А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 28
Текст из файла (страница 28)
П Замечание 1. Систему о(ег) (соответственно о(в)) часто называют (наименьшей) алгеброй (соответственно о-алгеброй), порожденной системой множеств е'. Как уже было отмечено, понятие т-алгебры играет в теории вероятностей важную роль, входя в «основное определение» вероятностного пространства (п. 3 $1). В этой связи понятно желание дать конструктивный способ получения а-алгебры о(лг), порожденной, скажем, некоторой алгеброй зФ. (Лемма 1 устанавливает, что такая о-алгебра существует, но не дает ее эффективного построения.) Один из мыслимых и представляющихся естественными способов образования о(л«) из г«мог бы быть следующим.
Пусть в — некоторая система подмножеств й. Обозначим 4' систему подмножеств й, состоящую из множеств, входящих в в, дополнений к ним и конечных или счетных объединений множеств из в'. Положим,а4 =лй, ь4~ = л4, л4з = л4 и т.д. Понятно, что при каждом п система лг„содержится в а(л~), и можно было бы ожидать, что при некотором и л4 = о(лг) или, по крайней мере, Ц л4 е а(лг). Однако это, вообще говоря, не так. Действительно, возьмем й=(0, 1] и в качестве алгебры лФ рассмотрим систему подмножеств (), порожденную пустым множеством в и конечными суммами интервалов вида (а, Ц с рациональными концами а и Ь. Нетрудно убедиться, что в рассматриваемом случае система множеств Ц л4 строго меньше о-алгебры в(лг). л=! В дальшейшем наш основной интерес будет связан не с тем, как, скажем, из алгебры ~Ф сконструировать наименьшую и-алгебру о(лФ), а с вопросом о том, как установить, что та или иная заданная система множеств является а-алгеброй.
Для получения ответа на такой вопрос нам понадобится важное понятие «монотонного класса». Определение 1. Система лй подмножеств () называется монотонным классом, если из того, что А„Е.гв', и = 1, 2, ..., и А„1 А или А„) А, следует, что А Е .лв. Пусть в — некоторая система множеств. Будем обозначать через р(в) наименьший монотонный класс, содержащий е. (Доказательство существования такого класса проводится так же, как и в лемме !.) Лемма 2. Для того чтобы алгебра ле была в то же время и о-алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она была монотонным классом.
$2. АЛГЕБРЫ И «-АЛГЕБРЫ Доказательство. Каждая а-алгебра является, очевидным образом, монотонным классом. Пусть теперь лК является монотонным классом и л А„Ел~, п=1, 2, ... Ясно, что В„= Ц А; ЕлК и В„сВ„+ь Следовательно, (=! по определению монотонного класса В„! Ц А; е Ж. Аналогично устанав- оы ливается, что П А; Е~Ф, П 1=! Используя эту лемму, докажем справедливость следующего результата, проясняющего связь понятий «а-алгебра» и «монотонный класс».
Теорема !. Пусть л~ — алгебра. Тогда р(Ы) = п(лФ) . Доказательство. Из леммы 2 р(лФ) С а(лФ). Поэтому достаточно показать, что р(лФ) является а-алгеброй. Но система гв'= р(Ф) — монотонный класс, поэтому опять-таки по лемме 2 достаточно только установить, что р(лг) является алгеброй. Возьмем А Е М и покажем, что тогда А Е.Ф. С этой целью применим часто используемый в дальнейшем принцип подкодящих множеств, состоящий в следующем. Обозначим .эК=(В: В Е.гк', В Е.гв') все те множества, которые обладают интересуюшим нас свойством.
Ясно, что ~Ф С.гк С М. Установим, что лв' — монотонный класс. Пусть В„е М, тогда В„е.эК, В„е эК, и поэтому 1пп 1В„Е.эТ, )ппТВ„ЕМ, !пп)В„ЕМ, !пп)В„Е.К. Следовательно, !ппТВ„=!1т).В,Е.«К, !1т(В„=!ппТВ„Е.Ф, йгп ГВ„=!пп ) В„Е.К, йгп З В„=!пп ! В„Е.юв', а значит, лк — монотонный класс. Но КС.~К и гК вЂ” наименьший монотонный класс.
