А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Например, с точки зрения интегрирования в смысле Лебега интегралы — и ) — определены и совпадают с 1.,1 для г(х) =х '!21(0, !) х!I2 и х2 и 1(х) =х 21(1, оо) соответственно. Однако здесь 1.'1=со. Таким образом, Е,Т < Е*Т, и, значит, рассмотренные функции не интегрируемы в смысле Дарбу — Юнга, но интегрируемы в смысле Лебега. В рамках изложенного подхода, оперирующего с нижним интегралом Е ) и верхним интегралом Е'), обратимся к интегрированию в смысле Римана. 256 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Будем считать, чтой=(0, 1], Я=йэ (борелевская о-алгебра) и р=Л— мера Лебега. Пусть Г'= Г(х), хай, — некоторая ограниченная функция (условие ее измеримости пока ие налагается). По аналогии с с..( и (.*1 введем нижние и верхние римаиовские интегралы В.г' и В'1, полагая й.г=зцр ~~| ( !п( Г(ы))Л(В;), | )('~=!о! ~ (зцр ~(и|))Л(В|), ыев; где (В|, Вгь ..., В„) образуют конечное разбиение й=(0,!], причем В; имеют вид (ан Ь;] (в отличие от множеств А; в определении (.,1 и (.'), которые были произвольными Ф-измеримыми множествами).
Из приведенных определений очевидно, что й. г < (., г < ь' г < )с* т'. Приведенные в теоремах 9 и 10 свойства иитегрируемости по Римаиу могут быть переформулироваиы и дополнены с привлечением следующих условий: (а) )г')' = )г.г"; (Ь) лебеговская мера множества Р| точек разрыва функции Г равна нулю (Л(01) = 0); (с) существует константа В® такая, что для всякого е>0 найдется б>0 такое, что для всякой конечной системы непересекающихся интервалов (а;, Ь;] с 2 (аь Ь;] = (О, 1] такой, что Л((а;, Ц) <б, иь е (аь Ь!].
Воспользовавшись аргументами теорем 9 и 10, можно доказать (задача 22), что если 4ункция г' ограничена, то (А) условия (а), (Ь), (с) эквивалентны и (В) при выполнении любого из условий (а), (Ь), (с) 12. В этом пункте мы приведем полезную теорему об интегрировании по частям в интеграле Лебега — Стилтьеса. Пусть иа (В, мг()т)) заданы две обобщенные функции распределения р=г(х) и 6=6(х).
$ б. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ 257 Теорема 11. Для любых действительных а и Ь, а < Ь, справедлива следующая формула интегрирования по частям: ь ь Е(Ь)0(Ь) — Г(а)б(а) = $ Е(з-)(16(э)+ $ 6(з) ((Е(з), (62) или, что эквивалентно, Е(Ь) 0(Ь) — Е(а) 0(а) = ь ь =) Е(з-) а(0(э)+ $ 0(з — ) с)Г(з) + ~ ЬЕ(з)Ьб(з), (63) а«ачь где Г(з-) = йш Е(1), (.'(Е(з) = Г(з) — Г(э- ), ((а Замечание 1.
Символически формулу (62) можно записать в следующей «дифференциальной» форме: с)(Г0)=Г с)6+0()Е. (64) Замечание 2. Утверждение теоремы сохраняет свою силу для функций Е н 0 ограниченной (на )а, Ь]) вариации.-(Каждая такая непрерывная справа и имеющая пределы слева функция представима в виде разности двух монотонно неубывающих функций.) Доказательство. Напомним прежде всего, что в соответствии с ь соглашениями п. 2 под интегралом ) понимается интеграл ) .
