А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Замечание 2. Введем на числовой прямой В метрику ]х — у] в(, у) (эквивалентную обычной евклидовой метрике ]х — у]) и обозначим через Ма(/г) наименьшую о-алгебру, порожденную конечными суммами непересекающихся открытых множеств вида Вр(х ) =(хЕ/т: р|(х, х ) <р), р>0, х Е В. Тогда Яо(//) = М(В) (см. задачу 7). 3. Измеримое пространство (В", Я(/1")). Пусть В" = В х ... х //— прямое, нли декартово, произведение и экземпляров (копий) числовой прямой, т. е. множество упорядоченных наборов х=(хи ..., х„), где -оо < хь < оо, й = 1, ..., и. Множество / = /1 х , „х /„, где /ь = (аы Ьь], т.
е. множество (х Е/(": хь Е /ы й= 1, ..., и), назовем прямоугольником, /ь — сторонами этого прямоугольника. Через .Ф обозначим совокупность всех множеств, состоящих из конечных сумм непересекающихся прямоугольников /. Наименьшая о-алгебра о(.Ф), порожденная системой прямоугольников .К, называется борелевской алгеброй множеств в В" н обозначается М(В"). Покажем, что к этой борелевской алгебре можно было бы прийти и иначе. Наряду с прямоугольниками / =/, х... х /„рассмотрим прямоугольники В =В~ х ...
х В„с борелевскими сторонами (Вь — борелевское множество числовой прямой, стоящей на й-м месте в прямом произведении !82 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В х ... х В). Наименьшая о-алгебра, содержащая все прямоугольники с борелевскими сторонами, обозначается М(//) З...
З М(//) и называется прямым произведением о-алгебр М(В). Покажем, что на самом деле М(В") = М(В) З... З М(//). Иначе говоря, наименьшие о-алгебры, порожденные системами множеств, образованными из конечных сумм непересекающихся прямоугольников /=/, х, х/„, и системами множеств, образованными из конечных сумм непересекающихся прямоугольников В = В, х ... х В„с борелевскими сторонами, совпадают. Доказательство существенно опирается на следующее предложение. Лемма 5. Пусть в — некоторый класс множеств из й, множество В С й, и пусть по определению е/йВ=(А йВ: А Ей') и а(в йВ) — наименьшая о-алгебра подмножеств В, порожденная системой в'йВ.
Тогда (6) а(в" й В) = о(е/) й В. Доказательство. Поскольку В С о(В'), то в йВ С (в')йВ. Но о(в) й В является о-алгеброй в В, поэтому из (1) следует, что о(е' й В) С о(е/) й В. Для доказательства обратного включения снова воспользуемся принципом подходящих множеств. Обозначим Ув =(А Ео(В): АйВ Ео(е'йВ)). Поскольку о(в".) и о(в'й В) являются о-алгебрами, то 1кв также о-алгебра, причем, очевидно, ЮС~вС (~), откуда о(В) со(вв) =Ув со(ег) и, значит, о(е) =1вв.
Поэтому для каждого множества А Е о(в) АйВЕо(ФйВ) и, следовательно, о(1к) йВ Со(в'йВ). $2. АЛГЕБРЫ И «-АЛГЕБРЫ 183 доказательство совпадения а-алгебр М(й") и Я®...ооЯ. Для п=! нх совпадение очевидно. Докажем теперь, что они совпадают для п = 2. Поскольку Я(йо) С ЯЗЯ, то достаточно показать, что борелевский прямоугольник В~ х Вт принадлежит М()со). Пусть й~ = В1 х Вз, где В1 и Вт — «первая» и «вторая» действительные прямые, М~ = Я1 х йо, Ут = В~ х Яю где Я1 х йт ()(~ х Ят) есть совокупность множеств вида В~ х Вт (В~ х Вз) с В~ еЯ~ (ВтеЯо). Пусть также у, и.рт — совокупности интервалов ар~ и)(з и У~ =.Ф~ хЩ.ро=)(, х.рю Тогда, если В~ =В~ х)сю Во=В, х Въ то в силу (6) В~ х Вт = В~ ПВт ЕМ~ ОВт = в(У~) йВт = = а(.р1 П Вз) С в(.У~ П,ро) = о'(.К~ х .Фо), что и требовалось доказать.
