А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Утверждение теоремы 2 можно было бы вывести из теоремы 1 (так же как и наоборот), если воспользоваться следующими неравенствами между метриками 7 (Р, Р) и !!Р— Р11в, справедливыми для случая сепарабельных метрических пространств (Е, ег, р): 452 гл. Оь сходимость вгроятностных мн Замечая, что 0 < у(к) < — для к > 0 тогда и только тогда, когда х < 1, и 2 -хэ < р(х) для 0 < х < 1, из (20) и (21) выводим, что если ЦР, Р) <! или — 3, 3 '(~»-!1 — И -«,Ь (22) 4. Задачи. 1.
Показать, что в случае Е =!4 метрика Леви — Прохорова 1(Р, Р) между распределениями вероятностей Р и Р не меньше расстояния Леви Е(Р, Р) между функциями распределения Р и Р, соответствующими Р и Р (см. задачу 4 в 5 1), Привести пример выполнения строгого неравенства между этими метриками. 2. Показать, что формула (19) определяет метрику в пространстве В(..
3. Доказать справедливость неравенств (20), (2!) и (22). 4. Пусть Р =Р(х) и 6 = 6(х) — две функции распределения, Р, и 9,— точки их пересечения прямой к+у = с. Показать, что расстояние Леви (см. задачу 4 в $1) Е(Р, б)=зцр —, Р,О, с т2 ф 8. О связи слабой сходимости мер со сходимостью случайных элементов почти наверное («метод одного вероятностного пространстваэ) !.
Предположим, что на вероятностном пространстве (П, У', Р) заданы случайные элементы Х =Х(и), Х„=Х„(ш), п > 1, принимающие значения в метрическом пространстве (Е, У, р); см. $5 гл. 1!. Обозначим Р и Р„ распределения вероятностей Х и Х„, т. е. пусть Р(А)=Р(ш: Х(ш)еА), Р„(А)=Р(ш: Х„(ы)еА), Абл'. Обобщая понятие сходимости случайных величин по распределению (см.
$10 гл. И), введем такое Определение 1. Последовательность случайных элементов Х„, и > 1, называется сходящейся по распределению или по закону (обозначения: Х„- Х, или Х„- Х, или Մ— Х), если Р„- Р. где РЯ, — длина отрезка между точками Р, и 9,. 5. Показать, что множество всех функций распределения с метрикой Леви есть полное пространство. $8. «МЕТОЙ ОЙНОГО ВЕРОЯТНОСТНОГО ПРОСТРАНСТВА» 453 По аналогии с определением сходимости случайных величин по вероятности и с вероятностью единица ($10 гл. И) естественны следуюшие определения.
Определение 2. Последовательность случайных элементов Х„, и > 1, называется сходящейся по вероятности к Х (Х„- Х), если Р Р(ин р(Х„(ы), Х(ы)) >е)- О, п ~со. Определение 3. Последовательность случайных элементов Х„, и > 1, называется сходяшейся к Х с вероятностью единица (почти наверное, почти всюду; Х„-"-'-' Х, Х„-"-'-'-'+Х), если р(Х„(ы), Х(ы)) — "'-"'+ О, и -+ со.
Замечание 1. Оба последних определения имеют смысл, конечно, если только р(Х„(ы), Х(ы)) как функции от ы б Й являются случайными величинами, т. е. Я-измеримыми функциями. Это будет заведомо так, если пространство (Е, й, р) является сепарабельным (задача 1). Замечание 2. В связи с определением 2 отметим, что введенная сходимость по вероятности метризуется следуюшей метрикой Ки Фан между случайными элементами Х и У (определенными на (й,,рг, Р) и принимающие значения в Е; задача 2): др (Х, У) = 1п!(е > 0: Р(р(Х(ы), У(ы)) ) е) ( е), (2) Замечание 3. Если определения сходимости по вероятности и с вероятностью единица требуют задания случайных элементов на одном и том же вероятностном пространстве, то определение сходимости по распреде- У лению Х„- Х связано лишь со сходимостью распределений, и, следовательно, можно считать, что Х(ы), Х~(м), Хз(ш), ...
