А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 73
Текст из файла (страница 73)
~„4(!) = Еег!4"', 1„(!) = Ееиз", ОО 0О р„ч(1) = $ егыаФ„4(х), р(!) = ) еи" аФ(х). Из $12 гл. !1 следует, что !ч, 7 !Р„л(1)=е Я с! !р(1) = е й'. Согласно следствию к теореме 1 из $3, 5„- .д'(О, 1) тогда и только тогда, когда )„(!) - !р(!), п - со, для всякого действительного 1.
Доказательство теоремы 1. Доказательство необходимости условия (Л) довольно сложно ([88], [91], [96]). Приведем здесь лишь доказательство его достаточности. Пусть 4в. цннтрлльнля пркдяльнля ткорнмл, и 435 Имеем й л ю- ()=П1"() — П "() »=! »=! Поскольку [)»Я[<1, [р»(!)[<1, то !1.(Е) — р((Н= и !.»(1) — и Р. Я <Е [[.»(!) — Р.»(1)[= »=! »=! »=! к цр ен" ЯГ» — Ф»») =~ ~ [еп"-!!х+ — ) г!(Г„» — Ф„»), (4) »=! ~> »=! где мы воспользовались тем, что для 1=1, 2 ~ х»г)Г„»= ~ х»г(Ф„». Применяя формулу интегрирования по частям (теорема 11 в $6 гл.
И) к интегралам ) (ен" — !(х+ 2 ) !г(Г„» — Ф„»), к получаем (с учетом того, что ха[! — Г„»(х)+Г„»( — х)[- О, хе[1 — Ф„»(х)+ +Ф„»( — х)[ — +О, х-»оо) ! х $ (еп' — !(х+ — ) !1(Г„» — Ф„») = = — !! $ (е!" — ! — !!х)(Г„»(х) — Ф„,(х)) г(х. (5) Из (4) и (5) имеем [[„(1) — р(8)[(~ ! $ (егм — ! — »!х)(Г»(х) — Ф «(х))!(х < -со — ~ ~ [[[Г.
()-Ф..()[(.+ !!!' »=! р1<6 и + 21~ ~ ') [х[ [Г„»(х) — Ф»»(х)[!»х < »=! 1к1>е к л < к[1[ ~ сг~» + 21~ ~~ $ [х[[Г,»(х) — Ф,»(х)[с(х, (6) »=! 1к!>е ГЛ. и!. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР (9) при этом мы воспользовались неравенством ]х] ]Е„ь(х) — Ф»ь(х) ] дх < 2оэь, (7) 1«!<е справедливость которого легко установить, опираясь на формулу (71) из $6 гл. И. Из (6) в силу произвольности е>0 и условия (Ет) следует, что Ы) ч(1),л С) Доказательство теоремы 2. 1. Согласно $4, условие Лимдеберл га ((.) влечет условие тах о2 - О. Поэтому, учитывая, что 2, оэ =1, !<А< Е" еь получаем л хэе(ф„ь(х) < ) хзс(Ф(х) - О, и-+со. (8) й ! 1«!)е !«1>ед »1»х е ч чек Вместе с условием (!.) это дает, что для всякого е > 0 х2 г( [Е„(х) + ф„ь(х)] О, и со.
й=! 1«!)е Зафиксируем е > О. Тогда найдется такая непрерывно дифференцируе- мая четная функция й = й(х), что ]Ь(х)] < х2, ]Ь'(х)] < 4]х], ! х2, ]х]>2е, Ь(х) = 4( (О, ]х]<е. Для такой функции й(х) в силу (9) й(х) д[Е„ь(х) + Ф„ь(х)] — О, п -+ оо.