Поэтому а (а,Ь) (см. формулу (2) в $3) ь ь (Е(Ь) — Е(а))(0(Ь) — 0(а)) = ) (1Г(э) ° $ с(0(Е). Отсюда по теореме Фубини (Е х 6 — обозначает прямое произведение мер, отвечающих Е и 6) находим, что (Е(Ь) — Е(а))(0(Ь) — 6(а)) = ~ с)(Г х 0)(з, () = (а,Ь| х(а,Ь! l(,в()(э, 1)()(Е х 0)(з, 1)+ $ 1(,<()(з, 1) а(Е х 6)(з, () = (а,Ь) х («,Ь) (а,Ь) х(а,Ь! = $ (0(з) — 6(а)) (ХГ(э)+ $ (Г(1 — ) — Г(а)) ()0(() = (а,Ь! (а,Ь! 9 — 9727 258 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ь ь = $ 0(з) дГ(з) + ~ Г(з — ) д6(з) — 6(а)(Г(Ь) — Г(а)) — Г(а)(0(Ь) — 6(а)), а л (65) (67) Если к тому же функция распределения Г(х)= ) Т(з)дз, то к к Г(х)0(х)= ) Г(з)д0(з)+ ) 6(з)г(з)дз. (68) Следствие 2.
Пусть 4 — случайная величина с функцией распределения Г = Г(х) и Еф" < оо. Тогда ~ х" дГ(х) =и ') х" '[1-Г(х)[с1х, (69) о о о ОО [х[" дГ(х)=п ~ х" 'Г(-х)дх (70) Еф"= ~ [х[" дГ(х)=п ~ х" '[! — Г(х)+Г(-х)]дх. ОО о Для доказательства (69) заметим, что (71) ь ь ~ х" дГ(х) = — ~ х" д(1 — Г(х)) = о о ь = — Ь" (1 — Г(Ь))+и $ х" '(1 — Г(х)) дх. (72) о где Тл — индикатор множества А. Из формулы (65) непосредственно следует (62).
В свою очередь (63) вытекает из (62), если только заметить, что ь ~(6(з) — 6(з — )) дГ(з) = 7 сьб(з)сьГ(з). Ок5кь Следствие 1. Если Г(х) и 6(х) — функции распределения, то к к Г(х)0(х) = ) Г(з-) д0(з)+ ) 6(з) дГ(з). йа ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОжидАИНЕ 259 Покажем, что в силу предположения ЕК[" < оо Ь "(! — Р(Ь) — Р( — Ь)) < Ь"РЯ[ > Ь) — О, Ь вЂ” оо. (73) Действительно, Е[6["=Е ~ [х[" йР(х) <оо ь=! ь-! и, значит, Е 1 [["йР() О, Ь ьзь+~ «-~ Но [х[" йР(х) >Ь"Р(ф>Ь) ьвь+~ ь-1 что и доказывает (73) Р " дн (72) к пределу при Ь -+ оо, получаем требу у ф лу (69).
Формула (70) доказывается аналогично. Формула же (71) следует из (69) и (70). 13. Пусть А=А(1), 1>0,— непрерывная справа и имеющая пределы слева функция локально ограниченной вариации (т. е. имеющая ограниченную вариацию на каждом конечном интервале [а, Ь]). Рассмотрим уравнение Ес =1+) х, йА(э), о (74) которое в дифференциальной форме записывают в виде йЕ!=2~-оА(1) Яо=!. (75) Доказанная выше формула интегрирования по частям позволяет (в классе локально ограниченных функций) найти явный вид решения уравнения (74). Введем функцию (называемую стохастической экспонентой; [8?[) Ц(А) елш-жо! П (1+ЬА(э))е-дло! о<зкю (76) 9» где 2зА(з) = А(з) — А(э-) при з > 0 и 2) А(0) = О.
Функция А(з), 0<э <1, имеет ограниченную вариацию и, следовательно, допускает самое большее счетное число точек разрыва, а ряд 200 Гл. и. ИАтемАтические ОснОВАния теОРии ВеРОятнОстей [сьА(з)[ сходится. Отсюда вытекает, что функция 0<яК~ П (1+ьА(з))е-д"и1, 1>О, 0<як! является функцией локально ограниченной вариации. Если обозначить А'(1) =А(1) — 2„ЬА(з) непрерывную составляю- 0<зк8 шую функции А(1), то (76) можно переписать в следующей форме: 4~(А)=е"'н! АЧ0! П (1+ЬА(з)).
