А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 72

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 72)

Теорема 2. Пусть при каждом п>1 428 ГЛ.!и. СХОЛИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Лемма. Пусть б — случайная величина с функцией распределения Г=Г(х), ЕЕ=О, Об=7>0. Тогда для каждого а>0 хз аГ(х) < — [йе [(1/ба) — 1 + 37а~], (18) !л1> 1/а где /(!) = Ееие — характеристическая функция Е. Доказательство. Имеем йе /(!) — 1+ — 7!2= — 712 — ') [1 — соз 1х] йГ(х) = 1 2 1 2 2 1 = 2 71 — ~ [1 — со5 гх] ЙГ(х) — ~ [1 — со5 1х] ЙГ(х) ~) 14<1/а !л1>!/а > — 712 — — г' ') х иГ(х) — 2а ~ хзйр(х) = 2 2 1л1 < 1/а 1л1> 1/а =(-1 — 2а ) ') х г(Г(х). !л1>1/а Гл»(х) = Р(с„» < х), /„»(!) = Ееиг"а, ЕЕ„»=0, ОС„»=та»>0, л Е 7л»л— а 1, так 7л»-+О, и- оо.

1<»<л »=1 Пусть 1п г обозначает главное значение лога рифма комплексного числа г (т. е. )и г = 1п [г[+! агд х, — к < агд г < к). Тогда )и П /„»(1) = ~~ 1и ]„»Я+ 2л!т, »=1 »=1 где т =т(н, !) — некоторое целое число. Следовательно, л л йе )и П )л»(1)=йе ~ )и [»Я. »-1 »=1 (20) Поскольку Полагая 1 = т/ба, получаем требуемое неравенство (18). С) Перейдем теперь к доказательству необходимости в теореме 3. Пусть $4. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА. ! Тем самым О п 1 йе !п П 14(С)=йе 1п П ~м(С) Ст (21) При 121<! 1п( 1 + 2) = 2 — + 2 3 (22) 1 и прн 12! «<— !(п(1 + 2) — 2! < !2! (23) !С.е(С)-1! < — ЪмС < —. 1 я 1 2 " 2' Поэтому из (23), (24) получаем (24) ,У (!п(1+(Г.

(С)-1Н вЂ” (Г (С) — 1)) <) !~. (С) — 1!'< 4=! 4=! С4 С4 < — гпах .~„е 7 Т„а= — гпах у„а- О, 4 СКАК„ " " 4 !<А< 4=! л- оо, и, следовательно, йе ~~~ ' (п С„а(С) — йе ~~',Ула(С) 1) ~ О, л -+ со. (25) 4=! 4=! Из (20), (21), (25) вытекает, что йе ~~! ()„4(С) — 1)+- Са=~ ' [йе )„4(С) — 1+ — С2Ъ4] — О, и- со.

4=! е=! Полагая С = !/ба, находим, что при каждом а > О (йе С„е(т/оо) — 1+ Заа-ьа) -+ О, и -+ со. (26) В силу (19) при каждом фиксированном С, всех достаточно больших л и всех С!=1, 2, ..., и имеем ГЛ. ПЕ СХОДИМОСТЪ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Наконец, из (18) с а = 1/е и (26) получаем Е[5„ь/([5„л[ > е)] = ~~ ~ х' И'„ь(х) < ь=! Й=! 1х1ве Л <е~ ~ [йе Т„ь(таба) — 1+Зазуьь]-~0, я- со, что и доказывает выполнение условия Линдеберга. П 5.

Задачи. 1. Пусть 5!, 5т, ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с ЕСз! < со. Показать, что гпах~ —, ..., — ) — О, и- оо. г[5![ [Ы ° ~,д "',я? 2. Дать прямое доказательство того, что в схеме Бернулли величина 1 зир [рг„(х) — Ф(х)[ имеет порядок —, и- оо. к !/л ' 3. Пусть Х!, Хт, ... — последовательность перестановочных случайных величин (см. задачу 4 к $5 гл.

