (29) (30) Е5а = ~Ч~ Е[5«71,„=«!(«7)] = ~Ч~ Е[5»/!т„=Ц(щ)]+ «=о «=о » » + ~~', е [(5« — 5»)7!..=ц(»7)] = е5» + У е [(5« -5»)!«,.=«10»)] (31) т(0) =В . Возьмем В = 10, и пусть каждый ход в игре осуществляется через 1 секунду, тогда (предельное) среднее время до разорения одного из игроков довольно велико в оно равно 100 с.
Формулы (26) и (27) были получены в предположении, что т(х) < со, х Е (А, В). Покажем теперь, что и на самом деле т(х) конечны прн всех х Е(А, В). Ограничимся рассмотрением случая х = О. Общий случай разбирается аналогичным образом. Пусть р= д =!/2. С последовательностью 5о, 5И ..., 5„и моментом остановки т„= то свяжем случайную величину 5,„= 5,„(ш), определенную следующим равенством: ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 118 где, очевидно, Е5„= О. Покажем, что Е[(5« — 5„)/1 „ц(ю)] =О.
»=О Для 0<й<п имеем (т„>й)=(А <5~ <В, ..., А <5«<В). Событие (ы: А < 51 < В, ..., А < 5«< В) может быть, очевидно, представлено в виде (м: (с1, ..., с») еА«), (32) где А« — некоторое подмножество множества ( — 1, + Ц». Иначе говоря, зто множество определяется лишь значениями случайных величин С1, ..., С» и не зависит от значений величин С»+1, ..., С„. Поскольку множество (т„= Ц = (т„> й — 1) [ (т„> Ц, Е[(5„ — 5»)/1,„-»1] = Е[5„ — 5»].
Е/1, »1 = О, что и доказывает формулу (29). Тем же методом доказывается и формула (30): Е5» = ~~~ Е5»/1,„«1 = ~~~ Е([5„+ (5» — 5„)]з/1,„»1) = «=о »=о = ~ [Е5з/1,„«1+ 2Е5„(5» — 5„)/<,„«1 + Е(5„— 5«)з/1,„»1] = «=о = Е5~ — Ч ~Е(5„— 5»)з/1,„ц = и — ~ ~(л — й) Р(т„= Ц = «=о »=О й Р(т„= Ц = Ет„. Итак, для р =д = 1/2 имеют место формулы (29), (30). В случае же произвольных р и д (р+д =1) аналогично устанавливается, что Е5,„= (р — д)Ет„, Е[5т„— тлЕЯ= 0(~ Ет„, (33) (34) где ЕС1= р — д, 0~~ =1 — (р — д)з, то оно также является множеством вида (32).
В силу независимости слу- чайных величин С1, ..., С„н в силу задачи 1О к $4 отсюда вытекает, что для любого О< А<и случайные величины 5„— 5» и /1,„»1 независимы, а значит, 49. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ. ! 1!9 С помощью полученных соотношений покажем, что 11в т„(0)= л со =т(0) < оо. Если р = д = 1/2, то в силу (30) Ет„( вах(Аз, Вз). (35) Если же равд, то из (33) гпах(1А1, В) !р-д1 (35) откуда ясно, что т(0) < оо.
Заметим также, что в случае р =д = 1/2 Етн = Е5, =А ал+В Рл+ Е(5э!1«<з„<в1(1~.=п1) и, значит, А~о„+ В94, ( Ет, (Аза„+ВтВ, + шах(А~, В ) "т„. Отсюда и из неравенств (20) следует, что математические ожидания Ет„ сходятся при л- оо к предельному значению т(0) =Азо+ ВзВ=А ° — — В ° — = )АВ! з з В з А экспоненциально быстро. Аналогичный результат справедлив и в случае р ~д: аА+ВВ экспоненциально быстро Ет„- т(0) = —. Р д 5. Задачи. 1. Показать, что в обобщение (33) и (34) справедливы следующие формулы: Е5",, =х+(р — д)Ет„", Е[5;, — т„"Е~~] =0~~ Етэ +ха.
2. Исследовать вопрос о том, к чему стремятся величины о(х), В(х) и т(х), когда уровень А з -оо. 3. Пусть в схеме Бернулли р = д =1/2. Каков порядок Е15„~ при больших и? 4. Два игрока независимым образом подбрасывают (каждый свою) симметричные монеты. Показать, что вероятность того, что у них после и подбрасываний будет одно и то же число гербов, равна 2 з" ~; (С«)з. Вывести «=о отсюда равенство ~', (С«)з = С~, (см. также задачу 4 в $2). «=о ГЛ.!. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 120 Пусть а„— тот первый момент, когда число гербов у одного игрока совпадает с числом гербов у другого (совершается и подбрасываний, а„= и+ 1, если указанного момента не сушествует).
Найти математические ожидания Е ш(п(а„, л). 2 !О. Случайное блуждание. П. Принцип отражения. Закон арксинуса !. Как и в предыдушем параграфе, будем предполагать, что 4Н ... ..., Сг„— последовательность независимых одинаково распределенных бернуллиевских случайных величин с Р(6 = Ц= р, Р(6= — 1)=Ч, 5з=6+" +Сы 1<й<2п; 50=0. Обозначим агл =ш!п(1 ~<й <2л: 5ь =0), полагая аг,=оо, если 5ьФО при всех 1<й<2л. Наглядный смысл аг„вполне понятен — зто момент первого возвращения в нуль. Свойства этого момента и будут изучаться в настояшем параграфе, при этом будет предполагаться, что рассматриваемое случайное блуждание симметрично, т.
