А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Пусть и — число появлений «герба» при и независимых подбрасываниях такой монеты. Спрашивается, чему равна «условная вероятность Р(и=я]4=х)»? Поскольку РК=х)=0, то интересующая нас «условная вероятность Р(и =й]с =х)» пока не определена, хотя интуитивно понятно, что эта «вероятность должна была бы быть равна Сьхь(! — х)" "».
Дадим теперь общее определение условного математического ожидания (и, в частности, условной вероятности) относительно а-алгебр У, У СХ, и сравним его с определением, данным в $8 гл. ! для случая конечных вероятностных пространств. 2. Пусть ((),.Уг, Р) — вероятностное пространство, У вЂ” некоторая о-алгебра, У С Х (У вЂ” и-подалгебра У) и С =4(ы) — случайная величина. Напомним, что, согласно $ 6, математическое ожидание ЕС определялось в два этапа: сначала для неотрицательных случайных величин с, а затем в общем случае с помощью равенства Еь' = ЕС+ — ЕС и только (чтобы избежать неопределенности вида оо — со) в предположении, что ппп(Е(, Е~+)(оо.
Подобная двухэтапная конструкция применяется и при определении условных математических ожиданий Е(ч ]У) Определение 1. !) условным математическим ожиданием неотрицательной случайной величины С относительно о-алгебры У называется неотрицательная (расширенная) случайная величина, обозначаемая Е(э[У) или Е(с]У)(ы), такая, что а) Е(с[У) является У-измеримой; 268 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Ь) для любого А е У ~ ИР=~ Е(6У)дР.
(1) 4 4 2) Условное математическое ожидание Е(с1У), или Е(~~У)(ы), произвольной случайной величины с относительно о-алгебры У счи- тается определенным, если Р-п. н. т1п(Е(С+1У), Е(С )У)) <оо, и задается формулой Е((!У)=Е(с+)У) — Е(с 1У), причем на множестве (нулевой вероятности) тех элементарных событий, для которых Е(С+)У) =Е(С )У) =со, разность Е(С+)У) — Е(С )У) определяется произвольно, например, полагается равной нулю. Прежде всего покажем, что для неотрицательных случайных величин Е((~У) действительно сушествует. Согласно п.8 $ б, функция множеств 0(А) = ) с дР, А Е У, (2) 4 является мерой на (й, У), которая абсолютно непрерывна относительно меры Р (рассматриваемой на ((), У), УС.У).
Поэтому (по теореме Радона — Никодима) сушествует такая неотрицательная У-измеримая расширенная случайная величина Е(~~У), что 0(А) = ~ Е ® У) дР. (3) 4 Из (2) и (3) следует соотношение (1). Замечание 1. В соответствии с теоремой Радона — Никодима условное математическое ожидание Е(С(У) определяется однозначно лишь с точностью до множеств Р-меры нуль. Иначе говоря, в качестве Е(с )У)(ы) можно взять любую У-измеримую функцию г(ы), называемую вариантом условного математического ожидания, для которой 0(А) = ~ г(ы) дР, А ЕУ. Отметим также, что, согласно замечанию к теореме Радона — Никодима, Е(4)У) ее — (ы), ЫО (4) т. е. условное математическое ожидание есть не что иное, как производнал Радона — Никодима меры 0 относительно меры Р (рассматриваемых на (й, У)). $7. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖУЯАНИЯ 269 ОК[У) =Е[К вЂ” ЕК[У))2[У[ (ср. с определением Р(С [ У) относительно разбиения У, данным в задаче 2 $8 гл.
1, и с определением дисперсии в $8). Определение 2. Пусть В е Я. Условное математическое ожидание Е(1в[У) обозначается Р(В[У) или Р(В[У)(ы) и называется условной вероятностью события В относительно и-алгебры У, УС,йг. Из определений 1 и 2 следует, что для каждого фиксированного В е.йг условная вероятность Р(В [У) есть такая случайная величина, что: а) Р(В [У) является У-измеримой, Ь) для любого А е У Р(А П В) = ~ Р(В [У) д Р. (5) Определение 3. Пусть с — случайная величина и ӄ— т-алгебра, порожденная некоторым случайным элементом г). Тогда Е(с[У„), если оно определено, обозначается Е®г)) или Е(~[я)(ы) и называется условным математическим ожиданием С относительно и.
Условная вероятность Р(В [У„) обозначается Р(В [г)) или Р(В [п)(ы), и называется условной вероятностью события В относительно и. 3. Покажем, что данное здесь определение ЕК[У) согласуется с определением условного математического ожидания $8 гл. 1. Полезно заметить, что если неотрицательная случайная величина Е такова, что Ес < со, то ЕК [У) < оо (Р-п. н.), что непосредственно вытекает из (1). Аналогично, если с < 0 и Ес > — оо, то ЕК [У) > — со (Р-п. н.).
