А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Однако предельная функция б = 0(х) не является функцией распределения (в смысле определения 1 нз ф 3 гл. П). Этот пример поучителен с той точки зрения, что, как он показывает, класс функций распределения не является компактным. Он подсказывает также, что для сходимости последовательности функций распределения к функции, которая являлась бы также функцией распределения, нужны некоторые условия, предотвращающие «утечку массы на бесконечность». После этих вводных замечаний, поясняющих характер возникающих здесь трудностей, перейдем к основным определениям. 2. Будем предполагать, что все рассматриваемые меры определены на метрическом пространстве (Е, Ю, р).
Определение 1. Семейство вероятностных мер,У=(Р; аида) назовем относительно компактным, если любая последовательность мер нз,У содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторой вероятностной мере. Подчеркнем, что в этом определении предельная мера предполагается вероятностной, хотя, быть может, н не принадлежащей исходному классу ээ. (Именно с этим последним обстоятельством связано появление слова «относительно» в данном определении.) Проверка того, что данное семейство вероятностных мер относительно компактно, является делом далеко не простым.
Желательно поэтому иметь простые и удобные критерии, позволяющие осуществлять эту проверку. Этой цели служит Определение 2. Семейство вероятностных мер э»=(Р; пел) называется плотным, если для каждого е> О можно указать компакт К с Е $2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ КОМПАКТНОСТЬ И ПЛОТНОСТЬ такой, что р Р (Е!К)< аен Определение 3. Семейство функций распределения м =(Е; аей), определенных на !г", л>1, называется относительно компактным (плотным), если таковым является соответствующее семейство вероятностных мер Р =(Р; а Е й), где Р— мера, построенная по г" . 3. Следующий результат играет фундаментальную роль во всей проблематике слабой сходнмостн вероятностных мер.
Теорема ! (теорема Ю. В. Прохорова). Пусть У' =(Р ;аЕй)— семейство вероятностных мер, заданных на полном селарабельном метрическом пространстве (Е, ег, р). Семейство .Уь является относительно компактным тогда и только тогда, когда оно является плотным. Доказательство теоремы будет приведено лишь для случая числовой прямой. (Это доказательство переносится ([55[, [5]) на случай произвольных евклндовых пространств !т", л>2. Затем справедливость теоремы устанавливается последовательно для !г=, для а-компактных пространств и, наконец, для общнх полных сепарабельных метрических пространств путем сведения каждого нз этих случаев к предыдущему.) Необходимость. Пусть семейство вероятностных мер Р =(Р; а Ей), заданных на (!т, му()г)), относительно компактно, но не плотно.
Тогда найдется такое е > О, что для любого компакта К С !г зцр Рь(Й 1К) >г, а а значит, н для любого интервала ! = (а, Ь) зцр Ра(Р~Л >е ч Отсюда вытекает, что для каждого интервала 1„=( — п, и), л > 1, найдется такая мера Р „, что Р „(й~7,)>е. раз исходное семейство,уь относительно компактно, то нз последовательности (Р „)„>! можно извлечь подпоследовательность, скажем, (Р „), такую, что Р „ — О, где 0 — некоторая вероятностная мера. Тогда в силу эквивалентности условий (1) н (П) в теореме 1 из $1 для всякого л > 1 (2) гл.
ш. сходимость ввроятностных мв 4(0 Но 0(Д ~ 1„)» О, п- оо, а левая часть в (2) больше е > О. Это противоречие показывает, что относительная компактность влечет за собой плотность. Для доказательства достаточности нам необходим один общий результат (называемый теоремой Хелли) о секвенциальной компактности семейства обобщенных функций распределения (и. 2 $3 гл. П).
