А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Приведем еше одно доказательство этой формулы, основанное на следующем замечании. Непосредственная проверка показывает, что 1 — и21» В=и»1» 0 — из». 2» В то же самое время ясно, что (озл = 2й) = (стзл > 2(й — 1)) ~ (озл > 2Я), (о'зл > 21) = (5 ~ ~ О, ..., 52и э» 0) 9 10. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ. Н К.„(5, >0, ..., 5„>0) =С„(5„=0). (11) Равенство (10) будет доказано, если показать, что между путями А = = (5,, ..., 5зь), у которых по крайней мере одно 5; = О, и положительными путями В = (5ц ..., 5зз) можно установить взаимно однозначное соответствие.
Пусть А = (5ц ..., 5зз) — неотрицательный путь, у которого первое обращение в нуль происходит в точке а (т. е. 5, =О). Выпустим нз точки (а, 2) траекторию (на рис. 18 она обозначена штриховыми линиями) (5, + +2,5,+~+2, ...,5зз+2). Тогда путь В=(5ь ...,5, ь 5,+2, ...,5за+2) является положительным. Обратно, пусть В=(5Н ..., 5зз) — некоторый положительный путь и о — тот последний момент времени, для которого 5а = 1 (рис.
19). Тогда путь А = (5н ..., 5ю 5ье~ — 2, ..., 5е — 2) является Рис. 18. Рис. 19. неотрицательным. Из приведенных конструкций следует, что между положительнымн путями и неотрицательными путями, у которых по крайней мере одно 5; = О, существует взаимно однозначное соответствие.
Тем самым формула (10) доказана. Установим теперь справедливость равенства (11). В силу симметрии и (1О) достаточно показать, что ,(5 >0,...,5 >0)+С Д>0,...,5 >0 и 31, 1 <1 < 2й, такое, что 5! — — О) = Езз(5зз = О). Множество путей (5з» =О) можно представить в виде суммы двух множеств ~~ и мз, где Ж~ — те пути (5о, ..., 5зз), у которых только один минимум, а мз — пути, у которых минимум достигается по меньшей мере в двух точках. Пусть С~ е'4 (рис. 20) и г — точка минимума. Поставим пути С~ = =(5о, 5Н ..., 5зз) в соответствие положительный путь С*,, полученный следующим образом (рис.
21). Отразим траекторию (5о, 5Н ..., 5~) около вертикальной линии, проходящей через точку 1, и полученную траекторию ГЛ, 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ !24 сместим вправо и вверх, выпустив ее из точки (2К 0). Затем сместим начало координат в точку (й — гп). Полученная траектория С; будет положительным путем. Точно так же, если пУгь Сз Е'Яз, то тем же пРиемом емУ можно поставить в соответствие некоторый неотрицательный путь С*. Обратно, пусть С*, = (51 > О, ..., 5»» > 0) — некоторый положительный путь с 5з» =2т (см. рнс. 21).
Поставим ему в соответствие путь Сн полученный следующим образом. Пусть р — та последняя точка, где 5 р = т. Отразим (5р,..., 5з ) около вертикальной прямой х = р и сместим отраженную траекторию вниз и влево так, чтобы ее правый конец совпал с точкой (О, О). Поместим затем начало координат в левый конец полученной траектории (зто будет в точности траектория, изображенная на рис. 20). Полученный путь С! = (5о,..., 5е») имеет единственный минимум, н 5»» =О. Аналогичная конструкция, примененная к нуги (51 > О, ... ..., 5г» > 0 и 31, ! <1 < 2й, с 5; =0), приводит к пути, у которого по меньшей мере два минимума и 5г» =О. Тем самым установлено взаимно однозначное соответствие, которое и доказывает требуемый результат (11). Рис.
20. Рис. 21. Итак, равенство (9), а следовательно, и формула Тг» = из!» !! — из» = 1 = — взм И установлены. 2» Из формулы Стирлинга Поэтому 1 Отсюда следует, что математическое ожидание времени первого возвращения в нуль я л Е ш1п(ггпу„,2п)=~ 2ФР(ггв,=2Ц+2пиь,= у из!» И+2лиз„ »»и »»и является довольно-таки большим.
$10. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ. И Более того, 2 из!а 11 =со. Следовательно, предельное значениесредВ=1 него времени возвращения блуждания в нуль (при неограниченном числе шагов) равно оо. Это обстоятельство поясняет многие неожиданные свойства рассматриваемого симметричного случайного блуждания. Например, естественно было бы ожидать, что за время 2п среднее число ничьих при игре двух равносильных противников (р =г) = !/2), т.е. число тех моментов времени 1, для которых 5; = О, должно быть пропорционально 2п. Однако на самом деле среднее число ничьих имеет порядок х/2л (см.
(17) в $9 гл. ЧП). Отсюда вытекает, в частности, что, вопреки ожидаемому, <типичные» реализации блуждания (50, 5г, ..., 5,) должны иметь не синусоидальный характер (примерно половину времени частица проводит на положительной стороне и другую половину — на отрицательной), а характер длинных затяжных волн. Точная формулировка утверждения дается так называемым законом арксинуса, к изложению которого мы сейчас и приступим. 2.