П) с ЕХ; = О, Ехй = 1 и сои(Х,, Хт) = сои(Х~т, Хтз). (27) Доказать, что имеет место центральная предельная теорема: и 1 ЕХ! л.к(0, 1). (=! (28) Обратно, если Ехт < сс и выполнено (28), то выполнено и (27). 4. Локальная центральная предельная теорема. Пусть Х!, Хз, ...— независимые одинаково распределенные случайные величины с ЕХ! =О, ЕХ~ = 1. Пусть их характеристическая функция у!(1) = Ее""' такова, что [!р(1)[' Ж < со для некоторого г > 1.

Как выглядит соответствующий результат для решетчатых случайных величину 5. Пусть Х!, Хт, ... — независимые одинаково распределенные случайные величины с ЕХ! =О, ЕХ~=!. Пусть аз, !(тт, ... — неотрицательные Показать, что плотность /„(х) распределения вероятностей величин 5„/,(я существует и 7„(х)- (2п) '~е '~~, я- со, равномерно похе)?. й4, иентрлльндя пркдкльнля теоримл. ~ 431 л константы такие, что 4, = о(Р„), где Р~ = 2.' Ньз.

Показать, что последоваФ=! тельность взвешенных величин г(,Хь НяХз, ... удовлетворяет центральной предельной теореме; б. Пусть 4ь сз, ... — независимые одинаково распределенные случайные величины с ЕС1=0, Е4Я=1. Предположим, что (т„)„>, — последовательность случайных величин, принимающих значения из множества (1„ 2, ...), такая, что т„/п - с, где с >Π— константа. Доказать, что (5«=6+ "+~») (ляг(т„гз 5 „) Ь (т. е. т„5,„- С, где С Ф'(О, 1)). (Отметим, что независимость после— 1/з л довательностей (т„)„в~ и (~„)„в~ не предполагается.) 7. Пусть (ы (з, ... — независимые одинаково распределенные случайные величины с Е6 =О, ЕЦ = 1.

Доказать, что (.а~и(п 02 шах 5 )- (.атч(1С(), где С Ф'(О, 1). 1<пап Иначе говоря, для х>0 г Р(п чз гпах 5„,<х)- ~/ — ) е "~Я~1у (= — ег((х)). !<я<«я ~Г2 Указание: убедиться в справедливости сформулированного утверждения сначала для симметричных берньмлиевских случайных величин (ь сз, ... с Р((„= ~1) = 1/2 и затем доказать, что вид предельного распределения будет тем же самым для любой последовательности чь сз, ... с определенными выше свойствами. (Отмеченная независимость предельного распределения от частного выбора последовательности ~,, ~з, ..., состоящей из независимых одинаково распределенных случайных величин с Ес» = О, Ест =1, носит название «принцип инвариантности»; ср.

с з 7.) 8. В условиях предыдущей задачи доказать, что Р(п '~ шах !5,„1<х)- Н(х), х>0, 1<т<л где а=о 432 ГЛ. ВЬ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 9. Пусть Хь Хз, ... — последовательность независимых случайных величин с Р(Х„=~п )= —, Р(Х„=О)=1 — —, где 2а>)Т вЂ” 1. 1 ! 2лд' к ад Показать, что условие Линдеберга выполнено, если и только если О < )Т < 1, 1О. Пусть Хь Хз, ... — последовательность независимых случайных величин таких, что )Х„! < С„(Р-п. н.) и С„= о(0„), где 0з = ~~х Е(Х» — ЕХ4)з - со.

Показать, что "— .Ф'(0,1), где5к=Х|+...+Х„. О, 11. Пусть Хн Хз, ... — последовательность независимых случайных величин с ЕХ„= О, ЕХкз = хгз. Предположим, что для них выполняется центральная предельная теорема и Е 0„ '~ х ~Х; — †; для некоторого й > 1.