Поэтому .ег =.лК, и если А е гй'= р(лФ), то и А е.зК, т. е. кзасс .эг' замкнут относительно операции взятия дополнения. Покажем теперь, что класс .гв замкнут относительно взятия пересечения. Пусть А е.«К и .Кл = (В: В Е.юК, А П В Е -зК) 174 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Из равенств 3ип1(АпВ„)=Апйш(В„, 3ип((АйВ„)=Ай!$щТВ„ следУет, что >ел — монотонный класс. лхалее, легко проверяется, что (А Е.Фв) 4» (В Е ФУл). (2) Пусть теперь А еле, тогда поскольку лФ вЂ” алгебра, то для всякого В Е ьФ множество А й В е лФ и, значит, КС ~лС К.
Но «ел — монотонный класс, а .>г' — наименьший монотонный класс. Значит, .4кл =.«е' для любого А е лг. Но тогда нз (2) вытекает, что для А е лг н Ве.»«' (А е.«ув) «» (Ве.4ел = ге). Поэтому, если А е л~, то для любого В е.>е А е 4гв. В силу произвольности А е лФ отсюда следует, что Значит, для всякого В е.>к' т. е. если В Е.>е' н С Е.«к', то С П В Е.ФК.
Итак, класс .>е' замкнут относительно операций взятия дополнения н пересечения (а значит, н объединения). Следовательно, .>к'=74(лг)— алгебра, что н завершает доказательство теоремы. П Анализ проведенного доказательства показывает, что прн рассмотрении систем множеств, образованных по прилипну подходящих множеств, было важно то, что этн системы замкнуты относительно некоторых теоретико-множественных операций. С этой точки зрения, во всей проблематике «монотонных классов» оказывается полезным выделение так называемых «я-систем» н «Л-систем» множеств, которые, в сущности, н были использованы в доказательстве теоремы 1. С помощью этих понятий можно дать еще ряд утверждений (теорема 2), которые относятся к рассматриваемой проблематике н часто оказываются более удобными, нежели непосредственное обращение к проверке того, что та нли иная система множеств является «монотонным классом>.
$2. АЛГЕБРЫ И ь-АЛГЕБРЫ Ггз Определение 2 («я-Л-системы»). Пусть й — некоторое простран- ство, Система Я подмножеств й называется я-системой, если она за- мкнута относительно взятия конечных пересечений: если А,, ..., А„е,У, то Д А»Е.У, пав!. !<»сл Система .х.' подмножеств й называется Л-системой, если (Л,) Пей (Ль) (А, В Е Я и А С В) =ь (В ~ А е.У), (Л,) (А,ЕЖ л>1, н А„ТА) =ь (АЕ.К). Система У подмножеств й, являющаяся одновременно я-системой и Л-системой, называется я-Л-системой или й-системой Дынкина.
Замечание 2. Полезно отметить, что группа условий (Л,), (Ль), (Л,)„ определяющая Л-систему, равносильна (задача 9) группе условий (Л,), (Л',), (Л',), где (Ль) если А Е.К, то А е.У', (Л',) если А„Е х, я > 1, А„йА = а для т;Еп, то ("! А„е 2'. Отметим также, что всякая алгебра, очевидно, является я-системой. Если в — некоторая система множеств, то через я(в'), Л(ег) и Н(в-) обозначаются соответственно наименьшие 1г-, Л- и а-системы, содержа- щие ег.
