А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 51
Текст из файла (страница 51)
11. На единичном квадрате (с вершинами (О, О), (О, 1), (1, 1), (1, О)) «случайным образом» (поясните!) выбирается точка Р =(х, у). Найти вероятность того, что эта Р точка будет ближе к точке (1, 1), нежели к точке (1/2, 1/2). 12. Два человека А и В договорились о встрече между 7 и 8 часами вечера. Но оба забыли точное время встречи и приходят между 7 и 8 часами «случайным образом» и ждут не более 10 минут. Показать, что вероятность их встречи равна 11/36. 13. Пусть Х,, Хз, . — последовательность независимых случайных вел личин, 5„= 2 Хь Показать, что 5~ и 5з условно независимы относительно (=1 о-алгебры а(52), порожденной величиной 52. 47, услОВные ВеРОятнОсти и Ожиддния 299 14. Будем говорить, что а-алгебры У~ и Уз условно независимы относительно а-алгебры Уз, если Р(А1А2!Уз)=Р(А~ !Уз) Р(А2)Уз) длЯ всех А; ЕУН)=1 2 Показать, что условная независимость У| и Уз относительно Уз равносильна выполнению (Р-п.
н.) любого из следующих условий: (а) Р(А~ !гг(УзоУз))=Р(А1!Уз) для всех А1ЕУН (Ь) Р(В )а(У2 !!Уз)) = Р(В !Уз) для любого множества В из системы подмножеств Вин образующих я-систему такую, что У1 = а(Вз~); (с) Р(В~В2!гг(У20Уз)) =Р(В~ !Уз) Р(В2!Уз) для любых множеств В1 н Вз из я-систем Вз~ и .Уз соответственно таких, что У| =о(дз~) и Уз = а(аз) (д) Е(Х ! а(У2! !Уз)) = Е(Х ! Уз) дзя любой а(У2 11Уз)-измеримой случайной величины Х с определенным (см.
определение 2 в $ 6) математическим ожиданием ЕХ. 15. Доказать следующую расширенную версию леммы Фату для условных математических ожиданий (ср. с (д) в теореме 2). Пусть (з),,У, Р) — вероятностное пространство и (5„)„в1 — последовательность случайных величин таких, что определены математические ожидания Ес„, и > 1, и Е 1пп с„(которые могут принимать и значения ~со; см.
определение 2 в 9 6). Предположим, что У есть под-а-алгебра событий из Уг и вир Е(с„l(5„>а))У)- 0 (Р-п.н.), а- оо. Тогда Е(!пп 4„!У) <!'пп Е(с„!У) (Р-п. н.). 16. Пусть, как и в предыдущей задаче, (5„)„>~ — последовательность случайных величин, для которых определены математические ожидания Ес„, п > 1, и У вЂ” под-а-алгебра событий из Уг такая, что (60) зпр 1пп Е()Я/()4„(>й))У)=0 (Р-п.н.).
л е <"> Тогда если с„- с (Р-п. н.) н Ес определено, то Е((„(У)-+Е(~!У) (Р-п. н.). 17. Пусть в условиях предыдущей задачи вместо (60) выполнено условие зир Е()С„!" ! У) < оо (Р-п. н.) для некоторого а > 1. Тогда и Е(~„/У) — Е(~!У) (Р-п. н.). 300 ГЛ.
и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сР сь !8. ПустьС„- Саля некоторого р>1. Показать,чтотогда Е((„!У)- -+Е(с)У). 19. (а) Пусть 0(Х1У)геЕ[(Х вЂ” Е(Х/У))з!У). Показать, что ОХ= = Е 0(Х / У) + 0 Е (Х ! У). (Ь) Показать, что соч(Х, У) =соч(Х, Е(У1Х)). 20. Выясните, является лн в примере 5 достаточная статистика Т(ю) = = з(Хг (ы)) +... + з(Х„(ьг)) минимальной, 21.
