А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 63
Текст из файла (страница 63)
о Обозначим р = а (а Ля, и пусть д(х) = 0 для х < 0 и й(х)=йе " [1+е э|п(дх")], [в[<1, х>0. Ясно, что л(х) > О. Покажем, что при всех целых и > 0 А х"е э|п дх"дх =О. о (54) Известно, что для р > 0 и комплексных д с Ке д > 0 ~ Ге е чаг= —. г(р) о 9. Пусть С вЂ” случайная величина с функцией распределения Р(х) н характеристической функцией р(1). Предположим, что существуют все моменты тч =Е(" и> |. Из теоремы 2 следует, что характеристическая функция однозначно определяет распределение вероятностей. Поставим сейчас следующий вопрос (единственность проблемы моментов): однозначно ли определяют моменты (т„)„> | распределение вероятностей? Точнее, пусть р и 6 — две функции распределения, у которых все моменты совпадают, т. е.
для всех целых п > 0 374 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Положим здесь р = (и + 1)/Л, д = а + ггу, ! = х". Тогда ОО ~7 х= хе х= х~' У ~!е О*чипы"Лхх 'г(х=Л ~ х"е (а4геы"г(х= о о =Л ) х"е " сов гУх с(х — гЛ ) х"е " гйп ()х" Фх = о о г( — "+„) (55) адх (1+г !д Лгг)ах Но а+! и+г ч+г (1+1 !и Лл) х =(соз Ля+1 гйп Ля)х (соз Лгг) и+3 л+г = ег"г"".+п(соз Л г) х = соз к(п + 1).(соз Ля) х , поскольку гйп я(а+1) =О. Тем самым правая часть в (55) является действительной и, значит, при всех целых и > О справедлива формула (54). Возьмем теперь в качестве 0(х) функцию распределения с плотностью д(х).
Тогда из (54) следует, что у функций распределения г и 0 все моменты совпадают, т. е. для всех целых и > О справедливы равенства (53). Приведем теперь некоторые достаточные условия, обеспечивающие единственность проблемы моментов. Теорема 7. Пусть с = г(х) — функция распределения и для и > 1 р„ = $ !хГ агг(х).
!пп —" <оо, (5б) л ао то моменты (т„)„>г, где т„= ) х" г(Г(х), однозначно определяют функцию распределения г" = г(х). Доказательство. Из (5б) и утверждения 7) теоремы 1 следует, что наидется такое Го > О, что для всех !1! < Го характеристическая функция !е(1) = ) егг" г(г(х) представима в виде Ч12. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ зтз р(1) = ~Ч вЂ”, рий(з), где рий(з) =1" ) х еи'дР(х) однозначно определяется по моментам (т„)„>ь Следовательно, эти мо- 3 менты определяют однозначно ср(Г) для всех [1[< — го. Продолжая этот 2 процесс, убеждаемся в том, что (т„)„>~ определяют однозначно <р(1) при всех 1, а значит, и функцию распределения р(х). П Следствие 1. Моменты однозначно определяют распределение вероятностей, сосредоточенное на конечном интервале.
Следствие 2. Для единственности проблемы моментов достаточно, чтобы 1/эь 11т '"" и ьь 2п (57) Для доказательства нужно лишь заметить, что нечетные моменты оцениваются по четным, и затем воспользоваться условием (56). Пример. Пусть Р(х) — функция нормального распределения, к р г"(х)= — ) е Б~ Ж. ~/2яоэ Тогда тэ„+~ =О, тэ„= — (о" и из (57) следует, что эти моменты (2п)! 2лп! являются моментами только нормального распределения. Приведем в заключение (без доказательства) Критерий Карлемана (единственности проблемы моментов); [69, т.
2, т'П.З]. а) Пусть (т„)„>~ — моменты некоторого распределения вероятностей, причем 1 (тэ„) '~э" п=о Тогда они определяют распределение вероятностей однозначно. и, следовательно, моменты (т„)„>~ однозначно определяют значение характеристической функции р(1) для всех [1[ < (О. Возьмем точку з с [з[ < 1О/2.