принимают значения в одном и том же пространстве Е, но могут быть заданы на «своих» вероятностных пространствах (П, Я, Р), (йп Яь Р~), (Пэ, .Рэ, Рэ), ... Без ограничения общности, однако, всегда можно считать их заданными на одном и том же вероятностном пространстве, беря в качестве такового прямое произведение указанных пространств и определяя Х(ы,ып ыэ, ...) =Х(ы), Х~(ю, ьл, ьн, ...) =Х1(ы1), ...
2. Согласно определению 1 и теореме о замене переменных под знаком интеграла Лебега (теорема 7 $6 гл. П), Х„- Х 4» Е~(Х„)- Е~(Х) (3) лля всякой непрерывной ограниченной функции 7 = )(х), х Е Е. Из (3) видно, что на основании теоремы Лебега о мажорируемой сходимости (теорема 3 В 6 гл. !!) из сходимости Մ— '-: Х сразу вытекает ГЛ. и!. СХОЛИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР сходимость Х„- Х, что вовсе н не удивительно, если иметь в виду ситуа- У цию, когда Х н Մ— случайные величины (теорема 2 $10 гл. И).
Более неожиданно, что в некотором смысле имеет место обратный результат, к точным формулировкам, а затем и применениям которого мы сейчас и переходим. Предварительно введем такое Определение 4. Случайные элементы Х =Х(ьг) и У = У(ьг"), заданные на вероятностных пространствах ((г', Я', Р') и (й", Я", Р") соответственно и прннимающне значения в одном и том же пространстве Е, называются совпадаюи1ими (эквивалентными, конгруэнтными) по распределению (обозначение: Х = У), если они имеют совпадающие распределения У вероятностей. Теорема 1.
Пусть (Е, в, р) — сепарабельное метрическое пространство. 1. Пусть случайные элементы Х, Х„, п>1, заданные на вероятностном пространстве (й, Я, Р) и со значениями в Е, таковы, что Х„- Х. Тогда можно найти вероятностное пространство эг (П*,.Р', Р') и определенные на нем случайные элементы Х', Х„', и > 1, со значениями в Е такие, что Х* "'"' Х' л Х'=Х, Х,*,=Х„, п>1.
2. Пусть Р, Р„, п>1, — вероятностные меры на (Е, в, р) такие, что Р„- Р. Тогда найдутся вероятностное пространство (й",.эг', Р*) и определенные на нем случайные элементы Х', Х„', и > 1, со значениями в Е такие, что Х„' — '-'+ Х* Р*=Р, Р;, =Р„, п>!, где Р* и Р„*— распределения вероятностей Х' и Х„'. Прежде чем переходить к доказательствам, заметим, во-первых, что достаточно доказать лишь второе утверждение, поскольку первое следует из него, если взять в качестве Р и Р„распределения Х и Х„. Соответствующим образом и второе утверждение следует из первого.
Во-вторых, отметим, что доказательство этой теоремы в ее полной общности технически довольно сложно. Именно поэтому мы приводим здесь доказательство лишь для случая Е = К. Это доказательство довольно прозрачно н к тому $8. «МЕТОД ОДНОГО ВЕРОЯТНОСТНОГО ПРОСТРАНСТВА» 4ЗЗ же дает простую явную конструкцию искомых объектов. (К сожалению, эта конструкция не «работает» в общем случае, даже для Е = )гз.) Доказательство теоремы в случае Е=Я.
Пусть Е=Е(х) и Е„= =Е„(х) — функции распределения, соответствующие мерам Р н Р„на ф, йг(1т)). Свяжем с функцией Е = Е(х) соответствующую ей квантильную функцию !',! = 1е(и), однозначно определяемую формулой 9(и) = 1и!(х: Е(х) > и), 0 < и < 1. (4) Нетрудно проверить, что (5) Е(х) > и чь 9(и) <х. Возьмем теперь й* = (О, !), Я' =М(0, 1) и в качестве Р* — меру Лебега, Р*(дш') =с(ш'.