Докажите справедливость факторизационного представления (57). 22. В примере 2 п. 10 покажите, что Ев(Х;!7) = — Т, где Х;(ш) =х; и+1 2н для ю=(хн ..., х„),1=1, ..., и. $8. Случайные величины. П Ос = Е(с — ЕОз. Величина в =+~/ОС называется стандартным отклонением 4. Если с — случайная величина с гауссовской (нормальной) плотностью ~е(х)= е О ~/2~ге в>0, — со(т<оо, (1) то смысл параметров т и сг, входящих в (1), оказывается очень простым: т Ес вз Ос Таким образом, распределение вероятностей этой случайной величины С, называемой гауссовской, нли нормально распределенной, полностью определяется ее средним значением т и дисперсией аз.(В этой связи понятна часто используемая для этою запнсгк С .Ф'(т,вз).) Пусть теперь (С, г1) — пара случайных величин.
Их ковариаг(ией называется величина соч((, г1) = Е(~ — ЕО(г) — Ег!) (2) (предполагается, что математические ожидания определены). Если соч(С, г1) =О, то говорят, что случайные величины С и г! не коррелирова ны. !. В первой главе были введены такие характеристики простых случайных величин, как дисперсия, ковариация и коэффициент корреляции. Соответствующим образом эти понятия вводятся и в общем случае. А именно, пусть (П,вг, Р) — вероятностное пространство и С =С(ьг) — случайная величина, для которой определено математическое ожидание Ес. Дисперсией случайной величины С называется величина $8.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Ц 30! Если 0<Рс<оо, 0<Рп<оо, то величина ~(6 )ьз у,— '-~- (3) называется коэффициентом корреляции случайных величин С и и. Свойства дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции для простых случайных величин были изложены в $4 гл. 1. В общем случае эти свойства формулируются совершенно аналогичным образом. Пусть (=((,, ., С„) — случайный вектор, компоненты которого имеют конечный второй момент. Назовем матрицей ковариаций (ковариационной матрицей) вектора с матрицу (порядка и хи) К=ЯД, где Щ; =сочКь (,).
Ясно, что матрица К является симметрической. Кроме того, она неотрицательно определена, т. е. п ,"; а;л;л;>о Ц=! для любых Л; е й, 1= 1, ..., и, поскольку л ! л 2 ~ )!ОЛр Л! = Е ~~((; — ЕЯЛ; ) О. с/ 1=! Следующая лемма показывает, что справедлив и обратный результат. Лемма. Для того чтобы матрица К порядка и х и была ковариационной матрицей некоторого вектора С=(СН ..., С„), необходимо и достаточно, чтобьс эта матрица была симметрической и неотрицательно определенной или, что эквивалентно, существовала бы матрица А (порядка и х й, 1 < й < и) такая, что К=АА*, где * — символ транспонирования. Доказательство.
Как показано выше, всякая ковариационная матрица является симметрической и неотрицательно определенной. Обратно, пусть К вЂ” такая матрица. Из теории матриц известно, что для всякой симметрической неотрицательно определенной матрицы К можно найти такую ортогональную матрицу еу (т. е. гугу' = Š— единичная матрица), что ст*Ксг = Р, где — диагональная матрица с неотрицательными элементами йь ! = 1, ..., и. 302 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Отсюда следует, что !к = «т0«т* = («ТВ)(В'«т'), где  — диагональная матрица с элементами Ь, =+Щ, « =1, ..., и. Поэтому, если положить А = 42В, то для матрицы )к получим требуемое представление )и = АА'.
Ясно, что всякая матрица АА' является симметрической и неотрицательно определенной. Поэтому осталось лишь показать, что )и является ковариационной матрицей некоторого случайного вектора. Пусть 2)н г)2, ..., г)„— последовательность независимых нормально распределенных случайных величин, .Ф'(О, 1).