Тогда из (56), так же как и при доказательстве (15), выводится, что для всех [1 — з[ < го 376 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Ь) Если (т„)„>~ — моменты распределения, сосредоточенного на [О, со), то для однозначности достаточно потребовать, чтобы 1 ~-~ ~т„)'~" 1О. Пусть Р=Р(х) н 6=6(х) — функции распределения с характеристическими функциями 1 = Т(!) н д = д(!) соответственно. Следующая теорема, которую мы приводим без доказательства, показывает, как можно оценить близость Р н 6 (в равномерной метрике) в терминах близости Г и д. (По поводу применений этой теоремы см. $ !! гл. Ш.) Теорема (неравенство Эссеена).
Пусть 6(х) имеет производную 6'(х) с ацр 16'(х) ) < С. Тогда для каждого Т > О т 00 зцр 1г(х) — 6(х)(< — ~ ~ ~ ~ дг+ — ацр !6'(х)). ! 1. На следующей странице приведены две таблицы характеристических функций у(!) некоторых часто встречающихся распределений вероятностей; см. таблицы распределений (вместе с их параметрами) на с. 196 н 197.
12. Задачи. 1. Пусть С н и — независимые случайные величины, )(х) = !1(х)+1)з(х), д(х) = д1(х)+ !дз(х), где Ть(х), уь(х) — борелевскне функции, у =1, 2. Показать, что если Е!Д(~)! <со, Е!у(4)! <оо, то Е(Т(~) у(п)) < оо Е7(()д(п) = ЕЩ. Ед(п). 2. Пусть С = ф, ..., С„) н ЕЦЦ" < оо, где 11С!! = т/Я Сг. Показать, что л уг(!) =~~~ —,Е(1, ~) +е„(!Ц1(/", где ! = (Гн ..., 1„) н г„(!) — О, ! — О. 3.
Доказать теорему 2 для п-мерных функций распределения Р= = Р„(хн ..., х„) н 6 = 6„(хн ..., х„). 4. Пусть Р=Р(хь ..., х„) — и-мерная функция распределения, р= =~р(1н ..., 1„) — ее характеристическая функция. Используя обозначение (12) $3, установить справедливость формулы обращения с с л и„д и ь Р(а,ь)=(т — „1 ... 1 П' .,' р(!И...,г„)дй..,.дг„. -г -ье — 1 4 !2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНК)(ИИ 377 Таблица 4 Таблица 5 Распределения, имеюшие плотность Характеристические функции еае — ееа Равномерное на [о, Ь] Нормальное, или гауссовское Гамма п(ь -а) е»!» ехр((гт — — ) (! — ДР) Г(а+ Д) ее (Н)»Г(а+») Г( )»~е»)Г( +Р+») Г()+») Л Л-7! Л»еее !»+ Л» (! — 2(!) ан ~/еТ((п+!)/2)»кР( ~ю ! ~ (2Й)! С»», „(2 /"]г])~ ~ » Г(п/2! 2»! — ~)(т-!)!» е " + е+! если т = — — целое число 2 е -еш Бета Экспоненциальное Двустороннее экспоненциальное Хи-квадрат Стьюдента, или г-распределеиие Коши (В приведенной выше формуле обращения (а, Ь] является интервалом непРеРывности фУнкции Р(а, Ь], т.
е. пРи всех й= ), ..., и точки аы Ь» являются точками непрерывности маргинальных функций распределения "»(х»), полученных из Р(х!, ..., х„), если положить все переменные, за исключением х», равными +со.) 378 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 5. Пусть у»(1), й > 1, — характеристические функции, а неотрицательные числа Лы й > 1, таковы, что 2, Л» =1. Показать, что фУнкцна 2 Л» Р»(1) является характеристической. 6. Если ~р(1) — характеристическая функция, то будут лн 1?е р(1) н !Гп ~р(1) характеристическими функциями? 7. Пусть 1ен 1рз,~рз †характеристическ функции н р~ р2 =~о~ рз.