Положим также Х'(ш*) = !',)(ш"), ш' Е й'. Тогда Р'(ш'. 'Х'(ш*) <х)=Р'(ш*: Я(ш') <х)=Р'(ш*: ш* <Е(х)) =Е(х), т.е. распределение построенной случайной величины Х'(ш") = 1««(ш ) в точности совпадает с Р. Аналогично, распределение величин Х„'(ш') = 9„(ш*) совпадает с Р„. Далее, несложно показать, что из сходимости Е„(х) к Е(х) в каждой точке непрерывности предельной функции Е = Е(х) (равносильной в случае Е=1! сходнмости Р„- Р; см.
теорему ! в $ !) вытекает, что последовательность квантильных функций 1е„(и), и >1, также сходится к 9(и) в каждой точке непрерывности предельной функции 9 = 1Е(и). Поскольку множество точек разрыва функции 0 = 9(и), и я (О, 1), не более чем счетно, то его мера Лебега Р' равна нулю и тем самым Х;,(ш') =Я,(ш') — +Х'(ш') = 1«(ш ). Теорема (в случае Е = )с) доказана. П Описываемая теоремой 1 конструкция перехода от заданных случайных элементов Х н Х„к новым Х' и Х„', определяемым на одном и том же вероятностном пространстве, объясняет вынесенное в заголовок параграфа название «метод одного вероятностного пространства». Остановимся теперь на ряде утверждений, которые проще всего устанавливать, пользуясь этим методом.
В. Предположим, что случайные элементы Х, Х„, и>1, заданные, скажем, на одном вероятностном пространстве (й, йг, Р) и принимающие значения в сепарабельном метрическом пространстве (Е, е', р), таковы, что " - Х. Пусть также 6 = й(х), х е Е, — измеримое отображение (Е, в, р) в некоторое другое сепарабельное метрическое пространство (Е', «г', р').
В теории вероятностей и математической статистике часто приходится ГЛ. НЬ СХОЛИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР сталкиваться с вопросом о том, при каких условиях на Ь=Ь(х) можно угверждать, что из сходимости Х„ — Х следует сходимость Ь(Х„) — Ь(Х), Ю Ю Например, пусть 4н 42, ... — независимые одинаково распределенные случайные величины с Е~~ =го, О~~ =а >О. Пусть Х„= 2 4!+ "+бл и Центральная предельная теорема устанавливает, что "й(Х" щ) А Ф'(О, 1). Спрашивается, для каких функций Ь = Ь(х) можно гарантировать, что Ь('Уй(»" )) г Ь( (О, 1))? (Известна теорема Манна — Вальда, которая утверждает применительно к данному случаю, что это заведомо выполнено для непрерывных функций п(Хч — т) г 2 Ь = Ь(х), и, следовательно, сразу можно угверждать, что где»2 — случайная величина, имеющая распределение хи-квадрат с одной степенью свободы; см. табл.
2 в 5 3 гл. 1.) Другой пример. Если Х =Х(Г, ы), Х„= Х„(Г, ю), 1 е Т, — случайные процессы (см. 5 5 гл. П) и Ь(Х) =вцр !Х(Г, мИ, Ь(Х„) = эцр !Х„(Е ы)!, !ет гет то сформулированный вопрос означает следующее: при каких условиях из сходимости по распределению процессов, Х„- Х, следует сходимость по У распределению их супремумов, Ь(Х„) — Ь(Х)? Одно такое простое условие, обеспечивающее справедливость импли- кации Х„~Х ~ Ь(Х„) — ~Ь(Х), состоит в том, что отображение Ь = Ь(х) непрерывно. Действительно, если 1= Г(х') — непрерывная ограниченная функция на Е', то функция г(Ь(х)) будет также непрерывной ограниченной функцией на Е.
Следовательно, Մ— Х =ь Е)(Ь(Х„))- Е/(Ь(Х)). Приводимая далее теорема показывает, что на самом деле требование непрерывности функции Ь = Ь(х) можно несколько ослабить, учитывая свойства предельного случайного элемента Х. Обозначим »з» = (х Е Е: Ь(х) не р-непрерывна в точке х), иначе говоря, пусть »»» — множество точек разрыва функции Ь=Ь(х). Заметим, что гз» Е в (задача 4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
