А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Приведенный в п. 4 $9 пример процесса восстановления (конструктивно заданного по последовательности независимых одинаково распределенных величин он оэ, ...) наводит на мысль о возможности построить аналогичным образом некоторую версию броуновского движения. Такие конструкции, основанные на привлечении последовательности 5н Сз, ... независимых одинаково распределенных стандартных гауссовских случайных величин С; .Лг(О, 1), действительно существуют. Образуем, например, величины В~ — — — ~ ~" з)п((п+ 1/2)я(), 1 Е [О, 1]. (26) ~/2 к и+1/2 «=1 являются независимыми. В самом деле, в силу гауссовости достаточно проверить лишь попарную некоррелированность приращений.
Но если с <1<и<о, то О !3. ГАУССОВСКИЕ СИСТЕМЫ 39! Нз приводимой далее теоремы о «двух рядах» (теорема 2 $3 гл. 1У) вытекает, что ряд, определяющий В!, сходив!си (Р-п. н.) при каждом Г Е [О, 1]. Более детальное рассмотрение показывает, что этот ряд сходится (Р-п. н.) равномерно, и тем самым процесс В =(В!)ок!к! имеет (Р-п. н.) непрерывные траектории. Нормальность конечномерных распределений этого процесса следует из теоремы 1 Ь) и утверждения в п. 5 о сохранении гауссовости распределения предела по вероятности гауссовских случайных величин. Нетрудно убедиться также в том, что коварнационная функция г(з, Г) =ЕВ,В! =ппп(з, 1). Таким образом, построенный в (26) процесс В =(В!)9<!<! удовлетворяет всем требованиям в определении процесса броуновского движения, но, более того, этот процесс имеет (Р-п.
н.) непрерывные траектории. Как правило, свойство непрерывности траекторий (которое является желательным и оправданным физическими применениями) включают в само определение броуновского движения. Как видим, такой процесс действительно существует. Укажем еще на один известный способ построения броуновского движения, основанный на введенных в п.
5 $11 функциях Хаара Н«(х), х е [О, 1[, п = 1, 2, ... Построим по ним функции Шаудера 5„(1), Г е [О, 1], и = 1, 2, ...: 5„(1) = ~ Н„(х) дх. о (27) Тогда если со, с!, со, ... — последовательность независимых одинаково распределенных стандартных, Б Ф'(О, 1), случайных величин, то ряд (28) г(з, Г)=щ!п(з, 1) — 31, (29) называется условным винеровским процессом или броуновским мосгпом (заметим, что поскольку г(1, 1) = О, то Р(Во = 0) = 1).
Пример 3. Процесс Х = (Х!), 1 Е й с й = ( — со, оо) и г(з, 1) =е !' '! (30) называют гауссовско-марковским. сходится равномерно по Г е [О, 1] с вероятностью единица. Процесс В = =(В!)о<!<! является броуновским движением. Пример 2. Процесс В = (Во), г Е й с й = [О, 1], Во эз 0 и 392 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 8. Приведем одно интересное свойство броуновского движения, доказательство которого будет служить хорошей иллюстрацией применения леммы Бореля — Кантелли из $10 (точнее — следствия 1 к ней).
Теорема 3. Пусть В =(В()(>ь — стандартное броуновское движение. Тогда с вероятностью едина((а для всякого Т > 0 2'Г „!!ш Е (Вез " В(А — !2- ! Т 2 ь=( (31) Доказательство. Без ограничения общности можно считать Т = 1. Пусть А« „. ~~» (В В )2 ь=( ПосколькУ величины Вьэ-. — В(ь (!2-. ЯвлЯютсЯ гаУссовскими с нУлевыми средними и дисперсией, равной 2 ", то 0(~ (Вез-. — В(ь (,2-.)2 =2 "+', ' ь=( значит, по неравенству Чебышева Р(А„') < г 22 "+', и тем самым Р(А„') <е 2 ~ ~2 "+'=2е 2<со. (32) л=( и=( Требуемое утверждение (31) следует из этой оценки и следствия 1 к лемме Бореля — Кантелли ($10).
