А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Далее, для п>2 уп!( о) Г )!2!( )Р( о.,( йя где Д21(ыз) = ~ Р(ь3~~, ыт, 'Низ) ... ~ (в„(ыооы ыз, ..., м„) Р(ыон ыт, ..., ю„ы Нм„). $9. ПОСТРОЕНИЕ ПРОЦЕССА З2( Как и в случае последовательности Ц„ (ь7()), устанавливается, что ((! последовательность (('„(ь72)) является убывающей, пусть т(2!(ь72) = (2) = йп( 7~ ~(ь72). Тогда из (15) следует, что и найдется такая точка ыэое йэ, что 7ай(ь72) >О.
при этом (ь7(, ь72) е Вэ, Продолжая указанный процесс, получим, что для любого и найдется точка (ь(9(, ..., ь(~) е В„. Следовательно, точка (юь, ..., ь7~, ...) е П В„, но в то же время, по предположению, П В„=а(. Полученное противоречие показывает, что !нп Р(В„) =О. Итак, утверждение теоремы в части, касающейся су(цествования вероятностной меры Р, доказано. Заключительная часть очевидным образом следует из предыдущей, если положить Х„(ь7) =и7„, п > 1. П Следствие 4.
Пусть (Е„, в„)„>( — произвольные измеримые пространства и (Р„)„>( — вероятностные меры на ник. Тогда существуют вероятностное пространство (й, Р, Р) и семейство независимых случайнык элементов Х(, Х2, ... со значениями в измеримых пространствак (Е(, гг(), (Е2, вэ), ... соответственно, такие, что Р(ь7: Х„(ь() Е В) = Рь(В), В Е г~„, и > 1.
Следствие 6. Пусть Е = (1, 2, ... ), (рь(х, у)), й > 1, х, у ЕЕ, — семейство неотрицательных функций таких, что 2 рь(х, у)=1, хЕЕ, уее й>1. Пусть, кроме того, к=я( ) — распределение вероятностей на Е (уг(х) > О, 2 7((х) =1). уее Тогда существуют вероятностное пространство (й, дг, Р) и семейство случайных величин Х = Ко, Е(, ...) на нем такие, что Р(йь = хе, Е( = х(, ..., Е„= х„) = (г(хе) р((хв, х()... р„(х„(, к„) (16) (ср. с (4) $12 гл. 1) для всех х; е Е и и > 1.
В качестве й можно взять пространство й=(ин ы=(хо х(, ...), х; еЕ). Последовательность Х = (Ео, Е(, ...) случайных величин, удовлетворяющих условию (16), называют марковской цепью со счетным иножеством состояний Е, с матрицами переходных вероятностей (рь(х, у)) н начальным распределением вероятностей я. (Ср. с определением в $ !2 гл. 1 и с определениями в $1 гл. Ч1!1.) Н вЂ” 9727 322 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 4.
Теорема Колмогорова (теорема 1) утверждает существование процесса с заданной системой согласованных конечномерных функций распределения. При этом ее доказательство требует обращения к каноническому вероятностному пространству, а сами процессы строятся координатным образом, что само по себе говорит о сложности устройства их траекторий. С этой точки зрения значительный интерес представляют случаи конструктивного построения случайных процессов с заданными свойствами, при этом с минимальным использованием «вероятностных структур».
Для демонстрации таких возможностей обратимся к так называемым процессам восстановления. (Их частный случай — процесс Пуассона; см. 5 10 гл. П.) Пусть (ан аз, ...) — последовательность независимых одинаково распределенных положительных случайных величин с функцией распределения Р =Р(х). (Существование такой последовательности гарантируется следствием 1 к теореме !.) По последовательности (ан оз, ...) образуем новую последовательность (То, Тн ...) с То = О и Т„= а~ +... + а«, и > 1. Для наглядности будем интерпретировать момент Т„ как момент появления л-го, скажем, вызова (например, телефонного).
Тогда а„ описывает длительность времени между (а — 1)-м и а-м вызовами. Процессом восстановления принято называть случайный процесс А( = (А(г)~>о с (конструктивно заданными) величинами (17) Понятно, что Аl~ можно было бы определить и так: Ач =гпах(а: Т„<!), (18) т.е. М~ — это число вызовов, поступивших на интервале (О, 1]; при этом очевидно, что (М~ > а) = (Т„< !). (19) Эта простая формула весьма полезна, поскольку она позволяет сводить рассмотрения о вероятностных свойствах процесса М =(М~)Сао к изучению свойств величин Т„=а~ +... +а„, являющихся суммами независимых случайных величин ен ..., о„, а >! (см.
п. 4 $3 гл. 117 и п. 4 $2 гл. т'П). Из формулы (17) сразу вытекает, что функция восстановления тЯ = =Ей(а 1>О, определяется по функциям распределения г„(() =Р(Т„< 1) 49. ПОСТРОЕНИЕ ПРОЦЕССА 323 следующим образом: т(г) = ~( ' Г„(г) л=! (20) 5. Задачи. 1. Пусть П= [О, 1[, Я вЂ” класс борелевских множеств на [О, 1], Р— мера Лебега на [О, 1[. Показать, что пространство (П, У', Р) является универсальным в том смысле, что для любой функции распределения Г(х) на (П, Я, Р) можно так определить случайную величину С =6(ь(), что ее функция распределения Ге(х) = Р(Е < х) совпадает с функцией Г(х).
(Указание: Е(ь() = Г '(ю), где Г '(и() = зцр(х: Г(х) <и(), 0 <и(< 1, а ОО), с(1) могут быть взяты произвольными.) 2. Проверить согласованность семейств распределений в следствиях к теоремам 1 и 2 3. Вывести утверждение следствия 2 к теореме 2 из теоремы 1. 4. Пусть Ä— функции распределения величин Т„, п>1 (из п.
