А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Пусть Е и т! — две случайные величины на (й, Я) и множество А е Я. Тогда функция )~А также является случайной величиной. б, Пусть Еь ..., 4„— случайные величины и р(хь ..., х„) — борелевская функция. Показать, что функция р(Е,(ит), ..., 4„(ит)) также является случайной величиной. 7, Пусть Е и т) — две случайные величины, принимающие значе- ниЯ 1, 2, ..., А!. ПРедположим, что Уге=,йгч. Показать, что сУществУет такая перестановка (!и тз, ..., тн) чисел (1, 2, ..., А!), что для каждою ! =1, 2, ..., Ат множества (иц Е= т) и (иц тг=т'+ !) совпадают.
8. Привести пример случайной величины Е, функция распределения которой имеет плотность )(х) такую, что 1!щ 1(х) не существует и, следовательно, Дх) на бесконечности не аннулируется. 9. Пусть Е и т! — ограниченные случайные величины Я(<ст, ф <с2). Доказать, что если для всех пт, л > 1 Е4 т!" =ЕЕ Ет!", то 4 и т) независимы. 10. Пусть Е и т) — случайные величины и их функции распредления Ре и гч совпадают. Доказать, что если х Е )1 и (ьн Е(ит) = х) Ф Ет, то существует у Е !т' такое, что (иц Е(ти) = х) = (ю: т!(ит) = у).
11. Пусть Š— не более чем счетное подмножество )т, 4 — отображение й- Е. Доказать, что Е является случайной величиной на (й, Я) тогда н только тогда, когда (ит: Е(ит) =х) ЕЯ для каждого х ЕЕ. 5 5. Случайные элементы 1. Наряду со случайными величинами в теории вероятностей и ее приложениях рассматривают случайные объекты более общей природы, например, случайные точки, векторы, функции, процессы, поля, множества, меры и т.д. В связи с этим желательно иметь понятие случайного объекта произвольной природы. Определение 1. Пусть (й, лг) и (Е, в") — два измеримых пространства.
Будем говорить, что функция Х =Х(ю), определенная на й н принимающая значения в Е, есть я/й'-измеримая функция, или случайный элемент (со значениями в Е), если для любого В е ет (ит: Х(ит) Е В) Е йг. 222 ГЛ. Н. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Иногда случайные элементы (со значениями в Е) называют также Е-значными случайными величинами. Рассмотрим частные случаи этого определения. Если (Е, й') =(В, Я(В)), то определение случайною элемента совпадает с определением случайной величины ($4). Пусть (Е, в) = (В", ЯЯ")). Тогда случайный элемент Х(ы) есть «случайная точка» в В".
Если я» — проекция В" на й-ю координатную ось, то Х(ы) можно представить в виде Х(ы)=ф(ы), ..., Е,„(ы)), (2) где с» = я» о Х. Из условия (1) вытекает, что Е» — обычные случайные величины. Действительно, для любого В Е Я(В) (ы. 'с»(ы) ЕВ) = =(их 6(ы) ЕВ, ..., с» ~(ы) ЕЯ, Е»(ы) ЕВ, Е»+~(ы) ЕВ " Е«(м~) Еф)= = (ин Х(ы) Е (В х ... х В х В х й х... х В)) Е М, поскольку множество В х... х»1 х В х В х ... х В Е Я(В").
Определение 2. Всякий упорядоченный набор случайных величин (гл(ы), ..., »)«(ы)) будем называть л-мерным случайным вектором. В соответствии с этим определением всякий случайный элемент Х(ы) со значениями в В" является и-мерным случайным вектором. Справедливо и обратное: всякий случайный вектор Х(ы) = К~(ы), ., с„(ы)) есть случайный элемент в В". Действительно, если В» Е Я(11), й = 1, ..., и, то л (ин Х(ы) Е (В~ х ...
х В„)) ««П(ин Ыы) Е В») Е» . »=! Но наименьшая в-алгебра, содержащая множества В~ х... х В„, совпадает с Я(»1"). Тогда из очевидного обобщения леммы 1 из $4 сразу получаем, что для любого В Е Я()с") множество (ис Х(ы) Е В) принадлежит М. Пусть (Е, в)=(Х, Я(Х)), где Š— множество комплексных чисел г =х+ (у, х, у Е )т, а Я(Х) — наименьшая в-алгебра, содержащая множества вида (г: г=х+(у, а~ <х<Ьн аз <у <Ь2).
Из предыдущею рассмотрения следует, что комплекснозначная случайная величина Х(ю) представляется в виде 2(ы) =Х(си) + (У(ы), где Х(ы) и У(ы) — случайные величины. Поэтому 2(ы) называют также комплексными случайными вели чинами. Пусть (Е, в) =(йг, Я(йг)), где Т вЂ” некоторое подмножество числовой прямой. В этом случае всякий случайный элемент Х =Х(ы), представимый, й 5. СЛУЧАЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 223 очевидно, в виде Х =(сл)тг с 6 = кс оХ, называют случайной функцией с временнйм интервалом Т.
