А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В связи с этим полезна таблица (см. с. 167 — 168), показывающая, как различные понятия интерпретируются в теории множеств и в теории вероятностей. Примеры наиболее важных для теории вероятностей измеримых пространств и способы задания вероятностей на них будут даны в последующих двух параграфах. Замечание. При построении моделей экспериментов, призванных описывать вероятностные связи <явлений с условиями», следует (согласно замечанию в $1 гл. 1) оговаривать, при каком «комплексе условий» эти $1. АКСИОМАТИКА КОЛМОГОРОВА 167 Таблица ! Обозначения Ае уг А=а~А АОВ А г! В (или АВ) А Г1В =!о А+В А~В АЬВ () А, «=! 00 А« «=1 Интерпретация теории множеств элемент, точка множество точек «г-алгебра подмножеств множество точек дополнение множества А, т. е. множество точек ы, не входящих в А объединение множеств А и В, т.
е. множество точек ы, входящих или в А, или в В пересечение множеств А и В, т. е. множество точек ы, вхо- лящихивА,ивВ пустое множество множества А и В не пересе- каются сумма множеств, т. е. объ- единение непересекающихся множеств разность множеств А и В, т.е. множество точек, входящих в А, но не входящих в В симметрическая разность множеств, т. е. множество (А ~ В) ц (В ~ А) объединение множеств А!, Аю ..., т.е. множество точек ьь входящих или в А!, или в Аю ".
сумма, т. е. объединение попарно непересекающихся множеств А!, Аы ... Интерпретация теории вероятностей исход, элементарное событие пространство исходов, эле- ментарных событий; досто- верное событие «г-алгебра событий событие (если исход ы Е А, то говорят, что наступило собы- тие А) событие, состоящее в нена- ступлении события А событие, состоящее в том, что произошло по крайней мере одно из событий А или В событие, состоящее в том, что одновременно произо- шлонА,иВ невозможное событие события А и В несовместны (не могут наступать одновре- менно) событие, состоящее в том, что произошло одно из двух несовместных событий событие, состоящее в том, что произошло А, но не про- изошло В событие, состоящее в том, что произошло одно из со- бытий А или В, но не оба одновременно событие, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А !, Аю ".
событие, состоящее в насту- плении одного из несовмест- ных событий А !, Аз, ... 168 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Продолжение П А„ пересечение множеств Аь Ам ..., т. е. множество точек ю, входящих н в Аь и в Аы ... событие, состоящее в том, что одновременно произошли события Аь Аю ... А,(А (или А =!пп(А,) возрастающая последовательность множеств А„сходящаяся к А, т.е.
А ~ С Аз С ... СО иА=() А„ л=1 возрастающзя последовате- льность событий, сходящих- ся к событию А А,(А (или А=1йп(А„) убывающая последовательность множеств А„сходяпюяся к А, т.е. А1ЭАхЭ ... иА=() А„ л=! СО 00 множество П ~3 Аь убывающая последовательность событий, сходящихся к событию А !пп А, л (или Иго зпр А„, или (А, б. ч.)) множество исходов м, которые бесконечное число раз (бесконечно часто) встречаются в последовательности Аь Аь ." л=! Ф=х множество Ц Д А» Игп А„ л (или 1пп !п! А,) событие, состоящее в том, что произойдут все события Аь Ам ... за исключением, быть может, только конечного числа эксперименты рассматриваются.
Как правило, мы этого не делаем, придерживаясь той точки зрения, что каждый раз должно быть ясно, в чем эти «условия» заключаются. 4. Задачи. 1. Пусть й = (г: г Е [О, 1[) — множество рациональных точек на [О, 1], л~ — алгебра множеств, каждое из которых является конечной суммой непересекающихся множеств А вида (г: а <г<Ь), (г: а<г<Ь), (г: а <г<Ь), (г: а<г<Ь), и Р(А)=Ь вЂ” а.
Показать, что Р(А), А ЕФ, является конечно-аддитивной, но не счетно-аддитивной функцией множеств. 2. Пусть й — некоторое счетное множество и йг — совокупность всех его подмножеств. Положим !х(А) =О, если А конечно, и ы(А) = со, если А бесконечно. Показать, что функция множеств и конечно-аддитивна, но не счетно-аддитивна. 3. Пусть )х — конечная мера на о-алгебре эг, А„ е .эг, а = 1, 2, ..., и А =Иго А„,(т.е.
А =1пп А„ =!пп А„). Показать, что !х(А) = )пп )х(А„). л $1. АКСИОМАТИКА КОЛМОГОРОВА 169 4 Доказать, что Р(А 1лВ) = Р(А)+ Р(В) — 2Р(А пВ). (Ср. с задачей 4 а 1 гл. 1.) 8, Показать, что «расстояния» р!(А, В) и рт(А, В), определенные по формулам р,(А, в) =Р(А ьв), если Р(А и В) ~ О, Р(А ЬВ) ,(А, В) = Р(АОВ) О, если Р(А ~!В) =О, удовлетворяют «неравенству треугольника», 6. Пусть р — конечно-аддитивная мера на алгебре лФ, множества Ап Аз, „. е лУ попарно не пересекаются и А = ~', А; е лФ. Тогда р(А) > !=! > 2 р(А!). 1=! 7.
