А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Если А е Ун то по определению Е[Е(([У2) ]У,] ~ Е[ЕК]У) [У~] УР= ~ Е(4]Ж) (Р. 4 4 Функция Е(С [Уз) является Уз-измеримой, н поскольку 92 С Ун то н У~-измеримой. Отсюда следует, что Е(С [Уз) есть один нз вариантов условного математического ожндання Е[Е((]У2)[У~], что н доказывает свойство )*. ,)*. Поскольку ЕС является У-измеримой функцией, то остается проверить, что для любого В Е У ~~дР=) ЕсаР, в в т.
е. что Е[С!в] = Е5 Е!в. Если Е[с! с со, то это сразу следует нз теоремы 6 $ 6. В общем случае вместо теоремы 6 В 6 надо воспользоваться результатами задачи 6 нз того же параграфа. Доказательство свойства К*, опирающееся на утверждение а) следующей далее теоремы 2, будет дано несколько позднее. Теорема 2 (о сходнмости под знаком условных математических ожиданий). Пусть К„)„>, — последовательность (расширеннык) случайнык вели ч и и. $7. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ 273 а) Если )Я < и, Еп < со и Е„~ 4 (и.
н.), то Е(Е„/У) — + Е(Е/У) (и. и.) Е߄— Е1 !У) - 0 (и. и ). Ь) Если Е„> г), Ег) > — со и Е, ) 4 (и. н.), то Е(4„(У) ) Е(4!У) (и. и). с) Если 4„< г), Ег) < оо и Е„( Е (и. н ), то ЕК„)У) 1Е((~У) (п. и.). д) Если Е„> и, Еп > — оо, то Е()1гп Е„)У) < 1пп Е(Е„(У) (и. н.). е) Если Е„<п, Ег)<оо, то )пп Е((„)У) < Е((йипп 4„)У) (и. н.). 0 Если Е„>0, то Е (~~ Е„~У) =~~~ Е(Е„~У) (п. н.). Доказательство.
а) Пусть ~„= знр )Š— Е,1 Поскольку Е„- Е (п. н.), евп то ~„(0 (п. н.). Математические ожидания ЕЕ„и ЕЕ конечны, поэтому в силу свойств О* и С* (п. н.) )Е(Е, )У) — Е(Е(У)) =)Е(ń— Е)У)) < Е()Е„-41)У) < Е(~„)У). Поскольку Е(С,+~1У) < Е(~„1У) (п. н.), то (п. н.) существует предел И = = 11гп Е(~„1У). Тогда 0 < ) И с(Р < $ Е(~'„/ У) НР = $ ~„ИР -+ О, и -+ со, где последнее угверждение следует из теоремы о мажорируемой сходимости, поскольку 0<~„<2ц, Еп<оо. Следовательно, ~ ИаР=О и по свойству Н И=О (п.н.). Ь) Пусть сначала г) гв О.
Поскольку Е(Е„) У) < Е(Еч~ ) У) (п. н), то существует (п. н.) предел ~(м) = йгп Е(Е„)У). Тогда из равенства ~ Е„ЫР=~ е(Е,)У)аР, АВУ, л 4 274 ГЛ. Н. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и теоремы о монотонной сходимости ~ (НРлл ~ ЕК(У)ИР=~ ~д!Р, А ЕУ. Следовательно, по свойству, аналогичному свойству 1, и задаче 5, с = =~ (п. н.). Для доказательства в обшем случае заметим, что 0<С+! С+, и по доказанному ЕК+ !У) ! ЕК+ (У) (п.
н.). (7) Но 0<(„<С, Ес <оо, поэтому в силу а) ЕК, )У)- Е(Г(У), что вместе с (7) доказывает Ь). Утверждение с) вытекает из Ь). д) Пусть ч„= 1п( с, тогда ~„Т С, где ~ = 11гп с„. Согласно Ь), Е(С,, ! У) 7 в>л Т Е(~!У) (п. н.), Поэтому (п. н.) Е(5гп ~л ! У) = Е(~ ! У) = 11гп Е Кл ! У) = 1нп Е(Сл ! У) < ~1пп Е Кл (У). Утверждение е) вытекает из б).