Случай произвольного п > 2 рассматривается аналогичным образом. П Замечание. Пусть Мо(В") — наименьшая а-алгебра, порожденная системами множеств, образованными конечными суммами непересекающихся открытых «шаров» 5р(х)=(хам~: р«(к,х )<р), х ЕЙ~, р>0, в метрике р«(к, хо) =~ 2-ар,(х,, ко) где х = (хы ..., х„), х = (хо, ..., хо). Тогда Яо(тс") = М(В") (задача 7). 4.
Измеримое пространство ()(, М(В )) играет значительную роль в теории вероятностей, поскольку оно служит основой построения вероятностных моделей экспериментов с бесконечным числом шагов. Пространство )с — это пространство упорядоченнык числовых последовательностей х = (хы хть "), — оо < хя < оо, й = 1, 2, Обозначим через!я н Во соответственно интервалы (аы Ь|) и борелевскне множества я-й числовой прямой (с координатой х»). Рассмотрим !84 ГЛ. !!. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ц или ндри ческие множества .Ф(l! х ... х 1) =(х: х = (х!, хз, ...), х! Е 7!, ..., х«Е / ), (8) У(В! х ...
х В„) =(х: х = (х!, хш ...), х! Е Вь, ..., х„Е В„), (9) .Ф(В") =(х: х=(х!, ..., х„) еВ"), (1О) где В" — борелевское множество из Я()1"). Каждый из «цилиндров» .Ф(В! х ... х В„) или .Ф(В") может рассматриваться также как цилиндр с основаниями в 11"+!, 11"+з, ..., поскольку .Ф(В! х ... х В„) =.Р(В! х ...
х В„х В), Ф ( В «) ~ ( В «+ ! ) где В "+' = В" х 14. Множества, составленные из конечных сумм непересекающихся цилиндров .У(7! х ... х !'„), образуют алгебру. Точно так же алгебру образуют множества, составленные из объединений непересекающихся цилиндров .Ф(В! х ... х В„). Система цилиндров .Ф(В") также образует алгебру. Обозначим Я(В ), Я!(В ) и Яз(В ) наименьшие о-алгебры, содержащие все множества (8), (9) и (1О) соответственно.
(Часто и-алгебру Я!()1 ) обозначают Я(В)ЗЯ(14)® ...) Понятно, что Я(14 )СЯ!(В ) СЯз(В ), На самом же деле все эти три а-алгебры совпадают. Для доказательства обозначим для каждого и = 1, 2, ... 1Р„=(АС)(": (х: (х!, ...,х„)еА)еЯ(В )). Пусть В" Е Я(В„). Тогда Но м"„— и-алгебра, а значит, Я(В") Си(У„) =К. Отсюда можно сделать заключение, что Яз(В )СЯ(В ). Итак, Я(В )=Я!()(' )=Яз(В' ).
В дальнейшем множества из Я(В ) будем называть борелевскими множествами (в В ). Замечание. Пусть Яо(В") — наименьшая гг-алгебра, порожденная системами множеств, образованными конечными суммами непересекающихся открытых «шаров» Вр(х )=(хео»: р, (х, х )<р), х еВ«», р>0, $2. АЛГЕБРЫ И а-АЛГЕБРЫ )85 в метрике о) С; 2-а,(х„хб) где х=(х), хз, ...) их =(хб, хзб, ...). Тогда М(Р )=Мб(Р ) (задача 7). Приведем несколько примеров борелевских множеств в Р": (а) (хЕР: знр хл >а), (хеР: )п1хи <а); (Ь) (хЕР: !пп хи<а), (хЕР: 1нп хл >а), где, как обычно, !пп хл лл )п1 ацр х, !нп хл ле ацр !п1 х; ж>л л «Ф» (с) (х Е Р: хл - ) — множество тех х Е Р, для которых !пп х„су)цествует и конечен; (т)) (хЕР~: !пп хл >а); (е) х Е Р : 2 )х„) > а л=! л (Г) х Е Р: ~ ха = О по крайней мере для одного л > ! и=! Чтобы убедиться, например, в том, что множества из (а) входят в систему М(Р ), достаточно заметить, что (х: зир х„>а)=Ц (х: х„>а)ЕМ(Р ), (х: !п(х„<а)=( ) (х: х„<а)ЕМ(Р ).
