А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 70
Текст из файла (страница 70)
4!4 ГЛ. 1П. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Сущность этого метода состоит в следующем. 2. Мы уже знаем ($12 гл. П), что между функциями распределения и характеристическими функциями существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому изучение свойств функций распределения можно проводить, изучая соответствующие характеристические функции. Замечательным оказывается то обстоятельство, что слабая сходимость Е„- Е функций распределения эквивалентна поточечной сходимости 1с„р соответствующих характеристических функций.
Более того, имеет место следующий результат, являющийся основным средством доказательства теорем о слабой сходимости распределений на числовой прямой. Теорема 1 (теорема непрерывности). Пусть (Е„) — последовательность функций распределения Е„=Е„(х), хЕД, и (1с„) — соответствующая последовательность характеристических функций, р„(1) = ) еих с(Е„(х), 1) Если Е„- Е, где Е=Е(х) — некоторая функция распределения, то 1о„(1)-+ р(1), !ЕЙ, где р(г) — характеристическая функция Е = Е(х).
2) Если при каждом (Е)! существует предел йт р„(!) и функция у(1) =!пп р(1) непрерывна в точке 1 = 0, то она является харак- и теристической функцией некоторого распределения вероятностей Е=Е(х) и Доказательство утверждения 1) сразу следует из определения слабой сходимости, примененного к функциям Ке егы и!т е"". Доказательству утверждения 2) предпошлем несколько вспомогательных предложений. Лемма !. Пусть (Р„) — плотное семейство вероятностных мер. Предположим, что каждая слабо сходящаяся подпоследовательность (Р„) последовательности (Р ) сходится к одной и той же вероятностной мере Р.
Тогда и вся последовательность (Р„) слабо сходится к Р. Доказательство. Допустим, что Р„т' Р. Тогда найдется такая ограниченная непрерывная функция Т = Т(х), что ~ ~(х)Р„(дх) ~ ~ ~(х)Р(йх). уз, ынтод хдрлктеристичнских функций Отсюда следует, что существуют е>0 и бесконечная последовательность чисел (п')С (н) такие, что )(х) Ры(йх) ~ ~(х) Р(йх) > е > О, (3) По теореме Прохорова ($2) нз последовательности (Р„) можно выбрать подпоследовательность (Р„.
) такую, что Р„ — О, где 0 — некоторая ве- роятностная мера. По предположению леммы 0 = Р, н, значит, ~ )(х) Р„(йх) — ~ Дх) Р(йх), е я ~р,(!) = ~ егм Р„(йх). е Доказательство. Если семейство (Р„) плотно, то по теореме Прохорова найдугся подпоследовательность (Р„ ) н вероятностная мера Р такие, что Р„. -+ Р. Предположим, что вся последовательность (Р„) не сходится к Р (Р„;4 Р). Тогда в силу леммы ! найдутся подпоследовательность (Р„ ) н вероятностная мера 0 такие, что Р„» — О, причем Р ~ О.
Воспользуемся теперь тем, что прн каждом ! б )г существует (нп !с„(!). Тогда )пп ~ екк Р„ (йх) = йп ) еик Р„«(йх) я я и, значит, ~ еик Р(йх)=~ еи'0(йх), ! е)(. Но характеристическая функция однозначно определяет распределение (теорема 2 $ (2 гл. )!). Поэтому Р = О, что противоречит предположению Р„~4 Р, Что же касается обратного утверждения леммы, то оно непосредственно следует нз определения слабой сходнмости.
П что находится в противоречии с (3), П Лемма 2. Пусть (Р„) — плотное семейство вероятностных мер на ()х, йй(к)). Последовательность (Р„) слабо сходится к некоторой вероятностной мере тогда и только тогда, когда для каждого ! е)! существует!пп р„(!), где !ь„(!) — характеристическая функция меры Р„: ГЛ.