Роль я-Л-систем проясняется в приводимой ниже теореме. Чтобы пол- нее раскрыть смысл этой теоремы, заметим, что каждая в-алгебра яв- ляется Л-системой. Обратное же, вообще говоря, не верно. Так, если й =(1, 2, 3, 4), то система .Я.' = (И, П, (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)) является Л-системой, но не в-алгеброй. Однако оказывается, что если дополнительно потребовать, чтобы Л-система была в то же самое время и я-системой, то тогда эта я- Л-система уже будет и в-алгеброй. Теорема 2 (о я-Л-системах). а) Всякая я-Л-система в" является в-алгеброй. Ь) Пусть «Г есть я-система множеств.
Тогда Л(в) =Н(в) =о(в). с) Пусть и есть я-система множеств, 2.' есть какая-то Л-система и а'СЖ. Тогда о(в) С с. Доказательство. а) Система ь" содержит П (в силу (Л,)) и замкнуга по отношению к взятию дополнений и конечных пересечений (согласно (Ль) и предположению, что в является я-системой). Тем самым система множеств ег является алгеброй (в соответствии с определением 1 из з 1). Чтобы теперь доказать, что в является также и в-алгеброй, надо (в соответствии с определением 4 из $1) убедиться в том, что если !76 ГЛ. и.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ множества Вн Вэ, ... принадлежат в", то тогда и их объединение () В„ л также принадлежит в. Положим А~ =В и А„=В„йА~ й...йА„Н Тогда, согласно (Л,'), П А„ев". Но П В„= П А„, следовательно, и П В„ба. Итак, всякая я-Л-система является а-алгеброй. Ь) Рассмотрим Л-систему Л(в') и а-алгебру а(в ). Как уже отмечалось, всякая а-алгебра является Л-системой.
Тогда поскольку а(й') 2а, то а(В) =Л(а(8) ДЛ(еГ). Тем самым Л(в') Са(Ю), Если теперь показать, что система Л(в') является также и я-системой, то тогда, согласно утверждению а), получим, что Л(Ф) есть о.-алгебра, содержащая в". Но так как а(в) есть минимальная а-алгебра, содержащая в', и по доказанному Л(а) с а(вг), то Л(в) = а(вг). Итак, обратимся к доказательству того, что Л(в') является я-системой.
Как и при доказательстве теоремы 1, воспользуемся принципом подходящих множеств. Пусть 4 = (В Е Л(в'): В Г1 А Е Л(в ) для всех А Е в). Если В е в=, то В йА Е вг (поскольку в' есть я-система). Значит, в С 4. Но система 4 есть Л-система (в силу самого определения 4). Поэтому Л(~) СЛ(ЯЧ) =4. С другой стороны, по определению системы 4 имеет место включение 4 с Л(вг). Таким образом, в1 =Л(в).
Пусть теперь вэ=(ВЕЛ(в'): ВйА ЕЛ(в) для всех А ЕЛ(Ю)). Как и 4, система вэ является Л-системой. Возьмем множество В е в. Тогда по определению системы 4 для всех А е4 =Л(в) находим, что ВйА еЛ(в'). Следовательно, из определения системы вэ видим, что Юс вэ и Л(а) с Л(вэ) = в$. Но Л(в") э аэ. Поэтому Л(вг) = 4~, и, значит, для любых А и В из Л(в') множество А й В е Л(а), т.е. система Л(в) является я-системой. Итак, Л(вГ) является я-Л-системой (а значит, Л(еГ) = д(еГ)), и, как уже было отмечено выше, отсюда следует, что Л(в) =а(в). Тем самым утверждение Ь) установлено.
с) Из того, что в'С.йе и .1с есть Л-система, находим, что Л(в ) С Л(У) = = 9'. Из Ь) следует, что Л(а')=а(еГ). Поэтому а(а) С.У. П Замечание 3. Результаты теоремы 2 могут быть выведены непосредственно и из теоремы 1 (задача 10). $2. АЛГЕБРЫ И ь-АЛГЕБРЫ (77 Сформулируем два утверждения, доказательство которых служит хорощей иллюстрацией применения принципа подходящих множеств и теоремы 2 о к-Л-системах. Лемма 3. Пусть Р и 0 — две вероятностные меры, заданные на измеримом пространстве (Й,,Уг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
