А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 61
Текст из файла (страница 61)
(16) л-о~ А Поэтому существует производная р'(1) и лэ'(1) =(Е(Сенс) =1 $ хегм пг(х). Существование производных ар!о(1), 1 < г < и, и справедливость формул (12) устанавливаются по индукции. Формулы (13) следуют непосредственно из (12). Установим справедливость представления (14). 358 ГЛ. !!. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Поскольку для действительных у е!" =сов у+! з!п у=~ —, + —,[соз д!у+! гйп дзу], Оу) (юу)л «=о где [д! ] < 1, ]Уз] < 1, то енс = ~~! —, +, [соз д!(о!)!с+ ! з!п Уэ(о!)!с] (17) ; 4 (!!4)» (!(4)" «=о л-! .
« . л «=о (18) где ел(!) = Е[С" (сов д!(о!)!С+ ! з!п уз(о!)г4 — 1)]. л 0 . ! (!р'(2А) — »л'(О) р'(О)-~ '( — 2А)] У ( О ) ! 1 и 2 Г + » о = !!!и = 1пп — [!р(26) — 2!о(0)+ср(-26)] = 2!л'(2Ь) — 2«»'(-2Ь) . 1 8Ь « о 4Аз = 1пп ~ ( „ ) !(Р(х) = — )пп ~ ( †„ ) х !(Е(х) < < — ~ ! пп ( — ) хя Ы(х) = — ~ хз йр(х), Поэтому хз йГ(х) < -!рл(0) < со. Пусть теперь !р!з»+Я!(0) существует, конечна и ~ хв»!(Р(х) <оо. Если лл лл ') хв» г(г"(х) =О, то и ~ хв»+з !(г'(х) =О. Так что будем предполагать, что Ясно, что [ел(!)] < ЗЕ[4" [, причем по теореме о мажорируемой сходимости ел(!) -+ О, Е -+ О.
Свойство 6). Доказательство будем вести по индукции. Предположим сначала, что производная рл(0) существует и конечна. Покажем, что тогда Е4« < со. По правилу Лопиталя и лемме Фату 5!2. хАРАктеристические Функции хз~ог(х) > О. Тогда, согласно свойству 5), ,р(2з1(1) ~ (/х)2~а'ос/Р(х) и, значит, 1) 'Р~ ~(г)= ~ е""Н6(х), где 6(х)= ) изадр(ц) следовательно, функция (-1)" р1™(1)6 '(оо) является характеристической функцией вероятностною распределения 6(х). 6 '(оо) и по доказанному 6 '(оо) ) хз Н6(х) < оо. Но 6 '(оо) > О, значит, х~~+зс(г(х)= $ хзл6(х) <оо. Свойство 7).
Пусть О</е< Т. Тогда, используя формулу Стирлинга (формула (6) в $2 гл. 1), находим, что (Е)С!л)!/и 1 (Е!б!П/еа)$/л /Щл~и)~/„ Следовательно, по признаку Коши ряд 2 Е!С!"/е/а! сходится, а значит, сходится и ряд ~', —, Е(' для любого !1! < (в. Но в силу (14) (и)' к=в 1о(1) = ~ —, ЕС'+ Я„(1), Л > 1, г=е где ))г„(1)! < 3 —,Е!С!". Поэтому для всех !1! < Т !/!" л! .=о 360 ГЛ. В. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Замечание 1. Аналогично доназательству (!4) устанавливается, что если зля некоторого и > 1 Е]с]" < оо, то р(!) = ~ ~$ х е' г(Г(х) +, г„(! — з), (19) еа«дР(х)= ~ еи" дб(х).
(20) Тогда р(х) = 6(х). Доказательство. Зафиксируем а, Ье)(, е>0 и рассмотрим функцию ~« = Т«(х), изображенную на рис. 33. Покажем, что !'(х! ~'(х) г(Г(х) = $ ~'(х) дб(х). (2!) Пусть п>0 таково, что [а, Ь+е]С О а а+« Ь Ь+« С [ — и, п], и последовательность (б„) такая, Рис. 33. что 1 > б» ! О, и- со. Как всякая непрерывная на [ — и, и] функция с равными значениями в концевых точках, функция Т'*= !"(х) может быть равномерно аппроксимирована (теорема Вейерштрасса — Стоуна) тригонометрическими полиномами, т. е.
существует конечная сумма 7„'(х)=~ аь ехр(!нх-) (22) такая, что ьцр [!" (х) — ~„'(х)] < б„. (23) Продолжим периодически функцию («(х) для всех х Е !г и заметим, что ацр ]~„'(х)] <2. где [е„(! — з) [ < ЗЕ]с" ] и е„(! — з) — О, ! — з — О. Замечание 2. По поводу условия, фигурирующего в свойстве 7), см. также далее п.
