А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Итак, покажем, что функция Рь счетно-адднтнвна (т. е. является вероятностной мерой) на алгебре лх. Согласно теореме нз $ !, для этого достаточно проверить непрерывность Ре в ~В, т.е. проверить, что Ро(А,) 1 О, А„1 ш, А„Е лФ. ПУсть Ан Аз, ... — некотоРаЯ выбРаннаЯ последовательность множеств нз лФ со свойством А„1 а. Предположнм сначала, что все множества А„принадлежат некоторому замкнутому интервалу [-АГ, М], М < ос.
Поскольку А„состоят из конечного числа сумм интервалов вида (а, Ь] и поскольку в силу непрерывности справа функций Г(х) Рь(а', Ь] =Г(Ь) — Г(а') — Г(Ь) — Г(а) = Ре(а, Ь] $3. ЗАДАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ А7ЕР !93 прн а') а, то для каждого Ап найдется множество Вп езФ такое, что его замыкание [Вп] С Ап и Ро(Ап) — Ро(Вп) » (е2 ", где е — некоторое заранее заданное число, большее нуля. По предположению П Ап пп и!, а значит, и П [Вп] = Е!.
Но множества [Вп] замкнуты, поэтому найдется такое конечное по = но(е), что (4) (В самом деле, [ — М, М] — компакт, а система множеств [[ — М, М] ~ [В„])„>! образует открытое покрытие этого компакта. Тогда по лемме Гейне— Бореля (см., например, [(], [33]) существует конечное подпокрытие: Ц ([-М, М]~[Во]) =[-М, М], и=! по а значит, [] [Вп]=Е!) л=! Учитывая (4) и то, что А, САп, ! С ... СА!, находим ло / по '! /' ло Ро(Ал,) =Ро Ап,~ Д Вл) +Ро~Д Вл) =Ро~Ал,~ П Ва < ь=! л=! л=! / ло ло ло <Ро~ [ ] (Ал'~Вц)) <~~о, Ро(АА~ВА)<~ е2 "<е.
А=! л=! а=! Поэтому Ро(Ап) (О, п-~со. Откажемся теперь от предположения, что все Ап С [-М, М] для некоторого М. Зададим е > 0 и выберем такое М, что Ро[ — М, М] >! — е/2. Тогда, поскольку АпппА„Г7[ — М, М]+Апй[ — М, М], то Ро(А,) =Ро(А„Г7[-М, М])+Ро(А„Г7[-М, М]) <Ро(А„Г7[-М, М])+е/2, и, пРименЯЯ пРедшествУющие РассУждениЯ (с заменой Ап на Ап О [ — М, М]), полУчаем, что длЯ достаточно больших л Ро(Ап О [-М, М]) < е/2. Тем самым снова Ро(Ал))0, л- оо.
П 7 — 9727 194 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Итак, между вероятностными мерами Р на (14, ЯЯ)) и функциями распределения г" на числовой прямой )! существует взаимно однозначное соответствие. Меру Р, построенную по функции Р, принято называть вероятностной мерой Лебега — Стилтьеса, отвечающей функции распределения Е. Особо важен случай, когда О, х<0, Р(х) = х, 0 < х < 1, 1, х ) 1. В этом случае соответствующую вероятностную меру (обозначим ее Л) называют мерой Дебега на отрезке [О, 1].
Ясно, что Л(а, Ь] =Ь вЂ” а, где 0 < а ~ Ь < 1. Иначе говоря, мера Лебега интервала (а, Ь] (а также любого из интервалов (а, Ь), [а, Ь], [а, Ь)) равна просто его длине Ь вЂ” а. Обозначим Я([0, 1[)=(АП[0, 1]: А ЕЯ(14)) совокупность борелевских множеств отрезка [О, !]. Наряду с этими множествами часто приходится рассматривать так называемые лебеговские множества отрезка [О, 1].
Мы говорим, что множество Л С [О, 1] относится к системе Я([0, ! ]), если можно найти такие борелевские множества А и В, что А СЛСВ и Л(В!А)=0. Нетрудно проверить, что система Я([0, 1]) является а-алгеброй. Именно ее и называют системой лебеговских множеств отрезка [О, 1]. Ясно, что Я([0, !]) С Я([0, 1]). Меру Л, определенную пока лишь на множествах из Я([0, 1]), естественным образом можно продолжить и на систему лебеговских множеств Я([0, 1]). А именно, если Л ЕАФ([0, 1]) и А СЛ С В, где А, В е Я([0, 1]), Л(В ЛА) =О, то положим Л(Л) =Л(А).
