А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Показать, что можно найти (достаточно «богатое») вероятностное пространство (й, У', Р) и определенные на нем случайные величины Т и (г)ь)ь<„, и >! (Т имеет распределение Е, ))()"), ..., ))(") независимы и одинаково распределены с распределением Р(ю), такие, что Т=г) +" +Ъ п>1. «' (л) (л) 12. Привести пример случайной величины, не являющейся безгранично делимой, характеристическая функция которой, тем не менее, в нуль не обращается. ф 7. «Метризуемость» слабой сходимости 1. Пусть (Е, а', р) — метрическое пространство и дз(Е) = (Р) — семейство вероятностных мер на (Е, й). Естественно поставить вопрос о том, нельзя ли «метризовать» рассмотренную в $ ! слабую сходимость Р„- Р, т.
е. нельзя ли ввести такое расстояние 6(Р, Р) между любыми двумя мерами Р и Р из д"(Е), чтобы сходимость б(Р„, Р)- 0 была равносильна сходимости Р„ — Р. В связи с такой постановкой вопроса полезно отметить, что сходимасть случайных величин яо вероятности, С„- Е, может быть метризована с помощью, например, расстояния с(р(4, т))=!п((е>0: Р(((-)))>е)<е) или расстояний (1(с, ))) =Е ппп(1, !Š— г)!), (1(с, )))=Е . (Более об- К вЂ” ч! !+К-„!' щим образом, можно положить (((Е, ))) =Е у((с — ))!), где в качестве функции д = д(х), х > О, можно взять любую борелевскую неотрицательную возрастающую функцию, непрерывную в нуле и такую, что д(х+ у) < д(х) + д(у) для всех х > О, у > О, у(0) = О, у(х) > 0 для х > 0.) Но в то же самое время в пространстве всех случайных величин на (й,.рг, Р) не существует расстояния (1(с, г)) такого, что с(((„, 4)- 0 тогда и только тогда, когда 6 сходится к С с вероятностью единица.
(В этом легко убедиться, взяв последовательность случайных величин 6, я > 1, сходящихся по вероятности к С, но не сходящихся с вероятностью единица.) Иначе говоря, сходимость с вероятностью единица не метризуема. (См. утверждения задач 1! и !2 к $10 гл. П.) 1Аель настоящего параграфа — установить, конкретно указав метрики ()-(Р, Р) и !!Р— Р!)вд), в пространстве мер дз(Е), метризуемость слабой сходимости: р .,р 4» ((Р„, Р)- 0 «ь !!Р» Р!!вс (1) ГЛ. ВЕ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 448 2. Метрика Леви — Прохорова ЦР, Р). Пусть р(х, А) =! п((р(х, у): у Е А), А« = (х Е Е: р(х, А) < е), А Е й'.
Для любых двух мер Р, Р е .У(б') положим о(Р, Р) =1п((е>0: Р(Г) <Р(Г')+а для всех замкнутых ГЕе) (2) ЦР, Р) = щах[о(Р, Р), о(Р, Р)[. Следующая лемма показывает, что так определенная функция ЦР, Р), Р, Ре,У(б'), называемая метрикой Леви — Прохорова, действительно является метрикой. Лемма 1. Функция Е(Р, Р) обладает свойствами расстояния: а) ЦР, Р)««ЦР, Р) (««о( Р, Р) = о(Р, Р)), Ь) ЦР, Р) < ЦР, Р) + ЦР, Р), с) ЦР, Р) =0 тогда и только тогда, когда Р=Р. Доказательство.
а) Достаточно показать, что (а > 0,,9 > 0) «Р(Г) < Р(Г ) +)б для всех замкнутых Г Е в» (4) тогда н только тогда, когда «Р(Г) < Р(Г )+р для всех замкнутых Гел'». (5) Пусть Т вЂ” замкнутое множество нз е'. Тогда множество Т открыто и нетрудно проверить, что Т СЕ~(Е~ Т )". Если выполнено (4), то тогда, в частности, Р(Е~Т )<Р((Е~Т )")+)) н, тем самым, Р(7) <Р(Е [(Е~ Т ) ) <Р(Т )+)3, что н показывает равносильность (4) и (5). Отсюда следует, что о(Р, Р) = о(Р, Р) (6) н, тем самым, ЦР, Р) = о(Р, Р) = о(Р, Р) = ЦР, Р). (Т) Ь) Пусть Е(Р, Р) < бп У (Р, Р) < бз. Тогда для каждого замкнутого Г Е бГ Р(Г) <Р(Г4 )+б <Р((Г'н)4>)+б +б <Р(Ге +4~)+б +б 47. «МЕТРИЗУЕМОСТЬ» СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ 449 н поэтому Е(Р, Р) <б~+бз.
Отсюда следует, что цр, Р) < цр, Р) + цР, Р). с) Если ЦР, Р) = О, то тогда для каждого замкнутого Г е ег н любого а>0 Р(Г) <Р(Г )+а. (8) Поскольку Г 1 Г, а(0, то нз (8) предельным переходом по а 40 находим, что Р(Г) < Р(Р), н по симметрии Р(Г) < Р(Г). Тем самым, Р(Г) = Р(Г) для всех замкнутых Ге бГ. Для каждого борелевского множества А ЕеГ и всякою е> 0 найдутся такие открытое множество 6, » А н замкнутое множество Г, С А, что Р(6, ~ Г,) < е. Отсюда следует, что всякая вероятностная мера Р на метрическом пространстве (Е, е, р) полностью определяется своими значениями на замкнутых множествах. Следовательно, нз Р(Г) =Р(Г) для всех замкнутых Ге е вытекает, что Р(А) = Р(А) для всех борелевскнх А е а'. С) Теорема 1.
