А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 53
Текст из файла (страница 53)
и Р р(х) = и $ (г(у) — Р(у — х)]" сг(у)ссу, х>0, О, х<0, и(и — 1) ) (Р(у) — Р(у-х))" э((у-х)7(у)с(у, х>0, )р(х) = < О, х <О. 3. Пусть Сс и Сэ — независимые пуассоновские случайные величины с параметрами Лс и Лэ соответственно. Показать, что Сс+Сэ также имеет пуассоновское распределение с параметром Лс + Лэ. 4. Пусть в (4) сис = исэ = О. Показать, что ~ ( ) = к(аээг2 2расаэг + а,) 5. Величина р'(С, с)) = вар р(и(О, о(с!)), где супремум берется по всем борелевским функциям и = и(х) и и = о(х), для которых коэффициент корреляции р(и(4), о(с))) определен, называется максимальным коэффициенсиом корреляции С и с). Показать, что случайные величины с и с! независимы тогда и только тогда, когда р*(с, с)) = О. б.
Пусть тн тэ, ..., тр — независимые неотрицательные одинаково распределенные случайные величины с экспоненциальной плотностью распределения 7(!)=Ле ', 1>О, Показать, что распределение случайной величины тс +... + тг имеет плотность ЛьСг-с -лс (й — 1)! г-! Р(тс+. +те>()=~ е -лс (ЛС) с=о 7. Пусть С .+'(О, аэ). Показать, что для всякого р > 1 Е !( !» = С»ар, где 3!2 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и Г(з) = ~ е "х' ' г(х — гамма-функция Эйлера. В частности, для любого о целого л> ! Е~та = (2п — 1)!! ггз".
у=у 2 !и Ф' Р 2 !и !Гг и=х — —, !Тг Показать, что Х и У являются независимыми Ф'(О, 1)-распределенными случайными величинами. !О. Пусть (г' и У вЂ” независимые равномерно распределенные на (О, !) случайные величины. Определим Х»»~/ — )п У соз(2я()), У=~/ — )и У з!п(2яО). Показать, что Х и У независимы и .4'(О, 1)-распределены. 11. Привести пример гауссовских величин с и г1, сумма которых с+г) имеет негауссовское распределение. 12. Пусть Хн ..., Մ— независимые одинаково распределенные случайные величины с плотностью распределения т'= Т(х). Пусть йг„= =гпах(ХИ ..., Х„) — пнп(ХИ ..., Х„) — «размах» выборки (Хн ..., Х„). Показать, что плотность ~м„(х), х >О, величины М„задается формулой Гм„(х) =л(п — !) ) [Е(у) — Е(у — х)]" зг(у)Г(у — х) ггх, где Е(у) = ) Т(х) г(г. В частности, для случайных величин Хн ..., Х„, имеюших равномерное распределение на [О, 1], л(п — 1)х" з(1 — х), 0<х<1, ~м„(х) = О, х<О или х>!.
!3. Пусть Е(х) — функция распределения. Показать, что для всякого а > 0 следующие функции также являются функциями распределения: к+а 6з(х) = 2 ) Е(и)гги. к+а 6!(х) = — ) Е(и) г(и, 8. Пусть С и г! — независимые случайные величины такие, что распределение С+ а) совпадают с распределением с. Локазать, что а!= 0 п. н. 9. Пусть (Х, У) имеют равномерное распределение на единичном круге ((х, у): хо+уз < Ц и Ж'=Хо+ уз. Положим $8. случАЙные Величины. и 3!3 п1(х)С„",'[Р(х)[" '[1-Р(х)[" ~; (Ь) совместная плотность 7(х', ..., х") величин Х!", ..., Хы! задается формулой [и! 7(х')...7(х"), если х' <...
сх", 7(х, ..., х")= ~0 в других случаях. 17. Пусть Хп ..., Մ— независимые одинаково распределенные случайные величины, .Ф'(р, оз). Величина л 5з= — ~~ (Х; — Х)з, п>1, л х=-' ~;х, и носит название выборочной дисперсии. Показать, что: (а) Е5з=оз (Ь) выборочное среднее Х и выборочная дисперсия Яз независимы; 14, Пусть случайная величина Х имеет экспоненциальное распреде- ление с параметром Л>0 (7х(х)=Ле х-, х>0).
Найти плотность рас- пределения (называемого распределением Вейбулла) случайной величины у = Х '7, о > О. Пусть Л= 1. Найти плотность распределения случайной величины у =!и Х (соответствующее распределение называется двойным зкспо- ненииальным), 15. Пусть случайные величины Х и у имеют совместную плотность распределения )(х, у) вида !(х, у) = д(т(хз +уз). Найти совместную плотность распределения случайных величин р= =~ГХ»+Уз и 0=(й (У/Х). Показать, что р и й независимы. Пусть (7 =(соз о)Х+(з!п о)у и У =( — гйп о)Х+(соз о)у. Показать, что совместная плотность распределения величин (7 и У совпадает с 7(х, у). (Это отражает факт ннвариантности распределения величин (Х, У) относительно «вращения».) 16.