л 5. Измеримое пространство (Рг, М(РГ)), где Т вЂ” произвольное множество. Пространство Рг — это совокупность действительных функций х =(х!), определенных для 1Е Т. ') В основном нас будет интересовать тот случай, когда Т вЂ” некоторое несчетное подмножество числовой прямой. Для простоты и определенности можно сейчас предположить, что Т = [О, со). Введем в рассмотрение три типа цилиндрических множеств: .Уг, т„(/! х ...
х 1л) =(х: х), Е!), ..., хт„Е/л), (1 !) .Аи с„(В, х ... х Вл) =(х: х!, ЕВ), ..., х!„Е В«), (!2) Ят, т„(В»)=(х: (хт„..., хт„)ЕВ'), (13) где Уа — множества вида (аа, (та), В» — борелевские множества на числовой прямой, а Вл — борелевское множество в Р". ') В аальиеашем аля функции нз йт исаа«наук»си также обозначения: «=!к!)!ет, а = (я! ), ! Е Г. 186 ГЛ. Н.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Множество Яп ь(/~ х ... хl„) есть не что иное, как множество тех функций, которые в моменты 1н ..., 1« «проходят через окна» lн ..., /„, а в остальные моменты принимают произвольные значения (рнс. 24). Обозначим через М(йг), М~(ВГ) и Мэ(й~) наименьшие сг-алгебры, содержащие все цилиндрические множества (11), (!2) н (13) соответственно. Ясно, что М(В )сМ,Р ')сМ (В '1. (14) На самом же деле все трн о-алгебры совпадают между собой. Более того, исчерпывающим образом можно описать н структуру нх множеств. Теорема 4.
Пусть Т вЂ” несчетное множество. Тогда М(йг) = =М~()1~) =Мэ(йг) и любое множество А еМ(1(г) имеет следующую структуру: найдутся не более нем снетное множество танек йн (з, ... из Т и борелевское множество В из М(11 ) такие, что А = (х: (хп, хн, ... ) е В). (15) Доказательство. Обозначим через в совокупность множеств вида (!5) (при различных наборах (сн !з, ...) н множествах В нз М(В )). Если Ан Агь ...цв н отвечающие нм наборы есть Тц! =(1~ 1, тз1, ...), т'~1 =(11 ~, (з ~, ...), то множество т! 1=Ц туо можно взять в качестве единой системы такой, что все А; будут представлены в виде А; =(х: (х„, х,, ...) Е В ), где В; — некоторые множества из (одной н той же) о-алгебры М(В' ), а т;ЕТ< Отсюда следует, что система множеств в образует о-алгебру.
Понятно, что эта о-алгебра содержит все цилиндрические множества вида (13) н, поскольку Мз(йг) есть наименьшая о-алгебра, содержащая эти множества, то вместе с (14) это дает Мрг) ся,рг) с М,(йг) с Е, (16) Рассмотрим множество А нз У, представимое в виде (15). Если зафиксировать набор (!н сэ, ...), то тогда те же рассуждения, что н в случае пространства (В, М(В )), показывают, что множество А будет элементом о-алгебры, порожденной цилиндрическими множествами (11). Но эта $2.
АЛГЕБРЫ И а-АЛГЕБРЫ !87 и алгебра, очевидно, принадлежит в-алгебре Я()гг), что вместе с (16) и доказывает оба утверждения теоремы, П Итак, любое борелевское множество А из в-алгебры Я(117) опреде- ляется ограничениями, наложенными на функции х =(х~), г е Т, не более чем в счетном числе точек Гн 12, ... Отсюда следует, в частности, что множества А~ =(х: х~ <С для всех 1Е [О, 11), Ат = (х: х~ — — О по крайней мере для одного 1 е [О, ! [), Аз =(х: х~ непрерывна в фиксированной точке 1о е [О, 1[), зависящие от <поведения» функций в несчетном числе точек, не обязаны быть борелевскими. И действительно, все три указанных множества не принадлежат Я(й)ол)). Покажем зто для множества Аь Если А, еЯ(В(о'1), то, согласно доказанной теореме, можно найти такие точки (1о, 12, ...) и множество Во еЯ()г"), что (х: знр х~ <С, (6 [О, 1[)=(х: (хбч хр, ...) ЕВо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