(2й) ! ны Показать, что тогда выполнено условие Линдеберга порядка К т.е. л )х(ьс(Р;(к) =о(0~), е>О. лы !!к!>к! (Обычное условие Линдеберга соответствует случаю й = 2; см. (1).) 12. Пусть Х = Х(А) и У = У(!4) — независимые пуассоновские случайные величины с параметрами Л > О и !х > О соответственно.

Показать, что (хр>-х) — (ххк — х) — .хУ(О, 1) при Л- оо, Р-+со. х(х)хх( ) 13. Пусть при каждом и >1 (Х("~, ..., Х!+1,) является (и+1)-мерным случайным вектором, равномерно распределенным на единичной сфере. Доказать справедливость следующей «теоремы Пуанкареьч 1 к х Р(у-х(м! < ) ! ~ е-и/2 (и к ххх "+' Л еа центральная пркдельнля теоремл, и 433 В 5. Центральная предельная теорема для сумм независимых случайных величин. Н. Неклассические условия 1. В $ 4 было показано, что условие Линдеберга (16) влечет выполнение условия гпах ЕС2 - О, 1Члмял из которою в свою очередь вытекает так называемое условие предельной пренебрегаемости (асимптотической малости), состоящее в том, что дая всякого г >О гпах Р(1С„„)>е) О, и со.

1«Щл Таким образом, можно сказать, что теоремы 1 н 2 из 3 4 дают условия выполнимости центральной предельной теоремы для сумм независимых случайных величин в предположении предельной пренебрегаемости. Предельные теоремы, в которых на отдельные слагаемые наложены условия их предельной пренебрегаемости, принято называть теоремами в «классической постановке».

Нетрудно однако привести примеры невы- рожденных случайных величии, для которых не выполнено ни условие Линдеберга, ни условие предельной пренебрегаемости, но тем не менее центральная предельная теорема справедлива. Вот простейший пример. Пусть С1, С2, ... — последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с ЕС„=О, 0С1 = 1, 0~» = 2" 2, й > 2. Положим 5„=й„1+...+~„„с 4« ф 0В Нетрудно проверить, что здесь не выполнено ни условие Линдеберга, ни условие предельной пренебрегаемости, хотя справедливость центральной предельной теоремы очевидна, поскольку 5« распределены нормально с Е5«=О, 05,=1. Приводимая далее теорема 1 дает достаточное (и необходимое) условие справедливости центрааьной предельной теоремы без предположения «классического» условия предельной пренебрегаемости.

В этом смысле формулируемое ниже условие (й) является примером «неклассических» условий, что и отражено в заголовке настоящего параграфа. 2. Будем предполагать, что для каждого п > 1 задана последовательность («схема серий») независимых случайных величин С«1 ° Слз ° ° Слл 434 ГЛ. Ш. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР л с Е~„4=0, 0( я=о~ >О, ~ а~4=1. Пусть 5„=4„!+...+~„„, рчл(х)= 4=! к =Р(Счз(х), Ф(х)=(2я) !~з $ е "~яду, Фчл(х)=Ф( — ). елл Теорема 1. Для того чтобы 5„4 т"(О, 1), (1) достаточно (и необходимо) выполнение для каждого е >0 условия л (Л) ~~! ~ [х[ [Р„л(х) — Ф„ь(х)[дх О, и — оо.

(2) е= ! 1л1>ч Следующая теорема проясняет связь между условием (Л) и классическим условием Линдеберга (1.) ) ~ хздР„4(х)- О, и- оо. (3) л= ! 1к1>~ Теорема 2. !. Условие Линдеберга обеспечивает выполнение условия (Л): (1.) =ь (Л). 2. Если шах Ест - О, и- оо, то условие(Л) обеспечивает выпол!<зал нение условия Линдеберга (1.): (Л) =ь (1.).

Характеристики

Список файлов книги