Обозначим через .Ф =(6) совокупность функций 0 = 0(х) (обобщенных функций распределения), удовлетворяюшнх следующим свойствам: 1) 0(х) — не убывают; 2) 0<0( — оо), 6(+со) <1; 3) 0(х) — непрерывны справа. Ясно, что .У включает в себя класс функций распределения Уг =(г», для которых Р(-оо) =О н г(+со) = 1. Теорема 2 (теорема Хеллн). Класс .У =(6» обобщенных функций распределения является секвенциально компактным, т. е. для любой последовательности (6„» функций из .Р найдутся функция 6 е.» и подпоследовательность (пь» С (и» такие, что 6„,(х)- 6(х), й- оо, для любой точки х из множества С(0) точек непрерывности функции 6=6(х). Доказательство.
Обозначим через Т=(х), хж ...» счетное всюду плотное множество в Д. Поскольку числовая последовательность (0„(х))» ограничена, то найдется подпоследовательность Ф) =(и), и, ...» та(() и) кая, что 0 ы(х,) прн (- оо сходятся к некоторому числу д). В свою «~ очередь нз последовательности М) можно извлечь подпоследовательность Ф2=(П,, П, ...» таКуЮ, Чта 0„(ь(Х2) СХОдятСя Пря (' ОО К НЕКОтОрОМу (2) (2) числу д2, н т.д. Определим на множестве Т С )( функцию бт(х), полагая бт(х() = дь х; Е Т, н рассмотрим «канторовскую» диагональную последовательность Ф =(и( ), и) п2( ), ...». Тогда для любого х; е Т прн т -+ со бу )(х()- бт(х(), Определим, наконец, функцию 6 = 6(х) для всех х е)с, полагая (3) 0(х) =)п1(бт(у): уе Т, у>х). Мы утверждаем, что 6 = 0(х) есть искомая функция н бу ~ (х) — 0(х) для всех точек х, где 6(х) непрерывна.
42. ОтнОсительнля кОмпАктнОсть и плОтнОсть 4П Поскольку все рассматриваемые функции О, являются неубывающими, то 6„!(х) < 6„(у) для всех х и у, принадлежащих множеству Т и удовлетворяющих неравенству х < у. Поэтому для таких х и у От(х) <бт(у). откуда 1пп Оу 4х ) < !п!(От(у): у е Т, у > х ) = 6(х ). (4) С другой стороны, пусть х' < у < хе, у Е Т. Тогда 6(х ') < бт (у) = 1пп 6 ! ! (у) = 1пп О ! (у) < 1пп О ...
(хо). т Поэтому, полагая х' 1 хо, получим, что 6(хе — ) <)пп бу !(х ). И$ Но если 6(хо †) = 6(х ), то тогда из (4) и (5) заключаем, что Оу (х )- 6(хо), т П Завершим теперь доказательство теоремы 1. Достаточность. Пусть семейство 9' плотно и (Р„) — некоторая последовательность вероятностных мер из дз. Обозначим через (Р„) последовательность соответствующих функций распределения. В силу теоремы Хелли найдутся подпоследовательность (Р„,) С(Р„) и обобщенная функция распределения 6 Е.!к такие, что Р„,(х)- 6(х) для х ЕС(6).
Покажем, что в силу предположения о плотности семейства уз Отсюда и из определения (3) следует, что функция 6 =6(х) является неубывающей. Покажем теперь, что она непрерывна справа. Пусть х41х и !(= =1!гп 6(хз). Ясно, что 6(х) <!(, и надо установить, что на самом деле 6(х) =4(. Предположим противное, т. е. пусть 6(х) <4(. Из (3) следует, что тогда найдется такая точка у е Т, х < у, что бт(у) < 4(. Для достаточно больших й х <хе <у, а значит, 6(хз) < От(у) <!( и !!го 6(хз) <д, что противоречит равенству !(=!пп 6(хь).
Итак, построенная функция 6 принадлежит .!т. Установим теперь сходимость О„см(хо)- 6(хо) для всякой точки хе Е С(6) Если х <у Е Т, то (пп О„, !(хю) < 1пп б„м,(у) =От(у), ГЛ. Ш. СХОЛИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 4!2 функция 0 =0(х) является на самом деле «настояшей» функцией распределения (0(-оо) = О, 6(+ос) = 1). Возьмем е>0, и пусть l =(а, Ь] — тот интервал, для которого зцр Р~(н~Л<е. « или, что эквивалентно, ! — е<Р„(а, Ь], п>1.