Следует лн отсюда, что у2 = рз? 8. Доказать справедливость формул, приведенных для характеристических функций в табл. 4 н 5. 9. пусть с — целочисленная случайная велнчнна н ре(1) — ее характеристическая функция. Показать, что Р(С = й) = — ) е '»' рс(1) п1, й =О, Ы, ~2, ... »ч»! 10. Показать, что в пространстве 12 = 1.2(( — я, я], йг( — л, я]) с мерой Лебега !» система функций ( — е'"", л = О, Ы, ... ~ образует ортонор- ~/2яя мнрованный базис. 11.
В теореме Вохнера — Хннчнна предполагается, что рассматривае- мая функция»2(1) является непрерывной. Доказать следующий результат (Рнсс), показывающий, в какой степени можно отказаться от предполо- жения непрерывностн. Пусть 22= р(1) — комплекснозначная измеримая по Лебегу функция с р(0) = 1. Тогда функция у= р(1) является положительно определенной в том н только том случае, когда она совпадает (почтн всюду относитель- но лебеговой меры на числовой прямой) с некоторой характеристической функцией. !2. Какие нз функций р(1)=е !'1, 0<А<2, »2(1)=е !'1, й>2, р(1) =(1+]1!) ', Ф1)=(1+1') ', /1 ]1]з ]1! < 1 ] 1 ]1! ]1! < 1/2 (О, ]1! > 1, (1/(4]1!), ]1! >!/2, являются характеристическими? 13. Пусть р(1) — характеристическая функция распределения Е'= г(х).
Пусть (х„) — множество точек разрыва функции р (1»г(х„)жр(х„)— — г(х„-) > 0). Показать, что т йгп Г ~ ]~о(1)]2 л1= ч~~ (Ог(х„))2. л>! й !2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 379 14 Функцией концентрации случайной величины Х называется функция 1'„)(Х; !)=зцр Р(х<Х<х+1). кся Показать, что: (а) если Х и У вЂ” независимые случайные величины, то Я(Х+ У; 1) < т!п(1;7(х; !), О(У; 1)) для всех ! > 0; (Ь) найдется такое х,", что Я(Х; !) = Р(х," < Х < х,'+ !), и функция распределения величины Х непрерывна тогда н только тогда, когда Я(Х; 0) = О.
!5. Пусть(т„)„>~ †последовательнос моментов случайной величины х ° фу ~жп ~~„„г-ч*)[,= ! *'ю >).и ть если ряд ~ , '— ~з" сходится абсолютно для некоторого з >О, то (т„)„в! ь=! однозначно определяет функцию распределения г =Р(х). 16. Пусть р(1) = ) еик Иг(х) — характеристическая функция распределения г = г(х). Показать, что: с !пп — ) е ""р(1)Ж=г(х) — г(х-), с !пп — ) [р(1)[2~И =~~ [г(х) — г(х — )]2. кем 17.
Показать, что каждая характеристическая функция р(1) удовлетворяет неравенству 1 — 1(е р(21) < 4[1 — )хе р(1)]. ! 8. Пусть характеристическая функция р(1) такова, что р(1) = 1+ !(1)+ +о(12), 1 — О, где [(1) =-!( — 1). Показать, что тогда р(1) кв!. 19. Показать, что для каждого и >! функции а-! еи — 2 (!1)"/й! ь=е Р.( ) = (,1У,~„! являются характеристическими. 20. Доказать, что — й,; '" (1= ~ [ [(Р(). 380 ГЛ. и.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 2!. Пусть характеристическая функция р(1)= !+0([1[ ), г- О, где аЕ(О, 2]. Показать, что случайная величина Е, имеющая своей характеристической функцией функцию р(1), обладает следующим свойством: Р([б[ >.х) = 0(х '"), х - О. 22. Если р(1) — характеристическая функция, то функция [~о(1)[з— также характеристическая. 23. Пусть Х и У вЂ” независимые одинаково распределенные величины с нулевым средним и единичной дисперсией. Доказать, основываясь на рассмотрении характеристических функций, что если распределение величины (Х + У)/~/2 совпадает с распределением г" величин Х и У, то это р является нормальным распределением. 24. Если р есть характеристическая функция, то таковой же является функция ем" Н для каждого Л>0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