П 9. Задачи. 1. Пусть С(, Сз, Сз — независимые гауссовские случайные величины, с( .У(0, 1). Показать, что ААвА =А, Ав =УА'=А'У. 4(+Ыз У(0 П (В этой связи возникает интересная для исследования задача описания всех нелинейных преобразований от независимых гауссовских величин с(, ..., С„, распределение которых также является гауссовским.) 2. Доказать, что «матрицы» !к= (г(з, 1))к(ея, задаваемые функциями г(з, 1) из (25), (29) и (30), являются неотрицательно-определенными. 3. Пусть А — некоторая матрица порядка т х л.
Назовем матрицу А(э порядка л х т псевдообратной к матрице А, если найдутся такие матрицы 0 и У, что $! 3. ГАУССОВСКИЕ СИСТЕМЫ ЗЯЗ Показать, что матрица Аз, определяемая этими условиями, существует и единственна. 4. Показать, что формулы (19) и (20) в теореме о нормальной корреляции остаются справедливыми и в случае вырождения матрицы 011, если в этих формулах вместо 0 ' рассматривать псевдообратную матрицу 0$. 5. Пусть (д, С) = (дн ..., д», Сь ..., ~~) — гауссовский вектор с невырожденной матрицей с» эз 0»е — 0$0»1.
Показать, что у функции распределения Р(у<а]с)=Р(д~ <аы ..., д» <а»]О существует (Р-п. н ) плотность р(аь ..., а»]4), определяемая формулой ],«]-!/з р(ан ..., а»]О= — » т ехр( — -(а — Е(д]о)'гз '(а — Е(д]О)). 6. (С. Н. Бернштейн.) Пусть с и ь) — независимые одинаково распределенные случайные величины с конечной дисперсией. Доказать, что если ('+г! и С вЂ” ь) независимы, то С и и являются гауссовскими величинами. ?.
Теорема Мерсера. Пусты =г(з, 1) — непрерывная ковариационная функция на [а, Ь] х [а, Ь], где — со<а<Ь <со. Доказать, что уравнение ь Л $ г(з,1)и(1)г(1=и(з), а<а <Ь, « допускает бесконечное число значений Л» > 0 и соответствующую систему непрерывных решений (иы й > Ц, образующих полную ортонормированную систему в 1.з(а, Ь) такую, что и»(з)и»(0 л, »»и где ряд сходится абсолютно н равномерно на [а, Ь] х [а, Ь]. 8. Пусть Х=(ХО 1>0] — гауссовский процесс с ЕХ~ =0 и ковариационной функцией г(з, 1)=е !' '1, з, 1>0. Пусть 0<1! «...1„и 1п ц(хь ..., х,) — плотность величин Хп, ..., Хц. Доказать, что « 1 — 1/з * =( и(-"-- )] !«а х! 1 (х; — е1'-' Пх; 1) "ехР«( 2 2 Е ! з<Ь,-Ы г=а 9. Пусть 1 =(1„, и > 1) с (з(0, 1) — полная ортонормированная система и (с«) — независимые одинаково распределенные Ф'(О, 1)-величины.
По! казать, что процесс В~ = 2 ', ~„~ 1„(и) с(и есть броуновское движение. «в! о 394 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 10. Доказать, что в случае гауссовских систем К, ))(, ..., ))„) Условные математические ожидания ЕК ! и(, ..., пи) совпадаютс математическими ожиданиями в широком смысле ЕК!))(, ..., ))„). 1!. Пусть К, ))(, ..., т)») — гауссовская система. Выяснить структуру условных математических ожиданий ЕК" (г)(, ..., ))»), п >! (как функций от))(, ..., и»).
12. Пусть Х =(Х»)(<»<„и У = (У»)(<»<„— две гауссовские случайные последовательности с ЕХ»=ЕУМ 0Х»=ОУМ 1 <й<п, н соч(ХМ Х ) < сок(УМ У(), ! < й, 1 < и. Доказать справедливость неравенства Слепяна: для всякого х Е )( Р( ацр Х» <х) < Р( зцр У» <х).