(10) ь=! 04>е С помо!цью интегрирования по частям из (10) находим: Е Е ') Ь'(х)[(1 — Е„ь(х))+(1 — Ф„ь(х))]е(х= ) ') й(х)д[Е„ь+Ф„ь]- О, Ь=! «)е Ь=! «>е Е Е К(х)[Е„ь(х)+ Ф„ь(х)] дх = ~ ~ Ь(х) й[Е„э+ Ф„ь] - О. Ь=! «4-е ь=! «к-» Поскольку Ь'(х) =2х при ]х] > 2е, то Е ]х] ]Е„ь(х) — Ф„ь(х)] е(х -+ О, и со. ь=! 1«!>2» $5. Нентрлльндя предельнАя теОРемА, !! 4зт Таким образом, в силу произвольности е > 0,(1.) ~ (Л). 2, В силу условия шах оз — 0 и (8) для введенной выше функции А=А(х) получаем, что л л й(х)дФ„а(х)<~ ~ хз!(Ф„А(х)- О, и- со. (!1) Й=! и!>е а=! !х!>е Далее, с учетом интегрирования по частям, находим: л И(х) с(!Р„А — Ф„а] < а=! !я!>е л п < ~, ~ й(х)4(1 — ГА) — (1 — Ф,а)1 +~~~', ~ А(х)с(Гы, — Ф,ь) < (,— ! кве а=! >«-е а я <~ ') 1й'(х))!(1 — РА) — (1 — Ф„а))!(х+~ ') !й'(х)Я(ГА — Ф„А!ах< а-! каг «=! «~-е л < 4 ~ ~ !х) )Р„~(х) — Ф„а(х)! дх.
(12) А=! !л!>к Из (11) и (12) следует, что я л хз с(Р„А(х) < ~ ') А(х) ЫГ„А(х) О, и -+ оо, а=! М!еяс а=! !м!вй т. е. выполнено условие Линдеберга (1.). П 3. Задачи. 1. Доказать справедливость формулы (5). 2. Проверить справедливость соотношений (10), (!2). 3. Пусть А( =(У!)!ва — процесс восстановления, введенный в п. 4 $9 гл. И (А!! = 2 1(Т„< !), Т„= с!! +...
+о„, где о!, оз, ... — последовательа=! ность независимых одинаково распределенных положительных случайных величин). Предполагая, что и = Ео! < оо, 0 < ()о! < оо, доказать справедливость центральной предельной теоремы: -! 4'(О, 1), тджх-зЬа~ где.л'(О, 1) — стандартно распределенная нормальная случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией. ГЛ.
Ш, СХОЛИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР В 6. Безгранично делимые и устойчивые распределения !. В $3 отмечалось, что для формулирования теоремы Пуассона приходится прибегать к рассмотрению так называемой схемы серий, считая, что при каждом п > 1 задана последовательность независимых случайных величин (С„»), ! <й<п.
Положим Тч = Е, +... + Ел „, п > 1. Понятие безгранично делимого распределения возникает в связи со следующим вопросом: как охарактеризовать все те распределения, которые могут выступать в качестве предельных для последовательности распределений случайных величин Т„, и > 1? Вообще говоря, при такой общей постановке вопроса предельное распределение может быть произвольным. Действительно, если С вЂ” некоторая случайная величина и Ел = С, С„,» =О, 1 < й < и, то Т„ю С и, следовательно, предельное распределение совпадает с распределением С, которое может быть взято произвольным. Чтобы сделать задачу о предельных распределениях более содержательной, будем всюду в этом параграфе предполагать, что при каждом п > 1 величины 4„з, ..., („л не только независимы, но и одинаково распределены.
Напомним, что именно такая ситуация имела место в теореме Пуассона (теорема 4 из 3 3). К этой схеме относится и центральная предельная теорема (теорема 3 из $3) для сумм 5„=с1 +... +Е,„п > 1, независимых и одинаково РаспРеделенных слУчайных величин ~ь Сз, ... В самом деле, если положить ьлл= ° с»л =(з5и, Ỡ— Еб» л то тогда 5, — Е5„ Тл — л чл,» О» »=! Таким образом, нормальное и пуассоновское распределения могут выступать в качестве предельных в схеме серий. Если Т„- Т, то интуитивно л понятно, что, поскольку Т„есть сумма независимых одинаково распределенных случайных величин, то предельная величина Т должна быть в таком-то смысле также суммой независимых одинаково распределенных случайных величин. Имея это в виду, введем такое определение.
