А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Пусть теперь г) — произвольная случайная величина с Ег)> -оо. Если Еп = со, то в силу В Ес„= ЕС = со и утверждение доказано. Пусть Ег1< со. Тогда, учитывая сделанное предположение Е!1> — со, получаем, что Е)п! < оо. Ясно, что О < с„— ц7~-г) для всех ь! е(). Поэтому, согласно доказанному, Е(4„-г)) Т ЕК-г!) и, значит (по свойству Е и задаче 2), Е( — Еп Т Е4- Ег). Но Е)п! <оо, поэтому Ес„! ЕС, и оо. ,((оказательство утверждения Ь) следует из а), если вместо исходных величин рассмотреть величины со знаком минус. С) Следствие.
Пусть (п„)ыд ! — последовательность неотрицательных случайных величин. Тогда Е ~ ~ц„= ч~! Е!)„. и=! и=! Доказательство следует из свойства Е (см. также задачу 2), теоремы ь ао о монотонной сходимости и того замечания, что 2' г), ! 2" и„, й- со. С) п=! ч=! Теорема 2 (лемма Фату).
Пусть г), С!, Сэ, ... — случайные величины. а) Если с„> !) для всех и > 1 и Еп > — оо, то Е !нп ~„<!пп Е~„. Ь) Если С„<!) для всех и> ! и Еп<со, то !пп Ес„< Е !нп с„. с) Если !~„!<г) для всех и >1 и Еп<со, то Е !нп 6 < !нп Е4„< !!гп Е~„< Е !нп ~„. (7) 234 ГЛ, Н. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Доказательство. а) Пусть ~„= 1и! с, тогда ы)п 1пп Сп=!!щ 1п! С =1пп 1п. л ы>п и Ясно, что ~„( 1пп с„н ~„> г) лля всех и > 1. Тогда нз теоремы 1 Е 1пп ф, = Е )пп ~„= 1пп Е('„= (пп Е~„<!пп ЕС„, л что н доказывает утверждение а). Второе угвержденне следует нз первого. Третье — есть следствие первых двух. С) Теорема 3 (теорема Лебега о мажорнруемой сходнмостн). Пусть случайные величины таковы, что (б„(<гг, Ег1 <со и 4„- с (л, и.).
Тогда Еф<оо и (8) ЕЕп- ЕЕ, и — оо, Šʄ— 4! - О, а -+ оо. (9) Доказательство. По предположению )пп С„= )пп С„=С (и. н.). Поэтому в силу свойства С н леммы Фату (угвержденне с)) Е~=Е)пп („<йп Е(„=!пп Е~п=Е 1пп ~п=Е(, что н доказывает (8). Ясно также, что 1С ! < г1. Поэтому Е(С ! < оо. Утверждение (9) доказывается так же, если только заметить, что !сп -с! <2п П Следствие. Пусть и, С, 4н Сз, ...
— случайные величины такие, что Кл) (г) 6 "~ (и. и ) и Епи <оо для некоторого р >О. Тогда Е)Я!и <оо и Е 1С вЂ” С«1Л -+ О, П -+ СО. Для доказательства достаточно заметать, что ф < и н )( - ~„(л < < (К1+ К.1)' < (2п)'. Условие «!С„! <г), Ег) < со»ч входящее в лемму Фату н теорему о мажорнруемой сходнмостн н обеспечнвающее выполнение формул (7) — (9), можно несколько ослабить. Для формулировки соответствующего результата (теорема 4) введем Определение 4. Семейство случайных величин К„)„>~ называется равномерно интегрируемым (по мере Р), если зпр $ !~„! Р(ды)- О, с оо, (1О) Щ,1>с] нлн (в других обозначениях) эпр Е(Кп!(1!4„1>п11 О, с оо.
и 46. НнтеГРАл леБеГА. мАтемАтическОе Ожидлние 235 Е 1пп 6 <!кп Е~, ~<!пп Е(, < Е 1нп ( Ь) Если к тому же с„- с (п. н.), то случайная величина С инте- грируема и Ес„- Ес, и-+со, Е(с,— с!- О, и-+оо. Доказательство. а) Для всякого с > 0 Е1л = Е(лУ!е„<-с) + Е6/!4„>-с!. (12) В силу равномерной интегрируемости для всякого г > 0 можно выбрать с столь большим, что зпр !ЕС„/!6,<,1! < е.
(! 3) В силу леммы Фату 1нп ЕС„I!6,>,! > Е!пп ~„)!Е„>,!. Но („(!Е„>,! > С„, поэтому !пп Е(„l!Е„>,1>Е!пп С„. Из (12) — (14) находим, что (14) 1пп Е(„> Е 1пп („— г. В силу произвольности г > 0 отсюда следует, что! пп Ес„> Е 1нп с„. Аналогичным образом доказывается, что 1пп ЕС„< Е !пп С„. Что же касается утверждений Ь), то они доказываются так же, как соответствующие утверждения в теореме 3. С) Наиболее полно значение понятия равномерной интегрируемости раскрывается в следующей теореме, дающей необходимое и достаточное условие для предельного перехода под знаком математического ожидания. Теорема 5.