(Существование такой последовательности вытекает, например, из следствия ! к теореме 1 $9 и, в сущности, может быть легко выведено из теоремы 2 $3.) Тогда случайный вектор Е=Аг) (векторы рассматриваются как векторы-столбцы) обладает требуемым свойством. Действительно, ЕСС'=Е(А«))(А«))' =А Е«р)' А* =АЕА'=АА'. (Если ь = Щ! — матрица, элементами которой являются случайные величины, то под Е«, понимается матрица !!ЕЦ!1) С) Обратимся теперь к двумерной гауссовской (нормальной) плотности 1 ! 1 Г(к — т«) — + 1у (4) (» т«НУ т2) (У т2) ! 1 «г«««2 в2 характеризуемой пятью параметрами тн т2, ан о2 и р (ср. с (14) 5 3), где !т«!<оо, !т2~ <со, «г«>0, «2 >О, (р)<1. (См. рис.
28 в $3) Простой подсчет раскрывает смысл этих параметров: т« = ЕС, в2 = 0С, т~ = Ег), в22 = 0«), а=а(с, г)). В $4 гл.! было объяснено, что если величины С и «) не корелированы (р((, г)) =0), то отсюда еще не вытекает, что они независимы. Однако если пара (4', г)) — гауссовская, то из некоррелированности 4' и «) следует, что они независимы. В самом деле, если в (4) р= О, то (к-т )2 )2 зз.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. И Но в силу (55) $6 и (4) 11(х)= ) 1ем(х,у)«У= 72- ехр( — ",' ), 1„(у)= г )11„(х, у)йх= — ехр(— ~/2 коз 2огг Поэтому 11 „(х, у) = 11 (х) 1»(у), откуда следует, что величины Е и и независимы (см. конец п. 9 2 6). 2. Убедительной иллюстрацией полезности введенного выше в $7 понятия условного математического ожидания является его применение к решению следующей задачи, относящейся к теории оценивания (ср. с п.
8 $4 гл. 1). Пусть (О и) — пара случайных величин, из которых с наблюдаема, а г) наблюдению не подлежит. Спрашивается, как по значениям наблюдений над С «оценить» нензблюдаемую компоненту Пу Чтобы сделать эту задачу более определенной, введем понятие оценки. Пусть ш = р(х) — борелевская функция.
Случайную величину рК) будем называть оценкой и по 0 а величину Е[г1 — у(0]г (среднеквадратической) ошибкой этой оценки. Оценку чг'(О назовем оптимальной (в среднеквадратическом смысле), если сх вз Е [г) — р'(6)]г = (п1 Е[г) — гг(0]г, (5) где (п1 берется по классу всех борелевских функций р = чг(х). Теорема 1.
Пусть Епг < оо. Тогда оптимальная оценка чг* =1с'(О существует и в качестве ~р'(х) может быть взята функция р*(х) =Е(п[(=х). (6) Доказательство. Без ограничения общности можно рассматривать только те оценки ~р(0, для которых Ечр(0 < оо. Тогда, если ш(0 — такая оценка, а р'(О=Е(г)[0, то Е[п,р(0]г ц(п ~. (6)) + („,*(6),р(0)]г цп,р. (0]г+ + Е [ р*(0 — р(0]'+ 2Е [(г) — р'(0)(р'(Π— р(0) ] > Е [п — гг'(0]~, поскольку Е[р'(Π— р(0]г > О и по свойствам условных математических ожиданий Е[(п — ч '(0)(р*(Π— ч (О)] = Е(Е[(п- ч '(0)(р*(0- ю(0) И) = = Е((ш*(Е) — ср(Е)) Е(п — у*(с) ] 0) = О.
С) 304 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Гч! (У [х) = ехР(— 1 Г (у — т(х)) ) 2 З! — г)г (7) где т(х) =та+ — ~р (х — т1). в~ Тогда из следствия к теореме 3 $7 (8) Е(о [4 = х) = ~ удач!4(у [х) ~Ху = т(х) и (9) 0(П[~=х) ми Е[(г) — Е(и[С =х))э [С =х] = — $ (у — т(х)) [ч!г(у[х)г(у=аз()-рз), (10) Заметим, что условная дисперсия 0(г) [с =х) не зависит от х, и, значит, йь = Е [г) — Е(и[4 = х) [' = ~(! — р~). (1 1) Формулы (9), (! 1) получены в предположении 0С > О, 0г) > О. Если же 0с > О, а Ог) =О, то они выполняются очевидным образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