1) Если ~„> О, то по свойству 0* л л е ~~~ с41У) = ') еКА1У) (п. н.), ь=! 4=1 что вместе с Ь) и доказывает требуемый результат. С) Приведем теперь доказательство свойства К". Пусть 7) = (а, В е У. Тогда для всякого А Е У ) 97г(Р= ) Сг(Рлл ) Е(С!У)4(Р=) lвЕ(С'1У)оР= )7)Е(С1У)дР. Апа Аоз В силу аддитивности интеграла Лебега равенство ~ 9)НР=~ 77Е(~(У)НР, АЕУ, А А (8) Е(И77(У) =7)Е(((У) (п. н.). останется справедливым и для простых случайных величин 71= 2' уь(а„ 4=1 Вь ЕУ.
Поэтому по свойству! ($6) для таких случайных величин й 7. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ Пусть теперь и — произвольная У-измеримая случайная величина и (~„)„в) — последовательность простых У-измеримых случайных величин таких, что )г)4 < )г)! и г)п — т). Тогда в силу (9) Е((т)„)У) =г)„Е(~~У) (п. н.). Ясно, что )~п„~ <)с4, где Е)сг)) <оо.
Поэтому по свойству а) теоремы 2 Е(~П, !У) — Е((г))У) (п. н.). т(г)(ы)) = Е(с (п)(ы). Эту функцию т(у) будем обозначать через Е(4!П=у) и называть условным математическим ожиданием с относительно события (г)=у) или условным математическим ожиданием С при условии, что г)=у. В соответствии с определением ~СдР=) Е(С)г))дР=) т(п)дР, АЕУч. (11) 4 А А Поэтому по теореме 7 $6 (о замене переменных под знаком интеграла Лебега) т(г)) дР = $ т(у)Рч(ду), В ЕЯ()т), (12) )м;чеа) где Р„ — распределение вероятностей и. Следовательно, т =т(у) есть борелевская функция такая, что для всякого В б йу()т) с д Р = $ т(у) Рч(ду). (! 3) )че чав) в Это замечание подсказывает, что к определению условного математического ожидания Е(оп=у) можно прийти и иначе.
далее, так как Е)с) < со, то Е(4) У) конечно (п. н.) (см, свойство С*, свойство Л ($6)). Поэтому г)„Е(С)У)-+т)Е(с)У) (п. н ). (Предположение о конечности почти наверное Е(с )У) существенно, поскольку, согласно сноске на с. 218, 0 оо=О, но если п„=)/и, т)ьэО, то — оотг+0 ° со=О.) 1 Замечание. Свойство К" сохраняет свою силу, если выполнены лишь следующие условия: г) является У-измеримой и Е(С)У) определено.
5. Рассмотрим подробнее структуру условных математических ожиданий Е(С ~ У ), обозначаемых, как было условлено выше, также через Е(С ~ и). Поскольку Е(с ~г)) является У„-измеримой функцией, то, согласно теореме 3 из $ 4 (точнее — очевидной ее модификации для расширенных случайных величин), найдется такая борелевская функция т= т(у), определенная на Й и со значениями в )г, что для всех май 276 ГЛ. !!. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Определение 4. Пусть С и 77 — случайные величины (быть может, и расширенные) и ЕС определено.
Условным математическим ожиданием случайной величины С при условии, что 7(=у, назовем всякую Я(й)-измеримую функцию т = т(у), для которой с а'Р = ) т(у) Рч(йу), В Е Я(В). (««чев! в Тот факт, что такая функция существует, следует опять же из теоремы Радона †Никоди, если заметить, что функция множеств 0(В)= ~ сйР («ччЕВ! является мерой со знаком, которая абсолютно непрерывна относительно меры Р„. Предположим теперь, что т(у) есть условное математическое ожидание в смысле определения 4.