Так определенная функция множеств Л = Л(Л), Л ЕЯ([0, 1]), является, как нетрудно проверить, вероятностной мерой на ([О, 1], Я([0, 1])). Ее называют лебеговской мерой (на системе лебеговских множеств). Замечание 1. Проведенная процедура пополнения (продолжения) меры применяется и оказывается полезной не только в рассмотренном случае. Например, пусть (й,,йг, Р) — некоторое вероятностное пространство. Обозначим через УР совокупность всех подмножеств Л пространства й, для которых можно найти такие множества А и В из йг, что А С Л С В и Р(В 1А) =О. Естественным образом (с помощью равенства Р(Л) = Р(В)) вероятностная мера определяется и для множеств ЛЕГАР. Полученное таким образом новое вероятностное пространство (й,УР, Р) называется пополнением пространства (й,,йг, Р) относительно меры Р.
$3. ЗАДАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Если вероятностная мера Р такова, что УР =У', то она называется полной, а соответствующее пространство ((), .Уг, Р) — полным вероятностным пространством. Замечание 2. Кратко остановимся на идее доказательства теоремы Каратеодори, считая, что ро(й) = 1. Пусть А — множество из й и А и Аз, ...
— множества из лг, накрывающие множество А в том смысле, что А С !.) А„. Определим внешнюю »=! меру р'(А) множества А, полагая р'(А) = !п( Х~~ ро(А„), л=! где (п( берется по всем указанным покрытиям (Ан Ая, ...) множества А. Внутренней мерой р.(А) множества А будем называть величину р,(А) = 1 — р'(А). кэ хз Р((х»)) = сзг(х») > О, ~ Р((х»)) = 1. Обозначим лг совокупность тех множеств А из (), для которых ,ы'(А) =р.(А). Система лР является, как нетрудно показать, о-алгеброй (задача 12), н, следовательно, лг Св(лг) Слг.
Припишем множествам А из лг «меру» р(А), полагая ее равной,и'(А) (=р.(А)). Эта функция множеств р(А), А еле, действительно является мерой (задача 13), т. е. является счетно-аддитивной функцией множеств (при этом вероятностной, поскольку а(й) = ро(й) = 1). Устанавливаемое равенством Р(а, Ь] = г(Ь) — Р(а) соответствие между вероятностными мерамн Р и функциями распределения г дает возможность конструирования разных вероятностных мер с помощью задания Г(х) соответствующих функций распреде- ! ~~~(хз) ления.
! ав(х2! Дискретные меры. Так называ- ~ (ьв(х1) ют меры Р, для которых соответ- х~ ствуюшая функция г"=г(х) является кусочно постоянной, меняющей Рис. 25. свои значения в точках хн хщ ". (б'г(х;) > О, где лзг(х) = г(х) — г(х †)) (рис. 25). В этом случае мера Р ~осредоточена в точках хн хя, ...: !96 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Набор чисел (р!, рт, ...), где рх =Р((хл)), называютдискретным распределением вероятностей, а соответствующую функцию распределения Р =г(х) — дискретной. Приведем таблицу наиболее употребительных типов дискретных вероятностных распределений с соответствующими наименованиями.
Таблииа 2 Абсолютно непрерывные меры. Так называются меры, лля которых соответствующая функция распределения г =Р(х) такова, что для некоторой неотрицательной функции 1 = Г((), ! Е й, имеет место равенство к Р(х)= 1 Р)д(, (5) где под интегралом сейчас понимается интеграл в смысле Римана (а в общем случае — в смысле Лебега (см. $6)). Функция ! = Г(х), х Е !(, называется плотностью функции распределения Р =Р(х) (плотностью распределения вероятностей или просто плотностью), а сама функция Р = г(х) — абсолютно непрерывной. Понятно, что всякая неотрицательная функция / = Г(х), интегрируемая по Риману и такая, что $ ((х) дх =!, определяет формулой (5) некоторую функцию распределения.