Так же, как и для случайных векторов, устанавливается, что всякая случайная функция является в то же самое время случайным процессом в смысле следующего определения. Определение 3. Пусть Т вЂ” некоторое подмножество числовой прямой, Совокупность случайных величин Х =(~~)~ег называется случайным (стохастическим) процессом с временным интервалом Т.
Если Т =(1, 2, ... ), то Х = ((н С2, ... ) называют случайным процессом с дискретным временем или случайной последовательностью. Если Т = (О, 1], (-оо, оо), (О, оо), ..., то Х = (~~)~ег называют случайным процессом с непрерывным временем. Используя структуру о-алгебр Я()гг) 5 2), нетрудно показать, что всякий случайный процесс Х =(Ел)гег (в смысле определения 3) является в то же самое время случайной функцией (случайным элементом со значениями в )(г), Определение 4. Пусть Х =(4~)~ег — случайный процесс.
Для каждого фиксированного РЕП функция (Ел(ш)),ег называется реализацией или траекторией процесса, соответствующей исходу ы. По аналогии с определением 2 $4 естественно следующее Определение 5. Пусть Х = (Ел) ег — случайный процесс. Вероятностная мера Рх на (11~, Я(й~)) с Рх(В) = Р(ип Х(ы) е В), В Е Я(тс~), называется распределением вероятностей процесса Х. Вероятности Рн ь(В)аэР(ип ((н, ...,(ц)ЕВ) с Й < 12 «... 1„, Й е т, называются конечномерными вероятностями (или распределениями вероятностей). Функции Рп Ы(хн ..., х„) из Р(ип (Ь <хн ..., (Ь < х„) с Й < 12 «...
1„, 0 е Т, называются конечномерными функциями распределения процесса Х =Я)~ег. Пусть (Е в') = (С Яо(С)) где С вЂ” пространство непрерывных функций х = (х~)~ег на Т = [О, 1! с о-алгеброй Яе(С), порожденной открытыми множествами 5 2). Покажем, что всякий случайный элемент Х пространства (С, Яа(С)) есть в то же самое время случайный процесс (с непрерывными траекториями) в смысле определения 3.
В самом деле, согласно $2, множество А = (х е С: х~ < а) есть открытое множество в Яа(С). Поэтому (ин (~(м) <а)=(ин Х(ы)еА)еУ', 224 ГЛ. Н, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ С другой стороны, пусть Х =(Е|(ш)),ег есть случайный процесс (в смысле определения 3), траектории которого при каждом шей являются непрерывными функциями.
В соответствии с (17) 5 2 (х Е С: х е 5„(х )) = [ ] (х е С: [х|, — х,„[ < р», где !» — рациональные точки отрезка [О, 1]. Поэтому (ш: Х(ш) Е Вр(Х (ш))» = П (ш. [Еь (ш) — Е,,(ш) [ < р» е Х, а значит, и (ш: Х(ш) е В» е дг для любого В е бге(С). Аналогичные рассуждения показывают также, что всякий случайный элемент пространства (О, иге(0)), введенного в 5 2 (п. 7), может рассматриваться как случайный процесс с траекториями из пространства функций без разрывов второго рода, и наоборот. 2.
Пусть (й,,эг, Р) — вероятностное пространство и (Е, в' ) — измеримые пространства, где индекс а принадлежит некоторому (произвольному) множеству й. Определение 6. Будем говорить, что эг/ег -измеримые функции (Х (ш)), оей, независимы (или независимы в совокупности), если для любого конечного набора индексов а|, ..., а„случайные элементы Х „..., Х „независимы, т.
е. Р(Хм| ЕВмо ..., Ха„6 Ва„»=Р(ХМ ЕВт»...Р(Ха„Е Ва„» (3) где В ее'. Пусть й = (1, 2, ..., и», Š— случайные величины, а е й, и Рс(х|, ..., х„) =Р(Е! <х|, ..., ~„<х„» — п-мерная функция распределения вектора с = (Е|, ..., Е„). Пусть Рв(х;) есть функция распределения случайной величины Е|, ! = 1, ..., и. Теорема 1. Для того чтобы случайные величины Е|, ..., Е, были независимы, необходимо и достаточно, чтобы для всех векторов (х|, ..., х„) е)с" Ес(х|, ..., х„) = гб(х!)...гс„(х„). (4) Доказательство.
Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности положим (а = (а|, ..., а,), Ь = (Ь!, ." Ьп)) Рг(а, Ь] = Р(а| <Е! < <Ь!, ..., ал < Еп 1~ Ьп», Ро(ан Ь;] = Р(а| <6 <Ь!». э 5. СЛУЧАЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 225 тогда в силу (У) лэ 3 и (4) л л Ре(а, /7] =П (Ре (31) Ре (а1)]=П Ро(а;, /71] и, значит, РК! Е /! . 6л Е /л) = П РК1 Е /;», 1=! ГДЕ /; =(а1, О1]. Зафиксируем /2, ..., /л и покажем, что для любого В! Е Я(/т) Р(~! 6 В1, (2 Е/2, ", (л Е/л) = РК! Е В!) П Р(6 Е/1).
(6) 1=2 Пусть .эх' — совокупность множеств из Я(/г), для которых выполнено (6) («принцип подходящих множеств», $2). В .9К входит, очевидно, алгебра Ф множеств, состоящих из сумм непересекающихся интервалов вида /! = (а!, ь1]. поэтому а|с.79 с Я(/г). из счетной аддитивности (а следовательно, и непрерывности) вероятностной меры следует также, что система ле является монотонным классом. Поэтому (см. п, ! $2) /1( 9Е)С 9ЕСЯ(В), Но, согласно теореме ! из $2, /1(лУ) =о(лг) =Я(//). Поэтому .9К= Я(/(). Итак, (6) доказано.
Фиксируя теперь В1, /з, ..., /л, тем же методом доказываем справедливость (6) с заменой /2 на борелевское множество Вэ. Продолжая этот процесс, очевидным образом приходим к требуемому равенству Рф ЕВ1, ..., (лЕВл)=Р(6! ЕВ!)...Р(блЕВл), где В1 Е Я(/2), П 3. Задачи. !. Пусть 61, ..., С„ — дискретные случайные величины.
Показать, что они независимы тогда и только тогда, когда для любых действительных чисел х,, ,хл (6 н" с ) П (6 2 Провести доказательство того, что всякая случайная функция л(ь!)=(с1(ь7))1ег есть случайный процесс (в смысле определения 3), и наоборот. З вЂ” 9727 226 ГЛ.
и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 3. Пусть Хн ..., Մ— случайные элементы со значениями в (Ен !й), ..., (Е„, Ю„) соответственно. Пусть, далее, (Е,', в,"), ..., (Е„', © — измеримые пространства и дн ..., д„являются в1/в, ..., Ф„/й'„'-измеримыми функциями соответственно.
Показать, что если Хн ..., Х„независимы, то независимы также и случайные элементы йч о Хн ..., д„оХ„. 4. Пусть Хн Хз, ... — бесконечная последовательность лересгпановочных случайных величин (т. е. таких, что совместное распределение каждой группы случайных величин, состоящей из й элементов с разными индексами, скажем, Х;„..., Х;„зависит лишь от й и не зависит от конкретного выбора значений (н ..., (м где!О ..., (А попарно различны; ср. с определением в задаче ! ! из 2 !). доказать, что если ЕХ2 < со, и > ), то ковариация к(Х, Х ))О.
5. Пусть с, г), ~ — независимые случайные величины. Доказать, что случайные величины С+и и ~2 независимы. 6. Пусть (н ..., (', пн ..., т!„— случайные величины. Образуем случайные векторы Х = (5, ., С ) и У = (гн, ..., и„). Предположим, что выполнены следующие условия: (!) случайные величины (н ..., С независимы; (й) случайные величины г)н ..., г)„независимы; (и!) случайные векторы Х и У, рассматриваемые как случайные элементы со значениями в )г и )т" соответственно, независимы. Доказать, что случайные величины ~н ..., С', гь, ..., п„независимы. 7. Даны случайные векторы Х = ф, ..., 5 ) и У = (гп, ..., г)„).
Известно, что случайные величины 4н ..., С, пн ..., г)„независимы. (!) Доказать, что случайные векторы Х и У, рассматриваемые как случайные элементы, независимы (ср. с задачей 6). (й) Пусть 7:)г — )г, д:)т" - )г — борелевские функции. Доказать, что случайные величины ~®, ..., С ) и д(гп, ..., и„) независимы. ф 6. Интеграл Лебега. Математическое ожидание 1.
В том случае, когда (й, лг, Р) — конечное вероятностное пространство и С =С(ь) — простая случайная величина, понятие математического ожидания ЕС было определено в $4 гл. !. Та же самая конструкция математического ожидания ЕС от простых случайных величин С используется и в случае произвольного вероятностного прост- 46. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИЛАНИЕ 227 ранства (й, Я, Р). А именно, по определению полагается » Е5 = ~~~ хаР(А»). э=1 (2) Это определение корректно (в том смысле, что значение ЕС не зависит от способа представления 5 в виде (!)), что показывается точно так же, как и в случае конечных вероятностных пространств. Аналогичным образом устанавливаются простейшие свойства математического ожидания (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