1П. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Следующая лемма дает оценку «хвостов» функции распределения по поведению ее характеристической функции в окрестности нуля. Лемма 3. Пусть Е=Е(х) — функция распределения на числовой прямой и р=рЯ вЂ” ее характеристическая функция. Тогда существует такая константа К > О, что для всякого а > О дЕ(х) < — ~ [1 — Ке р(1)] й1. К 1«1 > 1/а о (4) Доказательство. Поскольку Ке !а(1) = ) соз |хйЕ(х), то, применяя теорему Фубини, находим, что > !п1 (1 1е!>1 где — = 1п! (1 — — ] = 1 — ейп 1 > —, 51п УХ К !е!>1~ у У 7' так что (4) заведомо справедливо с константой К = 7. П Доказательство утверждения 2 теоремы 1.
Пусть р„Я вЂ” Ч1Я, и- оо, где функция 1р(1) непрерывна в нуле. Покажем, что отсюда следует плотность семейства вероятностных мер (Р„), где Р„ — мера, соответствующая функции распределения Е„. В силу (4) и теоремы о мажорируемой сходимости Р.(К~(--',-'))= ~ дЕ„(х)< 1«!>— < — ) [1 — Ке р„(!)] Ж -+ — ') [1 — Ке 1е(1)] Ю К К о при п- оо. Поскольку по предположению функция 1а(1) непрерывна в нуле и 1р(О) = = 1, то для всякого е > О можно найти такое а > О, что для Р„[К'! ( — —, Ч) <е для всех и>1. а а! оо о О -оо оо ! а — — )(1 — со5 1х) аг о — соз 1х) ИЕ(х) Ж = ИЕ(х)= $ (1 — — ) дЕ(х) > — — — ""У) 1 дЕ(х)=! 1 йЕ(.), у К 1ак1>1 1а1>1/а 4 3.
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНК21ИЙ 4!7 Следовательно, семейство (Р„) плотно, и в силу леммы 2 существует вероятностная мера Р такая, что Р,— +Р. Отсюда р,(Г)= ~ еихР„(дх)- ~ еи'Р(дх), н в то же самое время р„(1)- р(г). Поэтому р(Г) является характеристической функцией вероятностной меры Р. С) Следствие. Пусть (Р„) — последовательность функций распредемним и Ьр„) — соответствующая последовательность характеристических функций. Пусть, кроме того, Р— функция распределения, р — ее характеристическая функция.
Тогда Р„- г, если и только если р„(1) — рЯ для всех ге)!. Замечание. Пусть ц, цп 7)2, ... — случайные величины н Р„„— Рч. В соответствии с определением 4 $10 гл. !! тогда говорят, что случайные величины ць 772, ... сходятся по распределению к ц, н записывают это в виде ц„- ц. Эта запись наглядна (д — от гДзГгйуибоп) н поэтому часто в формулировках предельных теорем ее предпочитают записи р„„- рч. 3.
В следующем параграфе теорема 1 будет применена для доказательства центральной предельной теоремы для независимых разнораспределенных случайных величин. Доказательство будет вестись прн выполнении так называемого условия Линдеберга. Затем будет показано, что условие Ляпунова обеспечивает выполнение условия Линдеберга. Сейчас же мы остановимся на применении метода характеристических функций к доказательству некоторых простых предельных теорем. Теорема 2 (закон больших чисел).
Пусть 5, Сэ, ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с Еф! <оо, 5„=С1+...+(„и Е(~ =т. Тогда — — т, т. е. для 5, Р и всякого е > О РД вЂ”" — т~ >е1 — О, п — +оо. Доказательство. Пусть ср(1) =Ееиг' н рз (Г)=Ееи ь . Тогда в силу независимости случайных величин н формулы (6) $ !2 гл.! ~.