(<»<и (<»<и 13. Доказать, что если В' = (В;)е<)<(, то процесс В = (В()(>е с В( = = (1+1)В;~((+( является броуновским движением. 14. Проверйть, что для броуновского движения В = (В,)(>е следующие процессы также являются броуновскими движениями: в, = — в,; и) В, =!В(у(, 1>О, н Ве — — 0; (2) (2) В,з =Ви+, — В„з >О; (з) В("=Вг — Вг, для 0<(<Т, Т>0; В, =-В,и), а>0(свойство автомодельности). (5) а 15. Пусть Х =(Х»)(<»<„— гауссовская последовательность с тлл шах ЕХ», азии шах 0ХМ (<»<л (<»<л Р! шах (Х» — ЕХ») >а) <1/2 для некоторого а.
((<»<л Тогда имеет место следующее неравенство Борелл: Р( шах Х»>х) <2Ф( ), где Ф(х)=(2я) ()2 ') е » Уз((у. 16. Пусть (Х, У) — двумерная гауссовская случайная величина с ЕХ = = Е У = О, ЕХ2 > О, Е У2 > 0 и коэффициентом корреляции р = ЕХУ ~/ЕХХ2Е У~ $13. ГАУССОВСКИЕ СИСТЕМЫ 395 Показать, что Р(ХУ < 0) = 1-2Р(Х > О, У >О) =я ' агссоз р. Р(В,", Е ~ В,",) Р(В," Е (В,", В,") для 1~ < 19 и (~ > (з н для 19 < 6 ~ < 19. 17. Пусть Х=ХУ, гдеХ +'(О, Ц и Р(У = Ц=Р(У= — Ц=-.
Найти 1 2' распределение пар (Х, Х) и (У, Х) и распределение Х+ 2. Показать, что 2- Ф'(О, Ц и что Х и Х некоррелированы, но зависимы. 18, Провести подробное доказательство того, что процессы (Вг)р«,ы определяемые в (26), (28), являются броуновскими движениями, 19. Пусть В" = (Вг + ц()г>9 — броуновское движение со сносом. (а) Найти распределение величин В," + В",, 1~ < (з.
(Ь) Найти ЕВ",,В," и ЕВ" В,"В,", для 19 <1~ < (з. 20. Для процесса В" из предыдущей задачи найти условные распреде- ления Глава Н! БЛИЗОСТЬ И СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА $1. Слабая сходимость вероятностных мер и распределений ...... 397 $ 2. Относительная компактность и плотность семейств вероятностных распределений 407 93. Метод характеристических функций в доказательстве предельных теорем . 413 $4. Центральная предельная теорема для сумм независимых случайных величин. 1.
Условие Линдеберга ..................... 421 $5. Центральная предельная теорема для сумм независимых случайных величин. 11. Неклассические условия................. 433 438 $6. Безгранично делимые и устойчивые распределения ... 447 $ 7. «Метризуемость» слабой сходимости $8. О связи слабой сходнмости мер со сходимостью случайных элементов почти наверное («метод одного вероятностного пространства»)...... 452 $9. Расстояние по вариации между вероятностными мерами. Расстояние Какутани — Хеллингера и интегралы Хеллингера. Применение к абсолютной непрерывности и сингулярности мер ... 460 $ 10.
Контигуальность (сближаемость) и полная асимптотическая разделимость вероятностных мер 470 $11. О скорости сходимости в центральной предельной теореме.... 475 479 $12. О скорости сходимости в теореме Пуассона $ !3. Фундаментальные теоремы математической статистики ....... 481 При формальном настроении курса теории вероятностей аредельные теореми яоявляются в виде своего рода надстройки над элементарными главами теории вероятностей, в которыя все задачи имеют конечный, чисто арифметический,характер.
В действительности, однако, ноэнавательная ценность теории вероятностей раскрывается только аредельными теоремами. Более тогт без аредельныл теорем не моэсет быть понято реальное содержание самого исходного нанятая всей нашей науки — яонятия вероятности. Б. В. Гнехенно, А. Н. Колмогоров. «Предельные рэспрехеяення эля сумм неээенснмых случайных величин» 1'161 В 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
