А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 14
Текст из файла (страница 14)
-тка<ькт (15) Ясно также, что анр (ггп)(а,Ь)~< анр 1е(1ьпК. ') — "е "Гз< внр )е((ьп)(х -тка<ь<т " ' 1(,Цт 1(,1<т к~2л 1))1<т — р (а,'ч(, ))(1 О, ()6) 1)(йл лт -т<а<ь<т где сходимость правой части к нулю следует из (15) и того известного из математического анализа факта, что т аа -«~/з (.< 1 ~ -к'/з ( "йл л-т (17) Обозначим к Ф(х)= — ~ е ')'г(й )/2л Тогда из (14) — (16) вытекает, что зир ~Р„(а, Ь] — (Ф(Ь)-Ф(а))~- О, и- со. (18) -тк кь<т Покажем сейчас, что этот результат справедлив не только для конечных Т, но и для Т = оо.
В силу (17) для заданного е > О можно найти такое ГЛ. Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 84 конечное Т = Т(е), что т -к~ '2 — е "Таах>1 — —. (19) Согласно (!8), можно найти также такое )т', что для всех и > АГ и Т = Т(е) зир ]Р„(а, Ь] — (Ф(Ь) — (Ф(а))] < 4 (20) -т<а<ь<т Отсюда и из (19) следует, что Р„( — Т, Т]>1 — —, и, значит Р„(-~, -Т]+ Р„(Т, ) < 2, где Р„( — ос, Т] = йгп Р„(5, Т] и Р„(Т, оо) = 1пп Р„(Т, 5].
Зь-оо 3!оо Таким образом, для любых -со< — Т<а<Ь< Т < со ь т Р„(а, Ь] — — ~'е 'тгдх < Р„( — Т, Т] — — ') е 'т-'г(х + ~/2~, ~/2~ -т ь + Р„(а, — Т] — — ~ е "тгь(х + Р„(Т, Ь] — — ~ е "тздх < ~/юг ~~~ т -т оо < — +Ра( — оо, — Т]+ — ~ е к ~зс(х+Ра(Т, оо)+ — ~ е к кздх< г г г г 4 2 8 8 <-+ †+ †+ . С учетом (18) отсюда легко выводится, что Р„(а, Ь] стремится к Ф(Ь) — Ф(а) равномерно по всем -со <а<Ь <со. Итак, доказана Интегральная теорема Муавра — Лапласа. Пусть 0 < р < 1, Р„(й)=СьРьд™, Р„(а, Ь]= ~~~ Р„(пР+хт/йРг)).
а<к<6 Тогда ь зцр ~Ра(а, Ь] — — Г~е "теь(х О, п- оо. (21) -оо<а<ь<оо ] " ' Л~~ С точностью до тех же самых замечаний, которые были сделаны по поводу соотношения (8) $ б, результат (21) можно на вероятностном языке $6. СХЕМА БЕРНУЛЛИ. П. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ сформулировать следующим образом; ь ацр Р(а « у~ — — 1)е " дх — О, л со. 5« — Ез«3 ! -««/2 -ьо<а<Ь<ьо Из этой формулы сразу следует, что для любых — оо < А < В < со Р(А <5«<В) — [Ф( Р) — Ф( — ~)~ -+О, л- оо.
(22) Пример. Правильная кость подбрасывается 12000 раз. Спрашивается, какова вероятность Р того, что число шестерок будет лежать в интервале (1800, 2100). Искомая вероятность равна '-(-.')'И)" !зев< »< 2! 00 Понятно, что точное вычисление этой суммы «на руках» представляет весьма трудоемкую задачу. Если же воспользоваться интегральной теоремой, то найдем, что интересующая нас вероятность Р примерно равна (л=12000, р=-, А=1800, В=2100) 1 6' 12000 — — 12000 = Ф(~Г6) — Ф( — 2~Г6) Ф(2,449) — Ф(-4,898) яз 0,992, где значения Ф(2,449) и Ф(-4,898) взяты из таблиц для функции Ф(х) (так называемой нормальной функции распределения; см.
далее п. 6). 3. Нанесем биномиальные вероятности Р„(ар+ х~/лра) (х предполагается таким, что лр+х~/арф — целое число) на график (рис. 9). Тогда локальная теорема говорит о том, что для х = о(про)ча вероятности Р„(лр+х~/ярд) хорошо «ложатся» на кривую е "Рз. «/2кл ре Рис. 9. 86 ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Интегральная же теорема говорит о том, что вероятность Р„(а, Ь] = = Р(а,/прд < 5„-пр < Ьк/йрдд) = Р(пр+ак/прд < 5„< пр+Ь,/прд) а хорошо аппроксимируется интегралом (1/~/2я) ) е " !' дх. а Обозначим Е„(х)=Р„(-со,х] (=Р( " ! <х)).