9, посвященный вопросу о «единственности проблемы моментов». 4. Следующая теорема показывает, что характеристическая функция однозначно определяет функцию распределения. Теорема 2 (единственности). Пусть Р и 0 — две функции распределения, имеющие одну и ту же характеристическую функцию, т е. для всех ! Е )т 4 ИЬ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 36! Тогда, поскольку в силу (20) ~„'(х) дЕ(х) = ) )„'(х) НО(х), то ОО СО ь ь г"'(х)дЕ(х) — ) г'(х)с(6(х) = ) ('аŠ— ') )'аО < -ьь ьь -л — ь л л < ) 1;, ЙŠ— ') )ь' дО + 2б„< Гь «Е ) /ьлаО +2зь+2Е([ — и, п])+26(] — и, и]), (24) где Е(А) = ) дЕ(х), 6(А) = ) дО(х). При и -+ оо правая часть в (24) стрел л мится к нулю, что и доказывает равенство (21).
При е- 0 функции ~'(х) — !~ ь)(х). Поэтому по теореме о мажорируемой сходимости из (21) следует, что /~ ь)(х) дЕ(х) = ~ I< И(х) НО(х), ~р(г)= ~ ен" дЕ(х) — ее характеристическая функция. а) Для любых двух точек а, Ь (а < Ь), где функция Е = Е(х) непрерывна, ь -иа -го Е(Ь) — Е(а) = йгп — ~ . ~р(Г) сй. ь 2к И -с (25) т. е. Е(Ь) — Е(а) = 6(Ь) — 6(а), откуда в силу произвольности а и Ь следует, что Е(х) = 6(х) для всех х Е)(. С) 5.
Предыдущая теорема говорит о том, что функция распределения Е =Е(х) однозначно восстанавливается по своей характеристической функции у = у(1). Следующая теорема дает явное представление функции Е через у. Теорема 3 (формула обращения). Пусть Е = Е(х) — функция распределения и 362 ГЛ.
и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Ь) Если ) )чг(!)~г(! <оо, то функция распределения Е(х) имеет плотность 7(х), к Р(х) = 1 7(у) Ыу, (26) 7(х) = — ) е и'~с(!) Ж. Доказательство. Прежде всего отметим, что если функция Е(х) имеет плотность |(х), то р(!) = ) еи" Г(х) г(х, (28) и поэтому формула (27) есть не что иное, как преобразование Фурье от (интегрируемой) функции чг(!). Интегрируя левую и правую части (27) и применяя теорему Фубини, получим с е и'гр(!) с(! гьх = — Оа ь ь Е((г) — Е(а) = ) 7(х) сгх =— 1 -и -иь а аа са 2гг с -иа -иь -иа е-иь Г аа -с -с -аа с -ы -иь Оа — — еил Ж~ гьг(х) = ) Фс(х) с(Е(х), (29) -аа -с -аа где мы положили с -иа -иь ге,(х) = — $ .
егга с(! 2гг н и воспользовались теоремой Фубини, справедливость которой в данном случае следует из того, что )а После этих рассмотрений, объясняющих до некоторой степени формулу (25), перейдем к ее доказательству. а) Имеем Е (2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ с са ~ (Ь вЂ” а)сгг(х)((1 < 2с(Ь вЂ” а) < оо. -с -аа Далее, 1 5(п Г(х — а) — 5)п ((х — Ь) с Фс(х)=2.
~ -с с(с-а) с(с Ц 5(ПО 1 з)п и — с(о — — ~ — с(и. (30) О 2я и -с(с-М 1 2и -с(с-а) Функция д(з, 1) =~ — а(о равномерно непрерывна по з и 1 и д(з, 1)- я (3Ц при з 1 — со и 1Тсо. Поэтому сушествует такая константа С, что для всех с и х ]Ф,(х)] < С < со. Кроме того, из (30) и (3!) следует, что Ф,(х)- Ф(х), с- оо, где О, х<аилнх>Ь, Ф(х)аа 1/2, х=а или х=Ь, 1, а<х<Ь. Пусть (с — мера на (Я, М(Я)) такая, что )с(а, Ь] = Г(Ь) — г(а).