Пусть Хь ..., Մ— независимые одинаково распределенные случай- ные величины с функцией распределения г" = Р(х) и плотностью 7' = 7(х). Обозначим (ср. с задачей 12) Х!'!=пни(ХИ ..., Х„) наименьшую из величин Хн ..., Х„, Х!з! — вторую наименьшую величину, и т. д., ХИ!= = шах(Х,, ..., Х„) — наибольшую из величин Хн ..., Х„(так определенные величины ХП1, ..., Х!Ю называют порядковыми статистиками величин Хь ..., Х„). Показать, что: (а) плотность распределения вероятностей величины Х!М задается формулой 3!4 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (с) Х Ф'(р, аз/и), а (л — 1)5»/аз имеет распределение Хт с (и — !) степенью свободы. 18. Пусть Хн ..., Х„ — независимые одинаково распределенные случайные величины, М вЂ” случайная величина, не зависящая от Хн ..., Х„ (%=1, 2, ...), с ЕА! <оо, Ой <со. Показать, что(5н =Х1+...+Хн) 05н =ОХ|ЕМ+(ЕХ~) ОА(.
= — +ЕХ~ —. 05, 0Х, ОМ Е5н ЕХ1 ЕМ 19. Пусть М(Г) =Ее'» — производящая функция случайной величины Х. Показать, что Р(Х > 0) < М(1) для всякого 1 > О. 20. Пусть Х, Хн ..., Մ— независимые одинаково распределенные слул чайные величины, 5„= 2 Хп 50=0, М„= Гпах 5;, М=зцр 5„. Показать, л н» л у л ° что («С = ц» означает, что распределения с и и совпадают) (а) М„=(М„~+Х)+, п>1; ((з) если 5„- оо (Р-п. н.), то М = (М+Х)+; (с) если — оо<ЕХ<0 и ЕХх<оо, то 0Х вЂ” 0(5+Х) — 2ЕХ 21.
В предположениях предыдущей задачи пусть М(е) =зцр(5„— пе) л>0 для е > О. Показать, что!пп еМ(е) = (0Х)/2. «1О 9 9. Построение процесса с заданными конечномерными распределениями 1. Пусть С =С(м) — случайная величина, заданная на вероятностном пространстве ((),,Уг, Р) и Ре(х) = Р(ис С(ы) < х) — ее функция распределения.
Понятно, что Ре(х) является функцией распределения на числовой прямой в смысле определения 1 $ 3. Поставим сейчас следующий вопрос. Пусть Р = Р(х) — некоторая функция распределения на й. Спрашивается, существует ли случайная величина, имеющая функцию Р(х) своей функцией распределения? Одна из причин, оправдывающих эту постановку вопроса, состоит в следующем. Многие утверждения теории вероятностей начинаются словами: «Пусть С вЂ” случайная величина с функцией распределения Р(х), $9. ПОСТРОЕНИЕ ПРОЦЕССА 3!5 тогда...». Поэтому, чтобы утверждения подобного типа были содержательными, надо иметь уверенность, что рассматриваемый объект действительно существует.
Поскольку для задания случайной величины нужно прежде всего задать область ее определения (й, .йг), а для того, чтобы говорить о ее распределении, надо нметь вероятностную меру Р на ((), .Уг), то правильная постановка вопроса о существовании случайной величины с заданной функцией распределения г(х) такова: Существуют ли вероятностное пространство (П, Я, Р) и случайная величина С =С(ы) на нем такие, что Р(ы: ((ы) <х) =Р(х)? Покажем, что ответ на этот вопрос положительный н, в сущности, он содержится в теореме 1 з 3.
Действительно, положим Й = )?, Я = М()?). Тогда нз теоремы 1 $ 3 следует, что на ()т, Я()?)) существует (н притом единственная) вероятностная мера Р, для которой Р(а, Ь] =Р(Ь) — Р(а), а <Ь. Положим С(ы) вам. Тогда Р(ин с(ы) <х)=Р(ин ы<х)=Р( — со, х] =г(х). Таким образом„требуемое вероятностное пространство н искомая случайная велнчина построены. 2. Поставим теперь аналогичный вопрос дяя случайных процессов.
Пусть Х = (5)~ег †случайн процесс (в смысле определения 3 $ 5), заданный на вероятностном пространстве (й, Я, Р) для г е Т С 1?. С физической точки зрения наиболее важной вероятностной характеристикой случайного процесса является набор (Рп ,ь(хн ..., х„)) его конечномерных функций распределения рп, Ь(хн ..., х„) = Р(ы: (П < хн ..., 4Ь < х„), (1) заданных для всех наборов 1н ..., 1„с 1~ < 1з <... < 1„. Из (1) видно, что для каждого набора Гн ..., 1„с 11 <1т«... 1, функции Рп ь(хн ..., х„) являются и-мернымн функциями распределения (в смысле определения 2 й 3) н что набор (рп ь(хн ..., х„)) удовлетворяет следующим условиям согласованности (ср. с (20) нз $3); ь ц(хь...,оо,...,х,)= =ГП Ь»ц, Ь(хн ..., хл ь хь+н ..., х„).
(2) 316 ГЛ. Н. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Естественно теперь поставить такой вопрос: прн каких условиях семейство (Рп „ь(хн ..., х„)) функций распределения Рп п(хн ..., х„) (в смысле определения 2 $3) может быть семейством конечномерных функций распределения некоторого случайного процесса? Весьма примечательно, что все такие дополнительные условия исчерпываются условиями согласованности (2). Теорема 1 (Колмогорова о существовании процесса). Пусть (Еп„.,ц(хн ..., х,)), где ч е Т с )?, Й < гз «...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