Доказать, что )ип зир А„= )ип !п1 А„, !ип !п1 А„= !!Гп зир А„, !ип !п( А„С!ип зир А„, !ип зир(А«ОВ„)=1ип зир А„и!ип зир В„, !ип !п1(А„П В„) = !ип !п( А„П !ип 1п1 В„, !ип зцр А„П !ип !п( В„С !ип зир(А„Г! В„) С )ип зир А„П 1ип зир В„. Если А„) А или А„~ А, то !ип !п( А„=!ип зир А„. 8. Пусть (х„) — числовая последовательность и А„=( — оо, х„). Показать, что х =йт зир х„и А = !!и! зир А„связаны следующим образом: ( — со, х) С А С ( — со, х]. Иначе говоря, А равно или (-оо, х), или (-со, х].
9. Привести пример, показывающий, что для мер, принимающих значение +со, из счетной аддитивности не вытекает, вообще говоря, непрерывность в «нуле» и1, 10. Г1роверить неравенство Буля: Р(А ПВ) > 1 — Р(А) — Р(В). 11. Пусть А1, ..., А„— некоторые события из Уг. Говорят, что эта система событий является перестановочной (ехсйапцеаЫе или !птегсИапцеаЫе), если вероятности Р(АА ...Аь) одни и те же (= р!) для любого выбора индексов 1<!! «... ц <п и всех 1<1<а. Доказать, что для таких событий имеет место следующая формула: / и Р~Ц А! =пр! — С«рт+Сзрз †...+(-!)" 'р,.
1=! !70 ГЛ. Н. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 12. Пусть (Аи)ив ! — бесконечная последовательность перестановочных событий, т. е. для любого а ) ! н любого набора индексов 1 < Й < ... ... <!, вероятности Р(АА...Аь) имеют одно н то же значение (ии ри). Доказать, что и(ми.)= ~пи,)=; '(". и)=и(()и)= —.~ |-О'и'!и.!. гле Ро = 1, 7З!(Р ) = Р +! — Р Ь'(Р ) = Ь!(Д!' !(Р)), у > 2.
13. Пусть (Аи)и>! — некоторая последовательность множеств, 7(Аи)— индикатор множества Аи, и >!. Показать, что /(1!и! А„) = )пп /(А„), I (1!Гп А„) = 1ип ((Аи), 7 Ц Аи ) < ~ 1(Аи). и=! / и=! !4. Показать, что ! Ц Аи =щах 1(Аи), 7 П Аи =поп ((Аи). и=! ~и=! 18. Доказать, что Р(1пп Аи) >!пп Р(Аи), Р(йщ Аи) < (пп Р(Аи). 16. Пусть А'=1пп Аи н А.
=)пп Аи. Показать, что Р(Аи — А,)-+О, Р(А' — А,)- О. 17. Пусть множества Аи - А (в том смысле, что А =А* =А.). Показать, что Р(АЬА„)- О. 18. Пусть множества Аи сходятся к множеству А в том смысле, что Р(А ЬА*) =Р(А!ХА,) =О. Показать, что тогда также Р(А ЬА„)- О. !9. Доказать, что симметрическая разность АгзВ множеств А н В удовлетворяет следующему свойству: 7(АЬВ)=7(А)+l(В) (и!од 2). (Вывестн отсюда, что Р(А !' В) = Р(А) + Р(В) — 2Р(А Г! В); ср.
с задачей 4.) Проверить также следующие свойства симметрической разности: (АГАВ)ииС=АЬ(В!."хС), (АйиВ)Ь(ВЬС)=АЬС, А ЬВ=С еь А =ВЛС. $2. АЛГЕБРЫ И «-АЛГЕБРЫ 171 $2. Алгебры и о-алгебры. Измеримые пространства 1. Алгебры и о-алгебры являются составными элементами при по-. строении вероятностных моделей (экспериментов). Приведем примеры и ряд результатов, относящихся к этим объектам.
Пусть Й вЂ” некоторое пространство элементарных событий. Очевидным образом системы множеств Я. =(е1, Й),,йг* =(А: А сЙ) являются и алгебрами, и о-алгебрами. При этом Я. — тривиальная, самая «бедная» о-алгебра, а Я* — самая «богатая» о-алгебра, состоящая из всех подмножеств Й, В случае конечных пространств Й о-алгебра Уг' вполне обозрима, и, как правило, именно ее рассматривают в элементарной теории в качестве системы «событий».
В случае же несчетных пространств класс У'* оказывается слишком широким, поскольку на системе таких множеств не всегда удается «согласованным образом» задать вероятность. Если А С Й, то система Ул =(А, А,О, Й) является также примером алгебры (и о-алгебры) и называется алгеброй (о-алгеброй), порожденной множеством А. Эта система множеств является частным случаем систем, порождаемых разбиениями.
А именно, пусть У=(0и 02, ...) — некоторое счетное разбиение Й на непустые множества; Й=01+02+ ...; 01001 — — й1, (ф/. Тогда система »у = а(У), образованная из множеств, являющихся объединением конечного илн счетного числа элементов разбиения (с присоединенным пустым множеством), является алгеброй (и о-алгеброй). Следующая лемма имеет важное значение, поскольку в ней устанавливается принципиальная возможность построения наименьших алгебры и о-алгебры, содержащих заданную систему множеств.
Лемма 1. Пусть и' — некоторая система множеств из Й. Тогда существуют наименьшая алгебра, обозначаемая а(в), и наименьшая о-алгебра, обозначаемая о(в), содержащие все множества из в'. ,((оказательство. класс Я' всех подмножеств пространства Й есть о-алгебра. Таким образом, по крайней мере одна алгебра и одна о-алгебра, содержащие и', существуют. Образуем теперь систему а(в') (о(4')), 172 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ состоящую из тех множеств, которые принадлежат любой алгебре (о-алгебре), содержащей ег. Нетрудно проверить, что такая система есть алгебра (о-алгебра) и к тому же наименьшая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