Обозначим Ррлел вероятность того, что на отрезке (О, 2п] частица проводит 2й единиц времени на положительной стороне *). Лемма 2. Пусть из=[ и 0<я<а. Тогда (12) Рйв~=ийаий, йв. Доказательство. Выше было установлено, что !за=из[в 11 — ийв. Покажем, что г=! Поскольку (5йй =0) с(охи < 2й), то (5та = О) =(5йй = 0)С1(ай ~<2й) = ~~~ (5зв = О) С1(ать = 21). 1<1<В Следовательно, ирл = Р(5зв =0) = ~~ь, Р(5рл =0 азл =21) = 1«<В Р(5йв = О [айа = 21) Р(ой„ьч 21).
1<!кв *1 Мы говорим, что в интервале [гп — 1, гп! частнпн нвходитси нв положительной стороне, если по крайней мере одно нз значений 5 ~ или 5м положительно. ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 126 Но Р(52(=0!(гзл=2!)=Р(522=0)5(фО, ..., 52( (фО, 52(=0) = =Р(52(+(~2(+1+" +(22) =0!51 фО, ", 5м-(фО, 5м =0) = = Р(5м + (~Ь+1 + "+ 422) = О! 52( = 0) = = Р(с2(.ь(+... +с22 =0) = Р(52(ь 1) =О). Поэтому и22 = ~г Р(52(2 л =О) Р(азл =2!), 1<1<2 что и доказывает формулу (13). Перейдем к доказательству формулы (12).
При й = 0 и й=л ее справедливость очевидна. Пусть теперь 1 < (( < и — 1. Если частица проводит 2й моментов времени на положительной стороне, то она проходит через нуль. Пусть 2г — момент первого возвращения в нуль. Возможны два случая: когда 5( > О, ! < 2г и 5( < О, ! < 2г. Число путей, относящихся к первому случаю, равно, как нетрудно видеть, 2 !2г)2 Р2((г-г),2(л-г) = 2 2 Тзг~ 2(ь-г),2(л-г! 4 ) 2г 1 2(п-г) 1 2л Во втором случае соответствующее число путей равно 2 2' !аР~х(..).
Следовательно, для 1 < й < л — ! 2 2 1 ч Р2Д2п = 2 Х' г (2гР2((г-г),2(п-г) + 2 ~ (2гР2Д2(п-г). (14) г=) г=( Предположим, что формула Р222 =из„,и2 22 верна для и=1, ..., л — 1. Тогда из (13) и (14) находим, что 2 2 1 Р2кзл= 2изл-22 ~ 12~Из)г-2 + 2Н2)г ~Х~ (2 Нзл-2~-22 г=( г=) 1 1 = -и2„22и22+ -изьи2„-2) = изьиг — 22 С) 2 2 Пусть теперь т(2л) — число единиц времени в интервале [О, 2п], которое частица проводит на положительной стороне. Тогда лля х <! Р ( — < — < х )~= ~Х~ Р2д2п. (и: 2 <й=<л) з !О.
СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ. !! !27 Поскольку при й- со 1 ить ,/ Г то 1 р2К2л = и2ли2(л — Ь! в,/~(.-Ф) если (г - со, л — й - со Позтому 1 А (г !/2 Рздт — ~~, — [-(! — -)) — О, п- со, (Ь:2!<22Ь<к~ (го '<Я<к) откуда рздзл ) -+ О, П -л ОО. 1 г(! !72 ф(1-!) (го 2 < 2- <к) Но из соображений симметрии 1 Р2К2л + лл (го Ы) 1 йГ ! . 1 = 2я агсяп т/х — —.
Тем самым доказана следуюшая Теорема (закон арксинуса) . Вероятность того, что долл времени, проводимого частицей на положительной стороне, меньше или равна х, стремится к 2я ' агсьйп ~Д: Рзьдл — 2Я ' агсз)п ~/х. (15) (гл ~<к) Заметим, что подынтегральная функция и(() = (1(1 — 1)) !72 в интеграле Г ~~ тк'1(' — О представляет (1-образную кривую, уходяшую в бесконечность в точках ! =О и (=1. Отсюда следует, что при больших и ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 12В т.е., образно говоря, более вероятно, что доля времени, проводимого ча- стицей на положительной стороне, будет близка к нулю (или единице), нежели к естественно ожидаемому значению 1/2.
Пользуясь таблицами арксинуса и тем обстоятельством, что на самом деле скорость сходимости в (15) очень быстрая, находим, что Р ( ~— < 0,65) = 0,6. Таким образом, если рассматривается временной интервал [О, 1000], то вполне может случиться, что примерно в одном случае из десяти частица будет проводить всего 24 единицы времени на положительной стороне, но большую часть времени — 976 единиц — на отрицательной стороне. 3.
Задачи. !. С какой скоростью Е т1п(аа,, 2п) — со при п- оо? 2. Пусть т„=пни(1 <й<п: 5»= Ц и т„=со, если 5»<! при всех 1<а<а. К чему стремится Е тт(т„, п) при п-+оо для симметричного ( р = а = 1/2) и несимметричного ( р ф д) блужданий? 3. Основываясь на идеях и методах $ !О, показать, что для симмет- ричного (р=а =1/2) случайного блуждания Бернулли (5ы й<п) с 5о=О, 5» = ~~ +... +С» имеют место следующие формулы (Ф вЂ” положительное целое число): Р( тах 5» ) А1, 5„< М) = Р(5„> М), Р ( тах 5» > М ) = 2Р(5, > А!) — Р(5, = М), (1<»ал Р( тах 5»=М) =Р(5„=М)+Р(5„=Ф+1). (1<»ка 9 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