В таблице 3 приведены особо важные для теории вероятностей и математической статистики примеры разных типов плотностей Г' = Г(х) с указанием их наименований и параметров (плотность Г(х) считается равной нулю для не указанных в таблице значений х). Сингулярные меры. Так называют меры, функции распределения Р(х) которых непрерывны, но точки их роста (х — точка роста Р(х), если ЬЗ. ЗАДАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 197 Таблица 3 Плотность Парамегры Тнп распределения Равномерное на [а, Ь[ Нормальное, нлн гауссовское Гамма Бета Ле "", х>0 Л>0 Л -е л! 1, «Е)Г 2 Л>0, аЕ)7 х е, х 0 п=!,2, Стьюдента, Г-распределение с и степенями свободы п=!, 2, Р-распределение т,п=1,2, а л.!«л + ал)' , «Е)Г Коши ))>О Р(х + е) — Р(х — г) > 0 для любого е > 0) образуют множество нулевой меры Лебега. Опуская подробности относительно структуры таких функций (см., например, [70]), приведем лишь один «классический» пример.
Возьмем отрезок [О, 1] и построим функцию гс(х) с помощью следующего приема, принадлежащего Г. Кантору. Разделим отрезок [О, 1] на три равные части и положим (рис. 26) 1/2, х Е (1/3, 2/3), Р)(х) = О, х = О, 1, х = 1, доопределяя ее в остальных точках с помощью линейной интерполяции. Экспоненцнальное (гамма-распределение с а=1, )3= !/Л) Двустороннее зкспоненцнальное Хн-квадрат,)гл (гамма-распределение с а=п/2, 4=2) с и степенями свободы —, а<х<Ь ! Ь-а' а- ~) — е Бт, «Е)7 ~/2«а «»-~«-«7Л , х>0 Г(а) Р» х» '(! -«)л , 0<«<! В(а, Р) , «Е)7 ~/паг(2) ()+ «)+ (-„)' Т- (2'2) ( л ) а, ЬЕ)7; а<Ь т Е)7, а>0 а>0, )3>0 а>0, )3>0 193 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Далее, каждый из интервалов [О, 1/3) и (2/3, 1] снова делим на трн части н определяем функцию (рис. 27) 1/2, х Е (1/3, 2/3), 1/4, х Е (1/9, 2/9), 3/4, х е (7/9, 8/9), О, х=О, 1, х=1, Ез(х) = со значениями в остальных точках, полученными линейной интерполяцией.
Продолжая этот процесс, построим последовательность функций Е„(х), п=1, 2, ..., которые сходятся к некоторой неубывающей непрерывной Е1 (х) 1 Ез(х) О 1/3 2/3 1 О 1 2 $2 Г З 1 эзз зээ Рис. 26. Рис. 27. функции Е(х) (называемой канторовой), точки роста которой образуют множество лебеговской меры нуль. Действительно, из конструкции Е(х) видно, что общая длина интервалов (1/3, 2/3), (1/9, 2/9), (7/9, 8/9), ..., на которых функция принимает постоянные значения, равна 1 2 4 1 (21" — + — + — +„,= — ~~~ Н =1.
3 9 27 "' 3 ~3/ (6) п=е Обозначим через .Ф' множество точек роста канторовой функции Е(х). Из (6) следует, что Л( Ф') = О. В то же самое время, если р — мера, соответствующая канторовой функции Е(х), то р( т") = 1. (В этом случае говорят, что мера сингулярни по отношению к лебеговской мере Л.) Не останавливаясь более на вопросе о возможных типах функций распределения, ограничимся лишь замечанием о том, что на самом деле указанными тремя типами исчерпываются все такие функции. Точнее, произвольная функция распределения может быть представлена в виде а1Е1 + азЕз+ азЕз, где Е1 — дискретная, Ез — абсолютно непрерывная, Ез — сингулярная функции распределения, си — неотрицательные числа, а1+ аз+ аз = 1 (задача 16).
й 3. ЗАПАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 2. Теорема 1 устанавливает взаимно однозначное соответствие между вероятностными мерами на (!т', Я(!т)) и функциями распределения на )г. днализ доказательства этой теоремы показывает, что на самом деле справедлив более общий результат, позволяющий, в частности, ввести так называемую меру Лебега на всей числовой прямой.
Пусть,и — некоторая е-конечная мера на (й, лФ), где ~Ф вЂ” алгебра подмножеств й. Оказывается, что утверждение теоремы Каратеодори о продолжении меры г! с алгебры л~ на наименьшую е-алгебру е(ле) остается справедливым и лля о-конечных мер, что и дает возможность обобщения теоремы 1. Назовем мерой Лебега — Стилтьеса на ()т, М()г)) всякую (счетноаддитивную) меру г! такую, что для любого ограниченного интервала / его мера !!(I) < со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
