А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 59
Текст из файла (страница 59)
и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В силу условия Ь) ЛЛя любого С Е (.2 и заданного е > 0 найдутся такие а!, ..., а„, что л с - 1! а!!)! < е. Тогда, согласно (3), п с — ~~,(6п!)и! <е и, следовательно, для сепарабельных гильбертовых пространств !'.2 любой элемент С представим в виде (13) точнее, Отсюда и из (3) тогда заключаем, что имеет место следую!цее равенство Парсеваля: )Щ =~~ ((с, г)!)(, 4ес.. !=! (14) а Р( ) ~ (.) 1 ( ) ! е — х~/2 ~/2х Обозначим 0 = — и введем функции их ( — 1У'12"!4(х) !с(х) п>0. Нетрудно доказать, что верно и обратное: если г)!, 2)2, ...
— некоторая ортонормированная система и выполнено любое из условий (13) или (14), то эта система является базисом. Приведем примеры сепарабельных гнльбертовых пространств и их базисов. Пример 1. Пусть й =)1, Я = Я(14) и Р— гауссовская мера, й И. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 345 Нетрудно найти, что 0<р(х) = -х!Р(х), Рзч (х) = (хз — 1) ч (х), (за~в(х) = (Зх — хз) ~р(х), (!6) 0тсюда следует, что Н„(х) являются полиномами (называемыми полино- мами Эрмита). Из (!б), (1б) находим, что Нз(х) = 1, Н~(х) =х, Нз(х) =х — 1, Нз(х) =х — Зх, Простой подсчет показывает, что (Н, Н„) = ) Нм(х) Н„(х) Р(Их) = ) Нм(х) Н„(х) у(х) 4(х = л! б„„, где б„— символ Кронекера (О, если т фи, и 1, если т = и).
Поэтому, если положить п„(х) = Нп (х) ~/й! ' !пп ~ е'!"!Р(Ых) < оо, з10 (17) то система функций (1, х, хз, ...) является полной в (.з, т.е. любая функция и б=б(х) из 1.з может быть представлена или в виде ~ а;г);(х), где гд(х) =х', 1=! или в виде пределов (в среднеквадратическом смысле) этих сумм. Если применить процесс ортогонализации Грама — Шмидта к последовательности функций 41~(х), щ(х), ... с г);(х) =х', то полученная ортонормированная система будет в точности совпадать с системой нормированный полиномов Эрмита. В рассматриваемом нами случае условие (17) выполнено. Следовательно, полиномы (й„(х))„>о обРазУют базис и, значит, любаЯ слУчайнаЯ то система этих нормированных полиномов Эрмигпа (й„(х))„во будет ортонормированной системой. Из функционального анализа известно (см., например,[33, гл. т'П, 5 3)), что если 346 ГЛ.
и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ величина С =С(х) на рассматриваемом вероятностном пространстве представима в виде л 4(х) =!.!.гп. ~(4, й;)Ь;(х). (! 8) Пример 2. Пусть й=(0, 1, 2, ...) и Р=(РИ Рз, ...) — пуассоновское распределение: ,-лл. Р,= —, х=О, 1, ...; Л>0. х! Положим Ь/(х) =/(х) — 7(х — 1) (/(х) =О, х< 0) и по аналогии с (15) опре- делим полиномы Пуассона — Шарлье П„(х)=, п>1 Пь — 1 !)ьдлр Р, (19) Поскольку (Пт Пл)=~~ П (х)П„(х)Р,=с„д „, к=0 х= — + — +... х! кз 22 где х; =0 или 1.
(Для однозначности разложения мы уславливаемся рас- сматривать только те разложения, которые содержат бесконечное число нулей. Так, из двух разложений 1 ! 0 0 0 ! 1 — = — + — + — +...= — + — + — + 2 2 2з 2з " 2 2з 2з мы берем первое.) Образуем случайные величины С!(х), Сз(х), ..., положив с„(х) = х„. где с„— положительные константы, то система нормированных полиномов Пуассона — Шарлье (я„(х))„>о, к„(х) = П„(х)/,/с„, есть ортонормированная система, которая в силу выполнимости условия (17) является базисом. Пример 3. Приводимые в этом примере ортонормированные системы функций Радемахера и Хаара интересны как для теории функций, так и для теории вероятностей. Пусть й= [О, 1), йг=йз([0, 1)) и Р— мера Лебега.
Как упоминалось в $1, каждое число х Е [О, 1) может быть однозначно разложено в двоичную дробь 41!. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 347 Тотда для любых аь принимающих значения 0 илн 1, Р(х: Е1 =ап "., ел=ах)= а1 а2 ал а1 а2 ал ! = Р (х: — + — +... + — < х < — + — +... + — + — 1 = 2 22 "' 2" 2 22 "' 2л 2" ) =Р('"~ —,+ + —,л —,+ + — 2л+2л))-2л Отсюда непосредственно следует, что С), С2, ... образует последовательность независимых бернуллиевских случайнык величин (рнс.
30 показывает, как устроены с)=с)(х) н сз=с2(х)). Если теперь положить )с„(х) = 1 — 2с„(к), и > 1, то нетрудно проверить, что система ()т,) (функ4(ий Радемакера, рнс. 3!) является ортонормированной: 1 Е)(1„)1„= ~ й„(х)й„(х) 4(х = йлм. о Заметим, что (1, й„) паЕ)4„=0. Отсюда следует, что эта система не является полной. )(2(х) 1 )71(х) ! 2(х) 41(х) О 1 1 х О 11З) -1 2 4 2 4 Рис. 30. Бернуллневские величины Рнс. 31. Функции Радемахера Однако систему Радемахера можно использовать для построения так называемой системы Хаара, которая н проще устроена, и к тому же является как ортонормированной, так н полной.