Пусть 0<С„- С и ЕС„<оо. Тогда ЕС„- ЕС <ос тогда и только тогда, когда семейство случайных величин (Я„>~ равномерно интегрируемо. Доказательство. Достаточность следует из утверждения Ь) теоремы 4. Для доказательства необходимости рассмотрим (не более чем счетное) множество А =(а: Р(с =а) >0). тогда с„/!е„<,1- с/!6<,> для каждою Ясно, что если случайные величины С„, п>1, таковы, что (С„)<п, Егг < со, то семейство (С„)„>1 будет равномерно интегрируемым.
Теорема 4. Пусть (с,)„>~ — семейство равномерно интегрируемых случайных величин. а) Тогда 236 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ афА, причем семейство величин (6„/16„<,1)„в~ будет равномерно интегри- руемым. Поэтому в силу «достаточности» Е~„)16„<,1- Е016<«1, афА, а значит, Е(„716>«1- ЕЕlм>«1, афА, п- оо.
(16) Зафиксируем е>0 и выберем сначала аь)ьА столь большим, что Еб)16>„1 < е/2, а затем Нь таким, что для всех п > Фь Е6/16, >ао1 < ЕЦ(г>ао1 + е/2' н, значит, Е(„!16„>„1 <е. Выберем, наконец, а~ >аь столь большим, что для всех п < Мь Е(„/16„>„1 < е. Тогда ацр Е(„/16„>„1<с, п что н доказывает равномерную ннтегрируемость семейства случайных ве- ЛИЧИН (С«)ь>ь П 6. Остановимся на некоторых критериях равномерной ннтегрируемостн. Прежде всего заметим, что если (С„)тв~ — семейство равномерно интегрируемых случайных величин, то зцр Е!Е„!<со. л В самом деле, для фиксированного е > 0 н достаточно больших с > 0 (16) зцР е!~п! =ацу (е!~л!)цг.1>а+ е!е.!/цг.1<а! <( » л <зцр Е!(ь!/06„1>с)+знр Е((«!!116„1<С1<е+с, Е(Кл!)л) = Е(Ы»(/до116„1>с1)+ Е(Кл))лоцг„1<ь1) < Е(К«!/цг 1>с1)+сР(А).
(17) что н доказывает (16). Оказывается, что условие (16) вместе с так называемым условнем «равномерной непрерывности» является необходимым н достаточным для равномерной ннтегрнруемостн. Лемма 2. Для того чтобы семейство случайных величин К„)„>~ было равномерно интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы Е!~„!, и > 1, были равномерно ограничены (т е. было выполнено условие (16)) и чтобы Е(К„!)л), и > 1, были равномерно непрерывны (т.
е. ацр Е((с„!)л)- О, когда Р(А) -~0). ь Доказательство. Необходимость. Условие (16) было проверено выше. Далее, 237 $6. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ Выберем с столь большим, что зир Е(]4ь ]7114„1>,!) < г/2. Тогда если Р(А) < л <г/2с, то из (17) зир Ефь])л) ~(г, ь что и доказывает равномерную непрерывность. Достаточность. Пусть г>0 и й>0 таково, что из условия Р(А) <б следует, что равномерно по и Е(]с„]!л) < г. Поскольку для всякого с > 0 Е]4„! > Е]~„]71!Е„!>,! > сРЯ„! > с) (ср. с неравенством Чебышева), то зир РЩ>с)( — зир Е]Я О, с- оо, 1 а значит, для достаточно больших с в качестве множества А можно взять любое из множеств (]с„! > с), и > 1.
поэтому зир е(](„!7!161>,!) <г, что и доказывает равномерную интегрируемость. Сз В следующем предложении дается удобное достаточное условие равномерной интегрируемости. Лемма 3. Пусть (и Сз, ... — последовательность интегрируемых случайных величин и 6=6(1) — неотрицательная возрастающая функция, определенная для 1> О, такая, что )пп — = оо, 6(г) (18) са аир Е6Щ) <со. (19) Тогда семейство случайных величин (Я„>~ является равномерно интегрируемым. Доказательство. Пусть е > О, М =зир Е6(]с„!), а = —.
Выберем с М Ю г столь большим, что — >а для 1>с. Тогда 6(г) 1 М Е(Кь]71!61>с!] ~ <-Е]6(Кл!)766!>с!] (~ — =г равномерно по всем и > 1. С) 6. Если С и 77 — независимые простые случайные величины, то, как и в п.
5 5 4 гл. 1, доказывается, что Е(П= ЕС. Еп. Установим теперь справедливость аналогичного утверждения в общем случае (см. также задачу 6). Теорема 6. Пусть с и г) — независимые случайные величины с Е]с! <со, Е]г!! <оо. Тогда ЕКП! (оо и Есг) = Ес ° Еп. (20) 238 ГЛ. П.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Доказательство. Пусть сначала Е > О, 21 > О. Положим ч я и 1, - <Е< -~- ) ' л и ( й <ч< -~- ) э=о э=о Тогда С„<С, ]ń— С] <1/и и 21„<21, ]и„— т)]<1/и. Поскольку ЕЕ<со, Е21 < со, то по теореме Лебега о мажорируемой сходимости 1пп ЕС„= ЕЕ, 1пп Ет)„= Еп. Далее, в силу независимости б и 2) ч А! Е~„ц„= 2 — Е)(ь ь+~))~й аз>о А! — — 2 Е)гй 4+11 Е/(Е 1~)1 =Ебп Е21„. ьз>о Заметим теперь, что РК>е]<— Е~ е Доказательство сразу следует из того, что (21) ЕЕ > Е[О!гик!] >е Е114>,! =вР[с )~е].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