Тогда, применяя теорему о мажорируемой сходимостн и пользуясь формулами задачи ! в $3, находим, что при с - оо Ф,= $ Ф,(х)а(г(х) $ Ф(х)с(г(х)=(с(а, Ь)+2)с(а)+ 2и(Ь)аа 1 1 ! = ЦЬ-) — Г(а) + — [г(а) — Г(а — ) + Г(Ь) — г(Ь-)] = 2 Г(Ь) — Г(Ь вЂ” ) г(а) + г(а — ) 2 2 где последнее равенство справедливо для любых точек а и Ь, являюшихся точками непрерывности функции г(х). Итак, формула (25) доказана. 364 ГЛ.
Н. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (з) пусть $ Ьр(г)! де < оо. Обозначим Г'(х)= — $ е ""р(Г)дб Из теоремы о мажорируемой сходимости следует, что эта функция непрерывна по х и, значит, она интегрируема на интервале [а, Ь]. Поэтому, снова применяя теорему Фубини, находим, что ь ь / ~)(х)дх=') — ~ ~ е и"р(!)д! дх= О а -ао — ~(() ~~ е ""дх~ д(= (пп — ~ ~(1) ~~ е и" дх д(= -ОО а -с О е-иа е-иь = йгп $ — р(1) дг =г(Ь) — Р(а) -с для всех точек а и Ь, являющихся точками непрерывности функции Р(х). Отсюда вытекает, что р(х)= ) ((у)ау, хек, а так как Г(х) — непрерывная, а Р(х) — неубывающая функции, то ((х) есть плотность р(х).
П Замечание. Формула обращения (25) дает другое доказательство утверждения теоремы 2. Теорема 4. Для того чтобы компоненты случайного вектора (=(бн ..., с„) были независимы, необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция была произведением характеристических функций компонент: Ы~пб+"'+НЕЛ=П Ееим', ((н ..., Г„) Ей". ь=! Доказательство. Необходимость следует из утверждения задачи !.
Для доказательства достаточности обозначим Р =Р(хн ..., х„) — функцию распределения вектора С = ф, ..., Е„) и рь(х) — функцию распределения Еы ! < Ь < и. Положим 6 = 0(хн..., х„) = Р~ (х~ )... Р„(х„). Тогда по теореме ч!з. хлрдктеристичкскик функции фубини ЛЛя всех (Г!, ..., г„) 6 и'" ~ "!ь""-"ь"!дП(х!,,") =П феи" дРь(х) = Ю" ь=! я и = Ц Ееи"С' = Еег!" б+г е!"С"! = $ ег!П"+"'+!"'"!др(х х ) ь=! я" Поэтому по теореме 2 (точнее, по ее многомерному аналогу; см. задачу 3) р=б, и, следовательно„согласно теореме из $5, величины 6!, ..., з„ независимы.
С) 6. В теореме 1 сформулированы некоторые необходимые условия, которым удовлетворяет характеристическая функция. Таким образом, если для функции ~о =~р(Г) не выполняется, скажем, одно из первых трех утверждений этой теоремы, то это означает, что рассматриваемая функция не является характеристической. Сложнее обстоит дело с проверкой того, является ли интересующая нас функция р= р(Г) характеристической. Сформулируем (без доказательств) ряд результатов в этом направлении. Теорема (Вохнера-Хинчина). Пусть р(!) — непрерывная функция, 16й, и Ч!(0) =1. Для того чтобы р(1) была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно определенной, пь е.
для любых действительных 1!, ..., Г„и любых комплексных чисел Ль ..., Л„, и = 1, 2, ..., (32) р(6 — 1;)Л;Л, > О. г,г=! Необходимость условия (32) очевидна, поскольку если у!(8) = $ еи" Фр(х), то !е(М! — 1;)Л;Лг= ~ "! Лье!!"' др(х) >О.
!з=! ь=! Труднее доказывается достаточность условия (32),(См. [69, т. 2, Х1Х.2].) Теорема (Пойа). Пусть непрерывная, четная и выпуклая книзу на ( — оо, 0) (а значит, и на (О, оо)) функция !э(1) такова, что р(1) >О, Ч!(0) = 1, Ч!(1) - 0 при 1-+ со. Тогда р(Г) является характеристической функцией ([69, т. 2, ХЧ2]). заа Гл. и. мАтемАтические ОснОВАния теОРии ВеРОятнОстей Эта теорема дает весьма удобный способ конструирования функций, являющихся характеристическими. Таковыми будут, например, функции р!(1) = е !'1, / 1 - [г], ]г] < 1, 'Рэ( ) — '~() Таковой будет и функция рз(1), изображенная на рнс. 34. На интервале [ — а, а] функция !аз(1) совпадает с функцией рз(1). Однако отвечающие нм функции распределения Ез и Рз, очевидно, различны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
