А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В силу (43), (45) В 6 и теоремы Фубини ь)„(*~У)ш* Р ИУ)=1 1 ь) (*~У)и*)! ~У)Ф в ~с 1, ~41„(х ~у)Д„(у) Нх Ыу = ~ ~ел(х, у) дх Ну = схв Схв = Р((С, т)) Е С х В) = Р((С Е С) П (и Е В)), е(б)и=у)= ) х~с~ч(х(у)Вх. (20) Пример 3. Пусть длительность работы некоторого прибора описывается неотрицательной случайной величиной и = г1(ы), функция распределения которой Рч(у) имеет плотность |„(у)(естественно, что гч(у) = Д„(у) =О для у < 0). Найдем условное математическое ожидание Е(п — а ( и > а), т е. среднее время, которое прибор еще проработает в предположении, что он уже проработал время а. Пусть Р(п > а) > О.
Тогда, согласно определению (см. п. !) и (45) $6, Ь а)'и> 1Р(в'4 ~(в-а))ч(у) (и е((. а)/м>.,) Е(т) — а ~ и > а)— ~ 7ч(в)Ф а что и доказывает (17). Аналогичным образом устанавливается следующий результат: если Е4 существует, то $7. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ 279 Ле лд у>0 /ч(У) у<0, (21) то 7)= (з)['))0)=1/Л и лля любого а>ОЕ(г) — а[О>а) — !/Л Ина говоря, в этом случае среднее время, которое прибор еще проработает, в предположении, что он уже проработал время а, не зависит от значения а и совпадает просто со средним временем Еп.
В предположении (21) найдем условное распределение Р(п — а <х[г) > > а). Имеем Р(а ~ (Ч < а + х) Р„(а + к) — Гч(а) + Р(Ч = а) Р(ч > а) ! — Рч(а) + Р(ч = а) [! -л(ач»)] [! -л«] -ха[1 -лх] 1 — [1 — е-"«] е-"« Таким образом, условное распределение Р(г) — а <к[7) >а) совпадает с безусловным распределением Р(г) <х). Это замечательное свойство экспоненциального распределения является характеристическим: не существует других распределений с плотностями, обладающих свойством Р(г) — а < х [и > а) = Р(п < х), а > О, О < х < оо. Пример 4 (игла Бюффона).
Пусть на «коридор» бесконечной длины и единичной ширины (рис. 29) на плоскости «случайным» образом бросается игла единичной длины. Спрашивается, какова вероятность того, что игла пересечет (по крайней Рис. 29. мере одну) стенку коридора? Чтобы решить эту задачу (на геометрические вероятности), определим прежде всего, что означает, что игла бросается «случайным» образом. Пусть с — расстояние от центра иглы до левой стенки.
Будем предполагать, что С равномерно распределено на отрезке [О, 1], а (см. рис. 29) угол У равномерно (Рв(йа) = На) распределен на [ — 1г/2, и/2]. Кроме того, будем предполагать с и у независимыми. Пусть А — событие, состоящее в том, что игла пересечет стенку коридора. Легко видеть, что если В = ((а, х): [а[ < —, х е [О, — соз а] ).) [! — — соз а, 1~ ~, Интересно отметить, что если случайная величина и экспоненциально распределена, т.е. 280 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ то А = («г:(д, ~) е В), и, значит, интересуюшая нас вероятность Р(А) = Е/А(«г) = Е/в(д(«г), 6(«г)). В силу свойства 0* и формулы (16) Е/в(д(ы), Е(«г)) = Е(Е]1в(д(ш), 6(«г)) ]д(«г)]) = л/э = ~ Е]/в(д(ы), С(ьг)) ]д(«г)]Р(г1«г) = ~ Е]/в(д(«г), Е(ьг))1д(«г) =а] Ре(г(а) = и -л/2 1 1 2 — — Е/в(а,б(ьг))г(а= — ) соз аг(а= —, « гг гг' -л/з -л/э где мы воспользовались также тем, что Е/в(а, 6«г)) = Р(~ Е [О, — соз а]с1 [1 — — соз а] ) = соз а.
Итак, вероятность того, что «случайным» образом брошенная на коридор игла пересечет его стенки, равна 2/л. Этот результат может быть положен в основу экспериментального определения значения числа л. В самом деле, пусть игла бросается независимым образом А/ раз. Определим цг равным 1, если при 1-м бросании игла пересекает коридор, н равным 0 в противном случае. Тогда в силу закона больших чисел (см., например, (6) $5 гл.!) для всякого е > 0 Р (~~г '" ~~ — Р(А)~ >е) — О, А/- со. В этом смысле частота ш+...+чя р(А) 2 АГ гг и, значит, 2А/ ж гг. гп + "+чя Именно эта формула и послужила основой для статистического определения значения числа л.
В 1850 г. Р Вольф (Цюрих) бросал иглу 5000 раз и получил вля л значение 3,1596. По-видимому, этот способ был одним из первых методов (известных теперь под названием «метода Монте-Карло») использования вероятностно-статистических закономерностей в численном анализе.