(77! 0<зКС Обозначим р(1)=е" н! "!01, 6(1)= и (1+ЬА(з)), 6(0)=1. 0<в~! Тогда в силу (62) 8 (А) =р(Г)6(1) = 1+ $ р(з) Н6(з)+$ 6(з-) с(р(з) = 0 0 =1+ ~~ р(з)6(з — )ЬА(з)+$ 6(з-)р(з)с(А'(з) =!+~в, (А)с(А(з). 0<я<С 0 0 Таким образом, в!(А), 1 > О, является (локально ограниченным) решением уравнения (74). Покажем, что в классе локально ограниченных решений это решение единственное. Предположим, что есть два локально ограниченных решения и У = У(1), 1 > О, — их разность. Тогда У(1) = ~ У(з-) а!А(з).
0 Положим Т =! п( (1 > О: У(1) те О), считая Т = оо, если У(1) = О для всех 1 > О. Поскольку А(1), 1 > О, является функцией локально ограниченной вариации, то найдугся такие две обобщенные функции распределения А1(1) и Аа(1), что А(1) = А1(1) - Аз(1). Если предположить, что Т < оо, то можно найти такое конечное Т' > Т, что [А~(Т')+Аз(Т')[ — [А~(7)+Аз(Т)) » ~2' йа. интеГРАл леБеГА. мАтемАтическОе Ожидлние 26! Тогда нз уравнения У(Т) = З У( — ) йА(з), г ) т, г следует, что 2 хг и поскольку зцр !У(!)! <оо, то У(!) =О для Т<! < Т', что противоречит кг' предположению Т < оо. Итак, доказана следующая Теорема 12. 8 классе локально ограниченных функций уравнение (74) имеет и аритом единственное решение, задаваемое формулой (76).
14. Задачи. 1. Доказать представление (6). 2. Показать, что справедливо следующее обобщение свойства Е. Пусть с и и — случайные величины, для которых определены Ес н Ег) н выражение Ес + Еп имеет смысл (не имеет вида оо — оо нлн — со+ оо). Тогда Е(с'+г)) = Е4+ Еп. 3. Обобщить свойство с, показав, что если с =и (п. н.) н ес существует, то Еп также существует н Еп = Ес. 4. Пусть с — расширенная случайная величина, р — о-конечная мера, ) К!йр<оо. Показать, что тогда (()<оо (и-п. н.). (Ср. со свойством 3.) 6. Пусть и — о-конечная мера, с н г) — расширенные случайные величины, для которых ) С и)х и ~РТ)дгх определены. Тогда, если для всех А е Я ~ с с(,и < ~ и йи, то ( < и (1»-и.
н.). (ср. со свойством !.) А Я 6. Пусть с н и — независимые неотрицательные случайные величины. Показать, что тогда Есг) = Еч' ЕЧ. 7. Используя лемму Фату, показать, что Р(йш А„) <!пп Р(А„), Р(1пп А„) <!пп Р(А„). 8. Привести пример, показывающий, что в теореме о мажорнруемой сходнмостн условие «!Я <и, Ег) <со» не может быть, вообще говоря, ослаблено. 9. Привести пример, показывающий, что в лемме Фату условие «4, < и, Ег) > -оо» не может быть, вообще говоря, отброшено. 262 ГЛ.
Н. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1О. Доказать справедливость следующего варианта леммы Фату. Пусть семейство случайных величин (С+)„>1 равномерно ннтегрируемо. Тогда 1!1П ЕЬ« ~< Е 81П (и !!. Функция Дирихле (1, х — иррациональное, а)(х) = ~0, х — рациональное, определенная на [О, 1], ннтегрируема по Лебегу, но не интегрируема по Рнману. Почему? !2. Привести пример последовательности интегрируемых по Риману функций (7„)„>1, заданных на [О, 1] и таких, что [7"„[ < 1, 7„- 7 почти всюду по мере Лебега, но 7 не интегрируема по Риману.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