Тогда из (2!) следует, что зцр ]Е„(х) — Ф(х)]- О, п-+со. (23) -ооцк<оо знр ]Е„(х) — Ф(х)] < — <.< " ./ Рд ' (24) Важно подчеркнуть, что порядок оценки 1/,/п рд не может быть улучшен, а это означает, что аппроксимация Е„(х) с помощью функции Ф(х) может быть плохой при значениях р, близких к нулю или единице, даже при больших и. Возникает поэтому вопрос о том, а нельзя ли при малых значениях р или д найти для интересующих нас вероятностей лучшую аппроксимацию, нежели так называемая нормальная, даваемая локальной и интегральной теоремами. С этой целью заметим, что, скажем, при р = 1/2 биномиальное распределение (Р„(й)) имеет симметричную форму Рк (а) 0,3 0,2 Рк(а! 0,3 =!0 0,2 О,! О,! 0 2 4 6 8 !О 0 2 4 6 8 $0 Рнс.
!О. (рис. 10, слева). Однако при малых значениях р биномиальное распределение приобретает асимметричную форму (см. рис. 10, справа), и поэтому не приходится ожидать, что нормальная аппроксимация будет хорошей. Интересно было бы понять, насколько быспкро с ростом и происходит стремление к нулю в (2! ) и (23). Приведем результат, относящийся сюда и являющийся частным случаем так называемой теоремы Берри — Эссеена ($11 гл.
111): 87 й 6. СХЕМА БЕРНУЛЛИ. И. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 4. Оказывается, что прн малых значениях р хорошую аппроксимацию для (Р„(й)) дает так называемое пуассоновское распределение вероятностей. Пусть Р ,(й) = Сьрьд" ", й=О, 1, ..., а, О, у=а+1, а+2, ... и предположим сейчас, что р является функцией от а, р = р(п).
Теорема Пуассона. Пусть р(а)- О, а оо, причем так, что пр(п) Л, где Л > О. Тогда для любого й = О, 1, ... Р„(й)- 7гы а-+ос, (25) где Лье-л яь= —, й=0,1, ... 7г! (26) Доказательство весьма просто. Поскольку по предположению р(п) = л = — +о (-), то для любою фиксированного у =О, 1, ... и достаточно боль- а ~л)' шнх а Р„(й)=Сьрьд" ~= ( [ — +о(-)~ [1 — — +о( — )~ Но а(а — 1)...(а — у+1)[ — +о( — )~ Л 1 ь.+ !) (Л+о(1)] Л' и пь [1 — -+о(-)1 -+е л, а-+со, что н доказывает (25).
П Набор чисел (яы й=О, 1, ...) образует так называемое пуассоновское распределение вероятностей (яь>0, 2 яь=!). Отметим, что все а=о Рассматриваемые выше (днскретные) распределения были сосредоточены лишь в конечном числе точек. Пуассоновское распределение — это первый встретившийся нам пример (днскретного) распределения, сосредоточенного в счетном числе точек. Приведем слелующнй результат (Ю.
В. Прохоров), показывающий, с какой скоростью величины Р„(й) сходятся к яь прн и- оо: если 46. схемА БеРнулли. н, пРедельные теОРемы 89 Определим число л(а) из соотношения ь(а) — е ' зс(х=! — а. )г2я /л Поскольку е!) — >2е)/й, то, определяя (наименьшее целое) и из неравенства 2е~/й > й(а), (30) получим, что (31) 6. Введенная выше функция Ф(х) = — ) е ~)'г(1, )Г2я (32) участвующая в интегральной теореме Муавра — Лапласа, играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Эта функция называется нормальным или гауссовским распределением вероятностей на числовой прямой с (нормильной или гауссовской) плотностью ч)(х) = — е ' ге, х е !г ). ~/2л Мы уже встречались с (дискретными) распределениями, сосредоточенными в конечном и счетном множестве точек.
Нормальное распределение принадлежит другому важному типу (непрерывных) распределений, возникающих в теории вероятностей. Отмеченная выше его исключительная роль объясняется прежде всего тем, что при достаточно общих предположениях распределение суммы больШого числа независимых случайных Из (30) находим, что н= из(а) с пз(а)= ~ — ], гарантирует выполнение (31), где точность аппроксимации легко может быть установлена из (24). Беря с=0,02, а=0,05, находим, что на самом деле достаточно лишь 2500 наблюдений, а не 12 500, как это следовало из неравенства Чебышева. Значения й(а) находятся по таблицам.
Приведем ряд значений й(а) для некоторых значений а: а 0,50 0,3173 0,10 0,05 0,0454 0,01 0,0027 й(а) 0,675 1,000 1,645 1,960 2,000 2,576 3,000 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ величин (не обязательно бернуллиевских1) хорошо аппроксимируется нормальным распределением ($4 гл.!11). Остановимся сейчас на некоторых простейших свойствах функций 1л(х) н Ф(х), графики которых приведены рис. 11 и 12. -3 -2 -1 0 0,67 1,96 2,68 Рнс. 11.
График плотности 1л(х) нормального распределения Функция у(х) является симметричной колоколообразной кривой, убывающей с ростом (х! очень быстро: <р(1)=024!97, Р(2)=0,053991, 1о(3) = 0,004432, 1л(4) =0,000134, 1л(5) = 0,000016. Максимум этой кривой достигается в точке х = 0 н равен (2я) 1г2 ю0,399. 1 Кривая Ф(х)= — ~ е ' г2Ж быстро приближается с ростом х ~/2з. к единице: Ф(1) = 0,841345, Ф(2) = 0,977250, Ф(3) = 0,998650, Ф(4) = = 0,999968, Ф(5) = 0,999997.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