Метрика Леви — Прохорова ЦР, Р) метризует слабую сходимость: ЦР„Р)- 0 еь Р„-~ Р. (9) Доказательство. (=ь) Пусть ЦР„, Р) - О, п - оо. Тогда для всякого фиксированною замкнутого множества Г е Ф н любого е > О, согласно (2) н утверждению а) леммы 1, 1ип Р„(Г) < Р(Г«) +е. (! 0) Полагая здесь е ! О, находим, что !ип Р„(Г) < Р(Г) . Согласно теореме 1 нз $1, отсюда следует, что Р„Р. (11) Доказательство нмплнкацнн (4=) будет опираться на ряд глубоких и полезных фактов, дополнительно проливающих свет как на само содержание понятия слабой сходнмостн, так н на методы ее установления и методы изучения «скоростн» сходнмостн.
Итак, пусть Р„ - Р. Это означает, что для любой непрерывной ограниченной функции ~ = «г(х) ( 1(х) Р«(г(х) ~ ((х) Р(дх). (12) е Е Предположим теперь, что йт — некоторый класс равностепенно непрерывных функций а= д(х) (для всякого е>0 найдется такое б>0, ГЛ. ВЕ СХОЙИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР что )д(у) — д(х)! <е, если р(х, у) <6 для всех уеУ), таких, что (д(х)! < С с одной и той же константой С >О (для всех хеЕ и убУ). Согласно теореме 3 $8, для класса У имеет место следующее усиление свойства (12): Р Р р)!к*)РИ ~ — !к*)Р(~ )~ О.
(13) хем )е е Для каждого А е л и е > 0 положим (как в теореме 1 из $1) /'(х) — [1 — р(»' ~)) (14) Ясно, что (л(х) < Д(х) < lд.(х) (15) Я(х) — Д(у)((а ')р(х, А)-р(у, А))(е 'р(х„у). Тем самым для класса У' = (Д(х), А Е й) имеет место (13). Значит, ь.=-р !а(ч~.(~> — !~вчем>Щ-о, .- . (пу Аел е Е Отсюда и из (15) заключаем, что для всякого замкнутого множества АеФие>0 Р(А') > ~ Д(х) д(Р >~ $ Д(х) д(Ри — Ьл ~ ~Рп(А) — Ьл. (17) Е Е Выберем п(а) так,чтоЬ„<едля всехп>п(е).Тогда из(17) для н>п(а) Р(А') > Р„(А) — а.
(18) Р„- Р ~ ܄— 0 =ь ЦР„, Р)~0. Теорема (с точностью до утверждения (13)) доказана. П 3. Метрика 11Р— РЦд. Обозначим ВЕ множество всех непрерывных ограниченных функций 7" = )(х), х Е Е (с 11711 = зир 17(х)1< со), удовлек творяющих к тому же условию Лившица: 1/(к) — /(у)1 «;аз Р(" У) Положим 1Щ1вд = 11711 + 11711д. Пространство ВЕ с нормой 1) (1вд, является банаховым пространством. Отсюда в силу определений (2), (3) вытекает, что ЦР„, Р) < е, коль скоро и >п(е). Тем самым $7. «МЕТРИЗУЕМОСТЬ» СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ 4Б! Определим метрику !!Р— Р!1вс, положив !1~ Р11вс= зир)1) го(р — Р)1: 1!711вс«1~. (19) (Можно проверить, что действительно !1Р— Р11в„удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к метрике; задача 2.) Теорема 2. Метрика !1Р— Р11в метризует слабую сходимостес 11Є— Р1!вс О еь Р„р.
11 -Р11;,«2(.(Р, Р), 2хз р(С(Р, )Б)) « 1!Р - Р!!вс где р(х) = 2 (20) (21) Доказательство. Импликация (~) вытекает немедленно из (! 3). Дая доказательства (=ь) достаточно показать, что в определении слабой сходимости Р„ - Р как выполнения свойства (12) для любой непрерывной ограниченной функции 7' = 7(х) достаточно ограничиться рассмотрением лишь класса ограниченных функций удовлетворяющих условию Липшица. Иначе говоря, импликация (~) будет доказана, если установить справедливость следующего результата.
Лемма 2. Слабая сходимость Р„- Р имеет место тогда и только тогда, когда свойство (12) выполнено для любой функции 7' = 7(х) из класса ВВ. Доказательство. В одну сторону доказательство очевидно. Рассмотрим теперь функции Тл = Тл(х), определенные в (14). Как было установлено выше при доказательстве теоремы 1, при каждом е > 0 класс У'=(Тл(х), А ЕЮ) С В(..
Если теперь проанализировать доказательство импликации (1) =ь (П) в теореме 1 из $1, то можно заметить, что в действительности в ее доказательстве выполнение свойства (12) использовалось не для всех ограниченнных непрерывных функций, а лишь для функций из классов У', е > О. Поскольку У' С В(., е > О, то заведомо верно, что нз выполнения свойства (12) для функций из класса В(. следует утверждение П теоремы 1 5 1, которое равносильно (в силу той же теоремы 1 $ !) слабой сходимости Р„ — Р. П Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