Снова пусть 1) = [О, 1), Я = Я([0, 1)). Положим Н)(х) = 1, Н2(х) = )!1(к), 2)72й 1(х), если —.<х< —,, а=21+А, л — 1 х 1+ 21 21' 1<у<2', у>1, 0 в остальных случаях. Нл(х) = 348 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Нетрудно проверить, что Н„(х), л > 3, можно записать н в таком виде: 2'"Гз, О < х < 2 ( +'>, На + ~ (х) = — 2 l~, 2 ' + '1 < х < 2 ™, О в других случаях, Н ° ;(х) — Н - х — — , Т вЂ” 1, ..., 2 , / — 1А и=1, 2, На рнс.
32 приведены графики первых восьми функций, дающих представление о структуре образования н поведении функций Хаара. Нз(к) 2 ем Н4 (к) 2 гм И1 (к) 1 (к) 1 2!Л ьв1 2!/2 Н5(к) 2 Нд(к) 2 07(к) 2 (к) 2 к О к О Рнс. 32. Функцнн Хаара Н1(к), ..., Нк(к) Система функций Хаара является, как нетрудно проверить, ортонормированной. Более того, она полна н в Е', н в ьз, т.
е. если функция $ ! !. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 349 ~ = )(х) е (." для р = ! или р = 2, то ! л Р ) Г(х) — ~! (Г, Нь) Нь(х) йх- О, и-+со, о ь=! н обладает к тому же тем свойством, что с вероятностью единица (по лебеговской мере) л (Г, Нь) Нь(х)- Т(х), и оо.
Ф=! Мы докажем эти факты в $4 гл. Ч!1, выведя их из общих теорем о сходимостн мартингалов, что, в частности, будет служить хорошей иллюстрацией применения мартингальных методов в теории функций. 6. Если !)!, ..., !)„ — некоторая конечная ортонормированная система, то, как было показано выше, для всякой случайной величины С Е 1.~ в линейном многообразии Я=Я(П!, ..., !)„) можно найти случайную величину с (проекцию с на .2') такую, что !!с — с!(=1п(()!с — Ц: Ге.х'(!)! "' г!л)).
л При этом С = 2 (С, г)!)!)!. Этот результат допускает естественное обобще!=! ние на тот слУчай, когДа !)!,!1з, ... — счетнаЯ оРтоноРмнРованнаЯ система (не обязательно являющаяся базисом). А именно, справедлив следующий результат. Теорема. Пусть г)!, 4!г, ...
— ортонормированная система случайных величин, .х," =.У(т)!, гь, ... ) — замкнутое линейное многообразие, порожденное ими. Тогда существует и притом единственный элемент Се йт такой, что !К-6!=1п((И-а(: ВЖ. (20) При этом С=!.1.ш. У (С, 41!)41! (2!) и ч — с Л.ь, ч е.к. Доказательство. Обозначим а =1п1(!(С вЂ” г,!!: !, Е.У) и выберем последовательность с!, г,э, ... так, что (!с — !,„)! й. Покажем, что эта последовательность является фундаментальной.
Простой подсчет показывает, что !!~ь ~н!!э 2!!~п Дэ ! 2))~л Цт 4~! (~ ! ~т) Ц . 350 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ! Ясно, что -(~„+~ ) Е.У, поэтому ~~-К„+~ )-Ц >Н~ и, следовательно, !'и,„— ~ !)г -+ О, а, пг - оо. Пространство Ьг является полным (теорема 7 $ 10). Поэтому найдется такой элемент С, что 11Г„ — 41! - О.
Множество .У замкнуто, поэтому С Е .У. Далее, !И,„ — Ц вЂ” Ы, следовательно, !1С вЂ” 411 = Н, что и доказывает существование требуемого элемента. Покажем, что С вЂ” единственный элемент в .У с требуемым свойством. Пусть С е.У и Тогда (в силу задачи 3) )(4+(- 2Цг+ )ф- Цг = 2)(( — Цг+ 2Ц- Цг = 4д'. Но )((+( — 2Цг = 4~~-(~+() — 4~~ > 4с(г. Следовательно, 114 — Цг=О, что и доказывает единственность «ближайшего» к С элемента из.У. Докажем теперь, что С вЂ” С 1 С, ~ Е.У. В силу (20) для любого с Е )т 11С вЂ” С вЂ” сЦ > 114 — ф1. Но !1Е-Е-сЦг=ц-ф!г+сг)дг-2(~-~, сп).
Поэтому сг1(Цг > 2(4 — 4, с4). Возьмем с = Л(С вЂ” С, Д, Лег(. Тогда из (22) получим, что (с-с, ~) [Лг)!Ц~ — 2Л) >О. (22) о с =1 !.ш. ~~~ (с, г1а)цы «=1 (23) При достаточно малых положительных Л справедливо неравенство Лг)1Цг — 2Л<0. Поэтому (с — с, ~) =О, ~е.йв. Осталось доказать представление (21). Множество.У=.У(ПИ г)г, ...) является замкнутым подпространством в ьг и, значит, само является гильбертовым пространством (с тем же самым скалярным произведением). Для этого гильбертова пространства .У система ггн г)г, ... является базисом и, следовательно, й 1! ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗБ! но е — с.ьць, й >1, а значит, (с, г1») =(с, ць), й>О, что вместе с (23) доказывает (21). П Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