е. р = д = 1/2. Обозначим для 0 <й<п ига = Р(52» = 0) ггз = Р(агч = 2й). Ясно, что ио = 1 и игь=Сгь 2 Ь -га Наша ближайшая цель — показать, что для 1 < а <л вероятность (гз определяется формулой ! )гь = 2аигм-н. (2) Понятно, чтодля 1<й<п (аз~ =2й)=(5~ фО, 52~0, "' 5ге-~ фО, 5га=О) и в силу симметрии ~г» = Р(5~ Ф О, ", 5гь- ~ ~ О, 5гз = 0) = =2Р(5~ >О ",5гз-~ >0,52з=О) (3) 4 (О. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ.
П (2( Назовем путем длины й последовательность чисел (5О, ..., 5») и обозначим через Е»(А) — число путей длины й, для которых выполнено свойство А. Тогда 72» = 2 ~ ( йл(5( > О, 52»-1 > О, 52» = О, 52», ( = аы„( (оттен,..,вм) ..., 52н =ай»+(+...+ай„) 2 2" = = 2Е2»(5( > О, ..., 52» ~ > О, 52» = 0) ° 2 2», (4) а — Ь Е»(5(>0, ..., 5», >О, 5»=а — Ь)= — С». й (5) Доказательство. Действительно, Е»(5( >О, ..., 5» ( >О, 5»=а — Ь)= = Е»(5( = 1, 52 > О, ..., 5» ( > О, 5» = а — Ь) = Е»(5( = 1, 5» = а — Ь)— — Е»(5(=1,5»=а — Ь; Э(,2<(<й — 1, такое, что 5;<0), (б) Иначе говоря, число положительных путей (5П 52, ..., 5»), выходящих из точки (1, 1) и заканчивающихся в точке (К а — Ь), совпадает с числом всех путей, идущих из точки (1, 1) в точку (й, а — Ь), за вычетом тех путей, которые касаются или пересекают временную ось.
*) Заметим теперь, что Е»(5( = 1, 5» = а — Ь; 3(, 2 <1 < й — 1, такое, что 5; < 0) = =Е»(5( = — 1, 5» =а — Ь), (7) т. е. число путей, идущих из точки о =(1, 1) в точку (3 = (й, а — Ь) и касающихся или пересекаюи(их временную ось, совпадает с числом всех путей, идущих из точки ив =(1, -!) в точку8=(й, а — Ь). Доказательство этого утверждения, носящего название принципа отражения, следует нз легко устанавливаемого взаимно однозначного соответствия между путями А =(5(, ..., 5„5,+и ..., 5»), соединяющими точки а и )3, ') Путь (5ь ..., 5») называется нолозснтельным (неотрицательным), если все 5; > О (5; > О); путь называется касающимся временнйй оси, если 5) >О илн 5) (О для всех ( Ц 7 < й и найдетсн такое ! ь( <», что 5~ =О, и называется нересеноющнм временную ось, если найдутся такие два момента времени! и Е что 5~ > О, а 5) < О. где суммирование распространяется по всем наборам (ай»~(, ..., ад ) с а; =х1.
Следовательно, отыскание вероятности 72» сводится к подсчету числа путей Ей»(5~ >О, ..., 52» ~ >О, 52»=0). Лемма !. Пусть а, Ь вЂ” целые неотрицательные числа, а — Ь > 0 и й = а + Ь. Тогда ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ !22 и путями В =(-5И ..., -5„5,+н ..., 5»), соединяющими точки а' и )7 (рис. 17); а — первая точка, где пути А и В обращаются в нуль. Из (6) и (7) находим 1.»(5~ >О, ..., 5» 1>0, 5»=а — Ь)= =(.»(5~ =1, 5» =а — Ь)— — (,»(5» = — 1, 5» = а — Ь) = =с,—,-с,,= —,с,, а — Ь Рис. 17.
К пРинципУ отраженна что и доказывает утверждение (8). П Возвращаясь к подсчету вероятности 72», находим, что, согласно (4) н (8) (с а = я, Ь = я — 1), и, значит, (оэл=2й)=% ФО... 521»-пФО)~(511»0, ..., 52»фО). Поэтому 72»=Р(5~ ~0, ..., 52м НФО)-Р(5~ фО, „,, 5щ-»0), 1 и, следовательно, в силу (8) для доказательства равенства 72» = вЂ и» н 2» достаточно показать, что (.2»(5~ ~ О, " , 52» Ф 0) = 7.2»(52» = 0) С этой целью заметим, что очевидным образом 12»(5 ~ ~ О, ", 52» ф 0) = 21 2»(51 > О, ", 52» > 0).
Поэтому для проверки (9) нужно лишь установить, что 27.2»(5~ > О, „,, 52» >0) =(.2»(5~ )~ О, ..., 52» ~)0) (9) (10) =27- (5 >0,...,5 — >0,5 =О) 2 2 = -2» -2»» =27.2»-~(5~ >О, ".,52»-~ =1).2 =2.2 . — Сз» ~ = — и21»-О 2»-1 2» Итак, формула (2) доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