(1) = [~(-„')1" Но, согласно (14) $12 гл. !1, рЯ=1+11т+оЯ, 1-+О. '/, 14 — 9727 ыа ГЛ. НЕ СХОЛИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Значит, для всякого фиксированного г Е Й 1ь( — ) =1+! — т+о( — ), и- оо, 1 и поэтому 1вз (1) = ~! +1 — т+ о (-)] — еи . и Функция у(1) =еи непрерывна в нуле и является характеристической функцией вырожденного распределения вероятностей, сосредоточенного в точке т.
Поэтому Бь л и значит (см. задачу 7 в $10 гл. 11), ьь Р— — + т. П и Теорема 3 (центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин). Пусть (ь С2, ...— последовательность независимых одинаково распределенных (невырожденнык) случайных величин с Е(2~(оо и 5„=(~+...+$,. Тогда при и-+оо Р( — <х~ -+Ф(х), хЕ)7, к Ф(к)= — ~ е 'гть(и. ~/2~г Доказательство. Пусть Е~6 = т, 0~6 =аз н ф1) = Ееинл Тогда, если обозначить из -Е5 ~р„(1) =Ее ~55., то получим, что Но в силу (14) $12 гл.
П 222 р(1)=1 — — +о(12), 1- О. 2 й 3. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНК»ТИЙ 4»9 Поэтому для любого фиксированного 1 и л — оо оз»з 1 л »Рч(1)= ~1 — — +о(-)] - е '~з. Функция е ' »з является характеристической функцией нормально распределенной случайной величины (обозначим ее . г (О, 1)) с нулевым средним и единичной дксперсией, что в силу теоремы 1 н доказывает требуемое утверждение (5). В соответствии с замечанием к теореме 1 зто утверждение записывают также в следующем виде: " -+.4 (О, 1).
~ч П Предыдушие две теоремы относились к асимптотическому поведению вероятностей (нормированных и центрированных) сумм 5„=С»+... +Е„ независимых одинаково распределенных случайных величин. Однако, чтобы сформулировать теорему Пуассона ($6 гл. 1), приходится привлекать к рассмотрению более обшую модель, называемую схемой серий случайных величин. Именно, будем предполагать, что для каждого л > 1 задана последовательность независимых случайных величин с„», ..., с„„. Иначе говоря, пусть задана треугольная таблица с»» 6» 69 Ь» 4зз Ьз случайных величин, которые в каждой строчке независимы между собой, Положим 5,=(;»+" +(' Теорема 4 (теорема Пуассона). Лусть при каждом н >! независимые одинаково распределенные случайные величины с„», ..., ( таковы, что Р(~„» = Ц = р ь, РК„» = О) = »Т„», 1 < й < н, р»»+д„»=1, »пах рч» — О, р„»+...+р„„- Л>0, и-+со.
»<»<ч Тогда е»Л Р(5ч=т)- —, т=О, 1, Доказательство. Поскольку для 1 < й < н Ее»»с" = р,»еи+4 ю ГЛ. Ш, СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР то Чз„(1) =Еанз" =П ()Ьмап+Ь|,)=П (1+Ь|(ап — 1))- — ехр(Л(еп — 1)), а -+ со. Функция у(1)=ехр(Л(еп — 1)) является характеристической функцией пуассоновского распределения (пример 3 и п. 2 $12 гл.
П), что и доказывает (7). Если через я(Л) обозначить пуассоновскую случайную величину с параметром Л, то по аналогии с (6) утверждение (7) можно записать также в следующем виде: 5„А к(Л). 4. Задачи. 1. Доказать справедливость утверждений теоремы 1 для случая пространств )7", а > 2. 2. Пусть 5, Ез, ... — последовательность независимых случайных величин с конечными средними значениями Е)(„( и дисперсиями 0Е„такими, что 0с„<К <со, где К вЂ” некоторая константа. Используя неравенство Чебышева, доказать справедливость закона больших чисел (1). 3. В следствии к теореме 1 установить, что семейство (у„) равносгпепенно непрерывно и сходимость у„- у равномерна на каждом ограниченном интервале. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