Тогда, применяя снова теорему о замене переменных под знаком интеграла Лебега, находим, что 5йР= ~ т(у) Рч(йу) = ~ т(п) йР, В е Я()~). («ч »ЕВ! В (««ЧЕВ! Функция т(г() является Уч-измеримой, и множествами (ин ЛЕВ), В Е Я((т), исчерпываются все множества из Уч. Отсюда вытекает, что т(!7) есть математическое ожидание Е(67)). Тем самым, зная Е(С]7(=у), можно восстановить Е(С]г)), и, наоборот, по Е(С]7)) можно найти Е(С ]!)=у).
С интуитивной точки зрения условное математическое ожидание т(у) = =Е(~]ч=у) является более простым и понятным объектом, нежели Е(С]г)). Однако математическое ожидание Е(С]77), рассматриваемое как йтч-измеримая случайная величина, более удобно в работе. Отметим, что приведенные выше свойства А» — К« и утверждения теоремы 2 легко переносятся на условные математические ожидания Е(с]г)=у) (с заменой «почти наверное» на «Р„-почти наверное»). Так, например, свойство К" переформулируется следующим образом: если Е]С] < оо, Е]СГ(г()] < оо, где )' = 7(у) — Я()т)-измеримая функция, то Е(АД!()]о=у) = 7(у) Е(67)=у) (Р„-п. н).
((5) Далее (ср. со свойством з*), если С и 77 независимы, то Е((] !) =у) = Е~ (Р„-п. н). Отметим также, что если В Е Я()т2) и С и 7) независимы, то Е((ВЦ, и) ]г(=у] = Е/В(4, у) (Р„-п. н.), ((6) 277 67. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ н если р = р(х, у) — Я(В2)-измеримая функция такая, что Е[у(Е, ))) [ < оо, то Е[р(6, ))) [)) =у) =Е[р(Е, у)) (Р„-п, н ). Для доказательства (16) заметим следующее. Если В = В, х В2, то для справедливости (16) надо лишь проверить, что (в, хв,(6 ))) Р()()с) = ~ Е(в, явЯ, у) Р„(йу). (м: чел) (уел) Нолевая часть есть Р(66 В), ))ЕАГ)В2), а правая — Р(4ЕВ)) Р())ЕАПВ2), и их равенство следует из независимости 6 и )7. В общем случае доказательство проводится с применением теоремы ! из 5 2 о монотонных классах (ср.
с соответствующим местом в доказательстве теоремы Фубини). Определение 6. Условной вероятностью события А Е,Р лри условии, что ))=у (обозначение: Р(А[))=у)), будем называть Е((я[у=у). Понятно, что Р(А[))=у) можно было бы определять как такую мг()с)-измеримую функцию, что Р(А) )()) еВ)) = ~ Р(А [))=у) Р„(с(у), В 6йй(В). (17) в 6.
Приведем некоторые примеры вычисления условных вероятностей и условных математических ожиданий. Пример 1. Пусть )7 — дискретная случайная величина с Р(г)=уз) > О, Р())=уз)=1. Тогда ь=! Для у й(у), уз, ...) условную вероятность Р(А [)) =у) можно определить произвольным образом, например, положить равной нулю. Если Š— случайная величина, для которой существует ЕЕ, то Е(Е[))=уз)= ) с)(Р. ( т=ю) условное математическое ожидание Е(6[т) =у) для у (ь(у), уз, " ) определяется произвольно (например, полагается равным нулю). Пример 2. Пусть (Е, ))) — пара случайных величин, распределение котоРых обладает плотностью Тс „(х, У): Р((4,7))ЕВ)=~ ~ел(х,у)с(х)(у, ВЕМ(й~), в 278 ГЛ. 1!. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пусть )~(х) и 7ч(у) — плотности распределения вероятностей случайных величин с и 0 (см.
(46), (55), (56) $6). Обозначим ~,~( ~у) = ""'"'"', (18) 7ч(в) полагая )~Гч(х )у) =О, если Ц„(у) = О. Тогда Р(с е С (и = у) = ~ ~с ~ „(х ( у) Их, С е М(17), с (19) т.е. ~Е~„(х(у) есть плотность условного распределения вероятностей. В самом деле, для доказательства (19) достаточно убедиться в справедливости формулы (17) для В Е М(й), А = К Е С).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