Выберем точки а', Ь'еО(6) такими, что а'<а, Ь'>Ь. Тогда 1 — е< Р„,(а, Ь] < Р„,(а', Ь'] =Р„,(Ь') — Р„,(а')- 0(Ь') — 0(а'). Отсюда следует, что 0(+со) — 6( — оо)=1, и поскольку 0< 6( — оо) < <О(+оо) <1, то 0( — со)=0 и 6(+со)=!. Таким образом, предельная функция 0 = 6(к является функцией распределения и Р„„=»6, что вместе с теоремой 2 из $1 доказывает, что Р«ч — О, где 0 — вероятностная мера, построенная по функции распределения О. П 4. Задачи. 1. Провести доказательство теорем 1 и 2 для пространств й", и > 2.
2. Пусть Р— гауссовская мера на числовой прямой с параметрами т„ и оэ, сгЕй. Показать, что семейство,9»=(Р; асй) является плотным тогда и только тогда, когда сушествуют константы а и Ь такие, что ]т ]<а, в <Ь, абй. 3. Привести примеры плотных и не плотных семейств вероятностных мер,У =(Р; а Е й), определенных на (/с,,йе(й )). 4.
Пусть Р есть вероятностная мера на метрическом пространстве (Е,в', р). Говорят (ср. с определением 2), что мера Р является плотной, если для каждого е> 0 найдется компакт К С Е такой, что Р(К) >! — е. Доказать следующий результат («теорема Улама»): каждая вероятностная мера Р на польском (те. полном сепарабельном метрическом) пространстве является плотной. 5. Пусть Х =(Х; пай) — некоторое семейство случайных векторов (Х е/гл, пей), при этом ацр Е]]Х ]]'<со для некоторого г>0.
Пока« зать, что семейство У=(Р ;аЕй) распределений Р = (.атч(Х ) является плотным. 4 а метод хлрлктеристичкских функций 413 й 3. Метод характеристических функций в доказательстве предельных теорем 1. Доказательство первых предельных теорем теории вероятностей— закона больших чисел, теорем Муавра-Лапласа и Пуассона для схемы Бернулли в основывалось на прямом анализе допредельных функций распределения Е„, которые довольно просто выражаются через бнномнальные вероятности.
(В схеме Бернулли суммируемые случайные величины принимают только два значения, что и дает, в сущности, возможность явно найти функции Р„.) Однако для случайных величин более сложной природы подобный метод прямого анализа функций Е'„становится практически неосуществимым. Первый шаг в доказательстве предельных теорем для сумм произвольно распределенных независимых случайных величин был сделан Чебышевым.
Предложенное им неравенство, известное теперь как «неравенство Чебышева», дало возможность не только элементарно доказать закон больших чисел Я. Бернулли, но и установить весьма общие условия справедливости этого закона для сумм 5„ =4~ + ... +(„, л > 1, независимых случайных величин в форме утверждения, что для всякого е> О Р(~ —" — — "~>е)- О, и- оо. (См. задачу 2.) Далее, Чебышевым был создан (и Марковым усовершенствован) так называемый «метод моментов», который позволил установить, что утверждение теоремы Муавра †Лапла, записанное в виде носит универсальный характер в том смысле, что оно справедливо в очень общих предположениях относительно природы суммируемых случайных величин.
Именно это дало основание называть утверждение (2) центральной предельной теоремой теории вероятностей. Несколько позже Ляпунов предложил иной метод доказательства центральной предельной теоремы, в основе которою лежала (восходящая к Лапласу) идея «характеристической функции» распределения вероятностей. Последующее развитие показало, что «метод характеристических функций» Ляпунова является весьма эффективным при доказательстве самых разнообразных предельных теорем, что и обусловило его развитие и широкое применение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