Замечание 2. В связи с соотношением (1) отметим, что мы не можем, вообще говоря, положить ЕК[У) =с, поскольку случайная величина Е не обязана быть У-измеримой. Замечание 3. Предположим, что случайная величина с такова, что для нее существует Ес. Тогда ЕК [У) можно было бы определить как такую У-измеримую функцию, для которой справедливо (1). Обычно именно так и поступают. Приводимое нами определение Е(с [У) се ЕК+ [У) — Е(Е [У) обладает тем преимуществом, что в случае тривиальной а-алгебры У= =(а, й) оно превращается в определение Ес и при этом оно не предполагает существования Ес. (Например, если с — случайная величина с Ес+ =ос, Ес =со, а У=Я, то Ес не определено, но в смысле определения 1 ЕК [У) существует и есть просто С =С+ — С .) Замечание 4. Пусть условное математическое ожидание ЕК [У) определено. Условной дисперсией О К [У) случайной величины С относительно о-алгебры У называется случайная величина 1 270 ГЛ, и.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пусть У =(О!, 02, ...) — некоторое конечное илн счетное разбиение с атомами 0; (~', О!=!!) такими, что Р(0;))О, ! >1. ! Теорема 1. Если У = т(У) и Š— случайная величина, для которой ЕЕ определено, то Е(Е[У) = Е(([0;) (Р-и. и. на 0;) (6) или, что то же, Е(Е[У)= ' (Р-л.н. на О!). Е(41о,) (Зались «Е=л (Р-л. н. на А)» или «Е=!) (А; Р-л.
н.)» означает, что Р(АПК~г)))=0.) Доказательство. Согласно лемме 3 из $4, на О! Е(Е[У) =Кь где К; — постоянная. Но ~ ЕйР»» ~ Е(Е[У)йР=К!Р(0!), о, о, откуда К=Р(0) ) Ей𫫠— Р0 =Е(Е[0(), 1 Е(Его,) С) Таким образом, введенное в гл. 1 понятие условного математического ожидания Е(Е[У) относительно конечного разбиения 9=[0!, ..., 0„) является частным случаем понятия условного математического ожидания относительно о-алгебры У =о(У). 4. Свойства условных математических ожиданий. Будем предполагать, что для всех рассматриваемых случайных величин Е, г) математические ожидания определены и о-алгебра У С.У.
А". Если С вЂ” постоянная и Е = С (л. и ), то Е(Е [У) = С (л. и ). В*. Если Е < г) (п. н ), то Е(Е [У) < Е(г) [У) (л. н ). С*. [Е(Е[У)[< Е([Е[[У) (л. и ). О*. Если а, Ь вЂ” постоянные и аЕЕ+ ЬЕ«1 определено, то Е(ай+Ьг1[У)=аЕ(Е[У)+ЬЕ(г)[У) (п.н). Е*. Пусть У, =(!В, ()) — тривиальная а-алгебра. Тогда Е(Е[.У,) = ЕЕ (л. н.). Г*. Е(Е [,У) = Е (п.
н.). С*. Е(Е(Е[У)) = ЕЕ. Н*. Если У! С Уз, то справедливо (первое) «телескопическое свойство»: Е[Е(Е [Уз) [У! [ ««Е(Е[У!) (п. н ). Е1. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ 22! 1*. Если У1 ЭУ2, то справедливо (второе) «телескопическое свойство»: Е(Е(6(2$) Я) = Е(6/У2) (и. н.). з*. Пусть случайная величина 4, для которой ЕС определено, не зависит от а-алгебры У (охе.
не зависит от lа, В 6У). Тогда ЕК ~У) = Ес (и. и.). Ке. Пусть г) — У-измеримая случайная величина, Е~()<оо и Е(6г)( < оо. Тогда Е((и~У) =г)ЕК!У) (и. и.). Приведем доказательства этих свойств. А". Функция, равная постоянной, измерима относительно У. Поэтому остается лишь проверить равенство )~йР=~СаР, АбУ. л А Но в силу предположения б = С (и, н.) и свойства С из $6 это равенство выполнено очевидным образом.
В*. Если С < и (и. н.), то по свойству В из $6 ~(с(Р<~ г)йР, АбУ, л 4 а значит, ~ Е(6(У)йР<~ Е(г)(У)йР, АбУ. А л Тогда требуемое неравенство следует из свойства ! 5 6). С*. Это свойство вытекает из предыдушего, если учесть, что -ф < (б()б). 0*. Если множество А б У, то, согласно задаче 2 из ф 6, ')(аС+ ЬП) йР = ) а4а'Р+') ЬийР = л А л =) аЕ(6!У)аР+) ЬЕ(п!У)йР=)(аЕ(6!У)+ЬЕ(г)(У)]а'Р, л л 4 что и доказывает свойство 0"'.
Е*. Это свойство следует из замечания, что ЕС является Уг.-измеримой функцией, и того факта, что если А = й или А = я~, то очевидным образом ') бйР=) ЕсйР. л А 272 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Р*. Поскольку С вЂ”.йг-измерима и ~ (НР = ~ Е®Я) дР, А е.У, 4 4 то Е(с !.У) = с (п. н.). С*. Это свойство вытекает нз Е* н Н*, если взять У1 =(о, й) н Уз =У. Н*.
Пусть А е Уь Тогда ~ Е(~]У1)дР= ~ ~НР. 4 4 Так как У~ С У2, то А Е Уз н, значит, ~ Е [Е(4 ! Уг) ! У~ ] г(Р = ~ Е(( ! Уз) г(Р = ~ ~ с! Р. 4 4 4 Следовательно, вля А еУ~ ~ е(е]у) л =$ е[еЫ]у)]У](Р н, рассуждая также, как н прн доказательстве свойства ! $ 6 (см. также задачу 5 $6), получаем, что Е((]У1)=Е[Е(([У2)]У~! (п.н). )*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