Замечание. Рассмотренный пример 4 (задача Бюффона) является типичным примером задач на геометрические вероятности. Весьма часто в таких задачах из простых геометрических соображений, типа «симметрии», видно, как задавать вероятности «элементарных событий». 281 47. услОВные ВеРОятнОсти и Ожидлния (Ср. с пп. 3 и 4 в 5 1 главы! н $3 настоящей главы.) Формулируемые далее задачи 9 — 12 являются задачами на геометрические вероятности.
7. Если (Я„>1 — последовательность неотрицательных случайных величин, то, согласно утверждению () теоремы 2, Е (~ с„1У) = ~~~ Е(с„1У) (п. н.). В частности, если Вь В2, ... — последовательность попарно непересекающихся множеств, то Р Е В 1У) = Е Р(В 1У) ( ..). (22) Важно подчеркнуть, что это равенство выполнено лишь почти наверное и, следовательно, условную вероятность Р(В ~ У)(ы) нельзя рассматривать при фиксированном ы как меру по В. Можно было бы подумать, что, за исключением некоторого множества 4' меры нуль, Р( ~У)(ы) является все же мерой для ые.Х, где.у' — некоторое множество меры нуль.
Однако это, вообще говоря, не так в силу следующего обстоятельства. Обозначим.р'(Вн Вх, ...) то множество исходов ы, где для заданных Вь В2, ... не выполнено свойство счетной аддитивности (22). Тогда исключительное множество Ф' есть 1=Ц 4(В,,В2, ...), (23) где объединение берется по всем непересекающимся Вн Вз, ... из У. Хотя Р-мера каждого множества .Ф'(Вь Вэ, ...) равна нулю, Р-мера множества 4' может оказаться (в силу несчетности объединения в (23)) ненулевой. (Вспомним, что лебеговская мера отдельной точки равна нулю, а мера множества .У'= [О, 1), являющегося несчетной суммой одноточечных множеств (х); 0 < к < 1, равна единице.) В то же время было бы удобно, чтобы условная вероятность Р( ) У)(ы) являлась мерой для каждого ы Е й, поскольку тогда, например, подсчет условных математических ожиданий Е(с(У)(ы) можно было бы осуществлять (см.
далее теорему 3) просто с помощью усреднения по мере Р(. !У)(ы): Е(~(У)(ы) = ~ 4(й)Р(йй)У)(ы) (п. н.) (ср. с (10) $8 гл.1). Введем такое Определение 6. Функцию Р(ш; В), определенную лля всех ы ей и В Е.У, назовем регулярной условной вероятностью относительно в-алгебры У С,У, если: а) дая каждого ыЕ й Р(ы; ) есть вероятностная мера на уг; 282 ГЛ.
И. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Ь) дпя каждого В Е У' Р(ш; В) как функция от ш есть один из вариантов условной вероятности Р(В (У)(ш), т. е. Р(ш; В) = Р(В !У)(ш) (п. н.). Теорема 3. Пусть Р(ш; В) — регулярная условная вероятность относительно У и Š— интегрируемая случайная величина, Тогда Е(Е!У)(ш) = ~ Ош) Р(ш; дш) (и. и.). (24) Доказательство. Если Е = (в, В е лг, то требуемая формула (24) и ревращается в равенство Р(В (У)(ш) = Р(ш; В) (п.
н.), выполнимое в силу определения 6 Ь). Следовательно, (24) выполнено для простых функций. Пусть теперь Е ) 0 и Е„ )Е, где Е„ — простые функции. Тогда по свойству Ь) теоремы 2 Е(Е!У)(ш) = (пп Е(Е„1У)(ш) (п. н.). Но поскольку для каждого ш Е й Р(ш; .) есть мера, то по теореме о монотонной сходимости 1пп Е(Е„1У)(ш) = !нп ~ Е„(ш) Р(ш; дш) = ~ Е(ш) Р(ш; с(ш). "и п Общий случай сводится к рассмотренному с помощью представления Е=Е+-Г П Следствие. Пусть У=У„, где и — случайная величина, причем пара (Е, г)) имеет плотность распределения вероятностей )г „(х, у).
Пусть Е(д(0! <оо. Тогда Е(д(О!г1=у)= ~ бх)~е!р(х!у)дх, где )Е 1р(х !у) — плотность условного распределения (см. (18)). Чтобы сформулировать основной результат о существовании регулярных условных вероятностей, нам понадобятся следующие определения. Определение 7. Пусть (Е, У) — измеримое пространство, Х =Х(ш)— случайный элемент со значениями в Е и У вЂ” о-подалгебра Уг. Функция Я(ш; В), определенная для ш ей и В ел', называется регулярным условным распределением Х относительно о-алгебры У, если: а) лля каждого ш Е О О(ш; В) есть вероятностная мера на (Е, в); Ь) лля каждого В е У О(ш; В) как функция от ш есть один из вариантов условной вероятности Р(Х е В !У)(ш), т.
е. !',!(ш; В)=Р(ХЕ В(У)(ш) (п.н.). 47. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ 283 йпределенне 8. Пусть с — случайная величина. Функция р = Г(ю; х), ,„Ей, кЕВ, называется регулярной функцией распределения для С относительно а-алгебры У, если: а) для каждого ш с й р(иц к) есть функция распределения на Д; Ь) для каждого хек р(иц х)=Р((<х!У)(м) (п.н).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