4). ! Показать, что Г„е ! (!) = ) Г„(! — з) а(Г(з), л > 1, где Г! = Г. о 5. Показать, что Р(А(( = и) =Г„(!) — Г„+((!) (см. (17)). 6. Показать, что введенная выше в п. 4 функция восстановления т(!) удовлетворяет уравнению восстановления т(!) = Г(!) + ') т(( — х) с(Г(х). (21) о 7. Показать, что в классе функций, ограниченных на конечных интервалах, единственным решением уравнения (21) является функция, определяемая формулой (20). 8.
Пусть Т вЂ” произвольное множество. ' (1) Предположим, что для каждого ! е Т задано некоторое вероятностное пространство (й(,,йг(, Р(). Положим П = П П(, Я = Я .9т!. Доказать, (ЕТ (ЕТ что на (П, Я) существует и единственна вероятностная мера Р такая, что Р[ П В! ~ = П Р(В(). т(ЕТ / (ЕТ где В( Е.уг(, ! Е Т, и В( = П! для всех индексов 1, за исключением конечного числа.
(Указание. Задать Р на подходящей алгебре и воспользоваться методом доказательства в теореме Ионеску Тулчи.) (й) Пусть для каждого ! Е Т заданы измеримое пространство (В(,(к() и вероятностная мера Р, на нем. Доказать, что существуют вероятностное пространство (П, Я, Р) и независимые случайные элементы (Х(),ет такие, что Х( являются йг/е(-измеримыми и Р(Х( е В) = Р((В), В Е 4. 324 ГЛ. и.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ф 10. Разные виды сходнмостн последовательностей случайных величин 1. Как и в математическом анализе, в теории вероятностей приходится иметь дело с разными видами сходимости случайных величин. Ниже будут рассмотрены следующие основные виды сходимости: ло вероятности, с вероятностью единица, в среднем порядка р, по распределению. Начнем с определений. Пусть С, 5, С2, ... — случайные величины, заданные на некотором вероятностном пространстве (П,лг, Р). Определение 1. Последовательность случайных величин (ь Сэ, ...
(обозначаемая также (С„), ((„)„>~ или (С„), (4„)„>~) называется сходящейся ло вероятности к случайной величине С (обозначение: С„ - ~), если РЯ„-Я>е)-+О, л- со (1) лля любого е>0. С этим видом сходимости мы уже встречались в связи с законом больших чисел в схеме Бернулли, утверждающим, что Р(~ —" — р~ >е~-+О, п- оо (см.
обозначения в $ 5 гл. !). В анализе этот вид сходимости принято называть сходимостью ло мере. Определение 2. последовательность случайных величин 5ь сэ, ... называется сходящейся с вероятностью единица (почти наверное, почти всюду) к случайной величине С, если (2) Р(ин („у'+с) =О, т. е. если множество исходов ы, для которых с„(ы) не сходятся к с(ы), имеет нулевую вероятность. Этот вид сходимости обозначают по-разному: (и- 4 (Р-п.н.), или ~„- ~ (и.н.), или ~„-"-'"-' 5, или ~„-"-я+~, Определение 3. Последовательность случайных величин (ь Сз, ... называется сходящейся в среднем порядка р, 0< р < ос, к случайной величине 5, если Е1С„-С1»- О, л- оо.
(3) В анализе этот вид сходимости называют сходимостью в смысле 1.». сР В этой связи (3) обычно записывают в виде Е„Е. В частном случае р = 2 эту сходимость называют также сходимостью в среднем квадратическом 4 !ю. рдзиыв виды сходимости 325 и пишут С = !.!.ш. 4„(!.!.т. — сокращение от Ипн1 !и теап — сходимость в среднем). Определение 4. Последовательность случайных величин С!, Сэ, ... называется сходящейся ао распределению к случайной величине С (обознал !ав чение: с„- с, с„с; !( — от с(!з!г!Ьи!!оа — распределение,!агв — закон), если для любой ограниченной непрерывной функции / = Дх) ЕЯ„)- ЕЯ), и- оо. (4) Наименование этого вида сходимости объясняется тем, что, как будет показано в $ ! гл.
111, условие (4) эквивалентно сходимости функций распределения Ге„(х) к функции распределения рг(х) в каждой точке х, где функция РЕ(х) непрерывна (сходимость в основном; обозначение: РС„=>РС). Подчеркнем, что сходимость по распределению случайных величин определяется только в терминах сходимостн их функций распределения. Поэтому об этом виде сходимости имеет смысл говорить и тогда, когда случайные величины заданы на разных вероятностных пространствах.
Этот вид сходимости будет подробно изучаться в гл. Ш, где, в частности, будет объяснено, почему в определении сходимости Рг„ => Ре требуется сходимость лишь в точках непрерывности функции рг(х), а не для всех х. 2. В математическом анализе для решения вопроса о сходимости (в том или ином смысле) заданной последовательности функций оказывается полезным понятие фундаментальной последовательности, или последовательности Коши.
Введем аналогичные понятия для первых трех рассмотренных видов сходимости последовательностей случайных величин. Будем говорить, что последовательность случайных величин Щ„э! (или просто (С„)) фундаментальна но вероятности, с вероятностью единица или в среднем порядка р, 0< р <со, если выполнены соответственно следующие условия: для любого г>0 Р(ʄ— С ( >г)- О, и, т- оо; последовательность (С„(ы))кд! фундаментальна для почти всех ыЕЕО последовательность функций (~„(и!))„э! фундаментальна в смысле !.л, т. е. Е!с„— с (л - О, и, т-+ со. 3. Теорема 1. а) Для того чтобы ф— С (Р-и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