$6. БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ И УСТОЙЧИВЫЕ РАСГ(РЕДЕЛЕНИЯ 439 Определение 1. Случайная величина Т (а также ее функция распределения Рг и ее характеристическая функция рг) называется безгранично делимой, если для каждого л > 1 на вероятностном пространстве (О, Я', Р) можно найти такие независимые одинаково распределенные слу- чайные величины г)(, ..., г)„, что *) Т = !)! +... + г)„(или, что то же самое, рг = Ря, *... е Ре„, или рг = Ме, )"). Замечание 1. Если исходное вероятностное пространство, на котором задана случайная величина Т, достаточно «бедное», то может случить- ся, что функция распределения рг и ее характеристическая функция рг допускают при любом п>1 представления РГ=Р(") е...«Р(п) (и раз) и рг= р(") с некоторыми функциями распределения р(") и их характе- ристическими функциями р("), хотя, в то же самое время, представле- ние Т =г)! +...
+ гь невозможно. Дж.Дубу принадлежит как раз пример (см. [!03]) «бедного» вероятностного пространства, на котором определена случайная величина Т, имеющая распределение Пуассона с параметром Л = 1 (которое является безгранично делимым: Рг = г"(е) е... *Р(ю с функ- циями распределения р("), отвечающими пуассоновскому распределению с параметром Л = 1/и), но отсутствуют случайные величины г)! и г)г, имеющие распределение Пуассона с параметром Л= 1/2, Имея в виду сказанное, подчеркнем, что данное выше определение 1, в сущности, неявно предполагает, что исходное вероятностное пространство (й, .Р, Р) уже достаточно «богато», настолько, чтобы избежать аффектов, отмеченных Дж.Дубом (задача 1!).
Теорема 1. Случайная величина Т может быть пределом по расе аределению сумм Т„= ) с„! в том и только том случае, когда Т (=! безгранично делима. Доказательство. Если Т безгранично делима, то для каждого л > 1 существуют независимые одинаково распределенные случайные величины л Чп,(, " ., С,Л таКИЕ, Чта Т =~„ ! + ... +С„ Ы а Эта И ОЗНаЧаЕт, Чта Т = Т„, П > 1. Обратно, пусть Т„ - Т. Покажем, что тогда Т безгранично делима, т.е. лля любого й найдутся независимые одинаково распределенные случайные величины г)(, . „, г)ь такие, что Т = г)! + ..
+ г)е. Зафиксируем некоторое й>1 и представим величину Т„я=2 („»з в виде г,(') +... +Г(е), где г=! ье =Сед! + +Слеп ''' »е = седл(е-!)+! + ° ° ° +Седле. (!) (м 'Ч~г- ° Г-' - °, ° * ° -* ° -- Г ° - ( ° --)- Репредехенею, т. е. ге(х) = Ее(х), х е )), где Ре(х) н Ре(х) — функции распределения г н ч. ГЛ. П!. СХОДНМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 440 Поскольку Т,ь- Т, п со, то последовательность функций распределения, соответствующих случайным величинам Т„м и > 1, относительно компактна и, значит, по теореме Прохорова плотна ($ 2).
Далее, [Р((((! > г)]~ = Р((((! > г, ..., ~(М >г) < Р(Т,» > йг] [Р(~<(! < — г)]»=Р(ф! < — г, ..., ((ь! < — г) < Р(Т„» <-йг). Из этих двух неравенств и плотности семейства распределений для Т„ю и > 1, вытекает плотность семейства распределений для ~„ , и > 1.
Поэтому ((! найдугся подпоследовательность (и(] с (п) и случайный вектор (!!(, ..., г!»), который без ограничения общности можно считать определенным на исходном («богатом») вероятностном пространстве, такие, что (4'-'С(~!)-'( -' ) или эквивалентно, что для любых Л(, ..., Л» Е к Е дх с!у+-.+~вс!!'! Е пл, (,+...+хмв! В силу независимости величин (,"(;1,...,!,"(,~ Е й~'су ~"'+~ ~Ф~ — Е и'4; Е и см Е (х1»1 Е (л ъ Значит, Ее((л~ч!+...+А~па! Ее(л~»Р Ее((чч~ и в силу теоремы 4 из $12 гл. П величины и(, ..., г)ь независимы.
Ясно также, что они имеют одно и то же распределение. Далее, Т„! =С('!+...+С(ь! Й г)(+...+г)» и к тому же Т„!»- Т. Поэтому (задача 1) Тйп(+...+ 1,. Замечание 2. Утверждение теоремы остается в силе, если рассмотренное в начале параграфа условие, что при ках(дом п>1 величины ~„(, ..., („„одинаково распределены, заменить на условие их асимптотической малости !пах РЯ„»]>с)- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
